Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2012


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Trần Sĩ Tùng

Hệ phương trình nhiều ẩn

I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
ìa1x + b1y = c1
ía x + b y = c
2
2
î 2

(a12 + b12 ¹ 0, a22 + b22 ¹ 0)

Giải và biện luận:
– Tính các định thức: D =

a1


Dy ö
D
Hệ có nghiệm duy nhất ç x = x ; y =
÷
è
D
D ø
Hệ vô nghiệm
Hệ có vô số nghiệm

D¹0
D=0

, Dx =

Dx ¹ 0 hoặc Dy ¹ 0
Dx = Dy = 0

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:
phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.
2. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các
phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các
phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Giải các hệ phương trình sau:
ì5 x - 4 y = 3
b)
a) í
î7 x - 9 y = 8


b)
5
4
ï + = 51
îï x y

Bài 2.

ì 10
1
ïï x - 1 + y + 2 = 1
c) í
ï 25 + 3 = 2
îï x - 1 y + 2

ì6 5
ïï x + y = 3
í 9 10
ï =1
îï x y

ì 27
32
ïï 2 x - y + x + 3y = 7
d) í
ï 45 - 48 = -1
îï 2 x - y x + 3y

ì 6
2

87 ö
æ 3
;÷ f)
è 70 140 ø

Bài 3.

ì 3x - 6
x
ïï y + 1 - y - 2 = 1
íx -2
3x
ï
+
=7
ïî y + 1 y - 2
Trang 1

ì2x - 3 y + 7
ïï x - 2 + y + 3 = 5
c) í
ï x + 1 + 3y + 1 = 5
ïî x - 2 y + 3


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n
ỡ
ổ1 1ử


f)

d) (1;1) , ổỗ 1; - ửữ , ổỗ ;1ửữ , ổỗ ; - ửữ
3
3
3 3
2

c)

ố

2

ứ ố

2

ứ ố

2

ứ

Gii cỏc h phng trỡnh sau:

ỡù2 x + 2 x - y - 1 = 3
a) ớ 2
ùợ x + x + 2 y - 1 = 4

ợ x -1 + y = 3
ỡ2 x - 6 + 3 y + 1 = 5
ỡ2 x + y - x - y = 9
ỡ4 x + y + 3 x - y = 8
e) ớ
f) ớ
d) ớ
ợ5 x - 6 - 4 y + 1 = 1
ợ3 x + y + 2 x - y = 17
ợ3 x + y - 5 x - y = 6
S:
Bi 6. Gii v bin lun cỏc h phng trỡnh sau:
ỡmx + (m - 1)y = m + 1
ỡ
ỡ(m - 1) x + 2 y = 3m - 1
mx + (m - 2) y = 5
b) ớ
a) ớ
c) ớ
2 x + my = 2
ợ
ợ (m + 2) x - y = 1 - m
ợ(m + 2) x + (m + 1) y = 2
Bi 7. Trong cỏc h phng trỡnh sau hóy:
i) Gii v bin lun. ii) Tỡm m ẻ Z h cú nghim duy nht l nghim nguyờn.
ỡ(m + 1) x - 2 y = m - 1
ỡ
ỡmx + y - 3 = 3
mx - y = 1
a) ớ

1)
=
2
2 x + my = 2
ợ
ợ
ợ
Bi 9. Trong cỏc h phng trỡnh sau:
i) Tỡm s nguyờn m h cú nghim duy nht l nghim nguyờn.
ii) Khi h cú nghim (x, y) , tỡm h thc gia x, y c lp vi m.
ỡ2 x + y = 5
ỡmx + y = 3m
ỡ x - 2y = 4 - m
a) ớ
b) ớ
c) ớ
ợ2 y - x = 10m + 5
ợ x + my = 2m + 1
ợ2 x + y = 3m + 3
Bi 10. Gii v bin lun cỏc h phng trỡnh sau:
ỡax + y = b
ỡ y - ax = b
ỡax + y = a + b
a) ớ
b) ớ
c) ớ
ợ3 x + 2 y = -5
ợ2 x - 3y = 4
ợ x + 2y = a
Bi 11. Gii cỏc h phng trỡnh sau:

ì f ( x , y) = 0
(I) í
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
î g( x , y ) = 0
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
· Đặt S = x + y, P = xy.
· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
Hệ có dạng:

· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X 2 - SX + P = 0 .
3. Hệ đối xứng loại 2
ì f ( x , y) = 0
(1)
(I) í
(2)
î f ( y, x ) = 0
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
ì f ( x , y ) - f ( y, x ) = 0 (3)
(I) Û í
(1)
î f ( x , y) = 0
· Biến đổi (3) về phương trình tích:
éx = y
(3) Û ( x - y ).g( x , y) = 0 Û ê
.
ë g( x, y ) = 0
Hệ có dạng:



VẤN ĐỀ 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai
Bài 1.

Giải các hệ phương trình sau:

2
ì 2
a) í x + 4 y = 8
î x + 2y = 4
2
ì 2
d) í x + 2 xy + y - x - y = 6
î x - 2y = 3

ì 2
b) í x - xy = 24
î2 x - 3y = 1

2
ì
c) í( x - y ) = 49
î3 x + 4 y = 84

ì3 x - 4 y + 1 = 0
e) í
î xy = 3( x + y ) - 9

ì2 x + 3y = 2
f) í

d) í
e)
f) í
í x - 3y = 1
2
î
î xy + y + 3 x + 1 = 0
î2 x + 3y = 12
ĐS:
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau:
2
2
ì 2
ì 2
b) í x + y + 6 x + 2 y = 0
a) í2 x - xy + 3y = 7y + 12 y - 1
îx - y + 1 = 0
îx + y + 8 = 0
ì4 x + 9 y = 6
í 2
î3 x + 6 xy - x + 3y = 0

2
ì 2
ì 2
c) í9 x + 4 y + 6 xy + 42 x - 40 y + 135 = 0
d) í x + xy + x = 10
î3x - 2 y + 9 = 0
î x - 2 y = -5
2

1 1
ïî x - y = 4
ï
ï
=
=
ïî 9 x 2 4 y 2 4
ïî ( x + 1)2 y 2 4
2
2
2
2
ì
ìx - y = 1
ì
d) í( x + y) + 4( x + y) - 117 = 0 e) í 3 3
f) í( x - y)( x - y ) = 45
î x - y = 25
îx - y = 7
îx + y = 5
ĐS:
Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìx + y = 6
ìx + y = m
ì3 x - 2 y = 1
a) í 2
b) í 2
c) í 2
2
2

ì x y 13
3 3
3
ìï x 4 + x 2 y 2 + y 4 = 481
ì 3
ï + =
d) í y x 6
e) í x + x y + y = 17
f) í 2
2
ïî x + xy + y = 37
î x + y + xy = 5
ïî x + y = 6
b) (1;3),(3;1)
c) (1;2),(2;1)
ĐS: a) (2;3),(3;2)
æ 12 8 ö æ 8 12 ö
d) ç ; ÷ , ç ; ÷ e) (1;2),(2;1)
f) (4;3),(3;4),(-4; -3),(-3; -4)
è 5 5ø è 5 5 ø
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
ìï x 2 + y 2 = 5
ìï x 2 y + y 2 x = 30
ì x + xy + y = -1
a) í 2
b)
c)
í 4
í 3 3
2

ïî x + y + x y = 21
î x + y + 3( x + y ) = 28
c) (2;3),(3;2)
f)

ì x + xy - y = 5
ì x 2 - xy + y 2 = 19
c)
í 2
í
2
î x + y + xy = 13
î x + xy + y = -7
ì x + y + xy = 11
ì x 2 + xy + y 2 = 3
ì x + y + xy = 5
e)
f)
d) í 2
í
í 2
2
2
î x + y + 3( x + y ) = 28
î2 x + xy + 2 y = -3
î x + y + xy = 7
ĐS: a) (1;1)
b)
c)
d)

4
ïî x + y = x + y
î xy( x + y) = -2
î( x + y )(8 + xy ) = 2
ĐS: a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau:
ì x + y =1
2
ì 2
ì x ( x + 2)(2 x + y) = 9
ï
c) í 2
a) í x + x + y + y = 18
b) í 2
1
2
î x ( x + 1).y( y + 1) = 72
îx + 4x + y = 6
ïî x + y = 2
ì
ì
x
x
ì x + y + xy = 11
ïï x - y + y = 3

a) ớ
ổ
ử
ù( x 2 + y 2 ) ỗ 1 + 1 ữ = 49
2
2
ùợ
ố x y ứ
ỡ
1 1
ùx + y + x + y = 4
ù
c) ớ
1
1
ù x 2 + y2 +
+
=4
ùợ
x 2 y2
ỡ2 x 2 y + y 2 x + 2 y + x = 6 xy
ù
e) ớ
1 y x
xy
+
+ + =4
ù
xy x y
ợ

+
1
+
= 24
x
y
ỗ
ù
ỗ x 2 y 2 ữữ
ố
ứ
ợ

(

)

ỡ x
y
2
+
=
ù 2
2
3
ù
d) ớ x + 1 y + 1
ù( x + y )(1 + 1 ) = 6
ùợ
xy

y
7
ỡù x + 1 + y + 1 = 3
+
=
+1
ù
e) ớ y
f) ớ
x
xy
ùợ x y + 1 + y x + 1 +
ù
ợ x xy + y xy = 78
S: a)
b) (4;9),(9; 4)
c)
d)
e)
f)
Bi 8. Gii v bin lun cỏc h phng trỡnh sau:
ỡ x + y + xy = m
ỡx + y = m +1
a) ớ 2
b) ớ 2
c)
2
2
2
ợ x + y = 3 - 2m

b)
d)
e)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
ïì2 x 2 - 3 x = y 2 - 2
a) í 2
b)
2
ïî2 y - 3y = x - 2
ìï xy + x 2 = 1 - y
d) í
2
ïî xy + y = 1 - x

ìï x 2 - 2 y 2 = 2 x + y
í 2
2
ïî y - 2 x = 2 y + x
ìï x 3 = 3 x + 8y
í 3
ïî y = 3y + 8 x
c)
f)

ìï x 2 - 2 y 2 = 5y + 4
c) í 2
2
ïî y - 2 x = 5 x + 4
ìï x 3 = 2 x + y
f) í 3

a) í
x
ï y - 3x = 4
y
ïî

c)
f)

ì
ï2 x + y =
ï
b) í
ï2 y + x =
ïî

3
x2
3
y2

ì
1 3
ì 2
1
ïï2 x + y = x
ïï2 x = y + y
d) í
e) í
ï2 y 2 = x + 1

Bài 5. Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
ìï x 2 = 3 x + my
ìï x (3 - 4 y 2 ) = m(3 - 4m 2 )
a) í 2
b) í
2
2
ïî y = 3y + mx
ïî y(3 - 4 x ) = m(3 - 4m )
Bài 6. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Trang 7

ì
x2 + 2
ï3x =
ï
y2
c) í
2
ï3y = y + 2
ïî
x2
f)

ìï x + 2 - y = 2
c) í
ïî 2 - x + y = 2
2
2

y
c) í
2
ï2 y 2 = x + m
ïî
x

VẤN ĐỀ 4: Hệ đẳng cấp bậc hai
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

ìï x 2 - 3 xy + y 2 = -1
a) í 2
b)
2
ïî3 x - xy + 3y = 13
ïì3 x 2 + 5 xy - 4 y 2 = 38
e)
d) í 2
2
ïî5x - 9 xy - 3y = 15
ĐS: a)
b)
d)
e)
Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:
ìï3x 2 + 2 xy + y 2 = 11
a) í 2
b)
2
ïî x + 2 xy + 3y = 17

ïì3 x 2 - 8 xy + 4 y 2 = 0
f) í 2
2
ïî5 x - 7 xy - 6 y = 0

ìï3 x 2 + 5xy - 5y 2 = 37
í 2
2
ïî5 x - 9 xy - 3y = 15
ìï2 x 2 + 3 xy - y 2 = -2
í 2
2
ïî x - xy + 2 y = 4
c)
f)

ìï x 2 - 4 xy + 2 y 2 = 1
c) í 2
2
ïî2 x - xy + y = 4
ìï3 x 2 - 5 xy - 4 y 2 = -3
f) í 2
2
ïî9 y + 11xy - 8 x = 13

ìï y 3 - x 3 = 7
ìï x 3 + y 3 = 1
c)
í 2
í 2

ìï x 2 + mxy + y 2 = m
ìï x 2 - 4 xy + y 2 = m
ïì xy - y 2 = 12
a) í 2
b)
c)
í 2
í 2
2
ïî x + (m - 1) xy + my = m
ïî x - xy = m + 26
ïî y - 3 xy = 4

Trang 8


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Trn S Tựng

H phng trỡnh nhiu n

III. H PHNG TRèNH DNG KHC
Vn 1: Phng phỏp th
T phng trỡnh n gin nht ca h hoc t phng trỡnh tớch tỡm cỏch rỳt mt n theo
n kia, ri th vo phng trỡnh cũn li. Gii phng trỡnh ny. S nghim ca h tu
thuc s nghim ca phng trỡnh ny.
Mt s dng thng gp:
ã Dng 1: Trong h cú mt phng trỡnh bc nht vi n x (hoc y).
ã Dng 2: Trong h cú mt phng trỡnh cú th a v dng tớch ca cỏc biu thc bc

ờ
ờ x = -1 - 7; y = 6 + 3 7
ờở x = -1 + 7; y = 6 - 3 7
Bi tng t:
ỡù2 x 2 y + 3 xy = 4 x 2 + 9 y
ổ
16 ử ổ 1 1 ử ổ -9 3 33 ử
a) ớ
.
Nghim
2;
;3 ữ .
ỗ
ữ ,ỗ ; - ữ ,ỗ
2
7 ứ ố2 7ứ ố
4
ứ
ố
ùợ7 y + 6 = 2 x + 9 x
Bi 2. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 2 + y 2 - xy = 1
ớ 3
ùợ2 x = x + y

ỡù4 x 6 - 6 x 4 + 3x 2 - 1 = 0
ỡx = 1
ã HPT ớ
ớ


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n

Trn S Tựng
ỡù x 2 - 3 xy + y 2 = 11
ớ 2
ùợ y - 2 xy = 5

Bi 4. Gii h phng trỡnh sau:

ã D thy y ạ 0 . T (2), rỳt x =

(1)
(2)

y2 - 5
.
2y

2

ổ y2 - 5 ử
y2 - 5
Thay vo (1) ta c: ỗ
y + y 2 = 11 y 4 + 24 y 2 - 25 = 0 y = 1
ữ -3
y
y

Bi 7. Gii h phng trỡnh sau:
ớ 2
ùợ x + x + 2 y = 1 - 3 xy (2)
ộ x = -y
ã (1) ( x + y)( x + 3y) = 0 ờ
ở x = -3y
Nghim: (3; -1) .
Bi 8. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù2 x 2 + 4 xy + 2 y 2 + 3 x + 3y - 2 = 0
ớ 2
2
ùợ3x - 32 y + 5 = 0

(1)
(2)

ộ x + y = -2
ã (1) 2( x + y)2 + 3( x + y) - 2 = 0 ờ
1
ờx + y =
ở
2
Nghim:
ùỡ x 3 + 3 x 2 = y 3 - 3 x - 1 (1)
Bi 9. Gii h phng trỡnh sau:
ớ 2
(2)
ùợ x + xy + y = 5




Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Trn S Tựng

H phng trỡnh nhiu n

ổ1 1ử
Nghim: (-3;2), ỗ ; - ữ .
ố 2 3ứ
Bi 11. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù2( x 2 + y 2 ) = 1
ớ 3
2
ùợ2 x + 6 xy = 1

(1)
(2)

1
ã HPT ị 2 x ( x 2 + y 2 ) + 4 xy 2 = 1 x + 4 xy 2 = 1 xy 2 = (1 - x )
4
ộ x = -1
3
Thay vo (2) ta c: 4 x - 3 x + 1 = 0 ờ
1 .
ờx =
ở

Thay vo (1) ta c: 16 x - 23 x + 7 = 0 ờ 2 7 .
ờx =
16
ở
Nghim:
4

2

Bi 14. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ1 1
2
2
ùù x + 2 y = 2( x + y )
ớ1 1
ù = y2 - x 2
ùợ x 2 y

(1)
(2)

ỡ2
2
2
ùù x = x + 3y
ỡù x 3 + 3 xy 2 = 2 (3)
ã Ly (1) (2) ta c: ớ
ớ 3
2

ờx =
3
ở
2

2

Trang 11


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n

Trn S Tựng

Nghim:
Bi 16. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 2 + xy + y 2 = 3
ớ 2
ùợ x + 2 xy - 7 x - 5y + 9 = 0

(1)
(2)

ộy = 3 - 2x
ã Ly (1) + (2) ta c: (2 x + y - 3)( x + y - 2) = 0 ờ
ởy = 2 - x
Nghim: (1;1),(2; -1) .

ùợ
2
ổ -1 - 3 -1 + 3 ử
Nghim: ỗ
;
ữ.
ố 2
2 ứ
Bi 18. Gii h phng trỡnh sau:

(1)
(2)

ỡ x 2 - 4 xy + 4 z2 + 12 = 0
ù 2
ớ y - 4 yz + x 2 - 12 = 0
ù16 z2 - 8 xz + 4 y 2 = 0
ợ

(1)
(2)
(3)

ỡ x = 2y
ù
ã Ly (1) + (2) + (3) ta c: ( x - 2 y ) + (4z - x ) + ( y - 2 z) = 0 ớ x = 4z
ùợ y = 2z
2

2


ỡù x 3 + y 3 = 91
(1)
ớ 2
2
ùợ4 x + 3y = 16 x + 9 y (2)

ã Ly (1) - 3 (2) , ta c ( x - 4)3 = (3 - y)3 ị x = 7 - y .
Nghim: (3;4),(4;3) .
Trang 12


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Trn S Tựng

H phng trỡnh nhiu n

Bi 22. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ xy - 3 x - 2 y = 16
ớ 2
2
ợ x + y - 2 x - 4 y = 33

(1)
(2)

ã Ly 2 (1) + (2) , ta c ( x + y)2 - 8( x + y) - 65 = 0 ( x + y + 5)( x + y - 13) = 0
ộx + y + 5 = 0

2
(1)
ùx + y = 5
Bi 25. Gii h phng trỡnh sau:
ớ
ù4 x 2 + 3 x - 57 = - y(3 x + 1) (2)
25
ợ
ộ
7
ờ3 x + y = 5
2
ã Ly (1) 25 + (2) 50 , ta c 25(3 x + y) + 50(3x + y) - 119 = 0 ờ
ờ3 x + y = - 17
5
ở
ổ 2 1 ử ổ 11 2 ử
Nghim: ỗ ; ữ , ỗ ; ữ .
ố 5 5 ứ ố 25 25 ứ
Bi 26. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 3 + 3 xy 2 = -49
ớ 2
2
ùợ x - 8 xy + y = 8y - 17 x

(1)
(2)

ộ x = -1

2
ổ1 5ử ổ 1 5ử
Nghim: ỗ ; - ữ , ỗ - ; - ữ .
ố2 2ứ ố 2 2ứ
Bi 28. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 3 x = 0
ớ 2
ùợ y + xy + 3y + 1 = 0
Trang 13

(1)
(2)


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n

Trn S Tựng

ộ x + 2y + 1 = 0
ã Ly (1) + 2 (2) ta c: ( x + 2 y )2 + 3( x + 2 y) + 2 = 0 ờ
ở x + 2y + 2 = 0
ổ
1- 5 ử ổ
1+ 5 ử
Nghim: (-3 - 2 2;1 + 2),(-3 + 2 2;1 - 2) , ỗ -3 + 5;
ữ , ỗ -3 - 5;
ữ.

2

ã Ly 16 (1) + (2) ta c: ộở y 2 + 2(2 x - 3)ựỷ = 25
Nghim:
ỡù2 x 3 + 3x 2 y = 5
Bi 31. Gii h phng trỡnh sau:
ớ 3
2
ùợ y + 6 xy = 7

(1)
(2)

ã Ly 4 (1) + (2) ta c: 8x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y3 = 27 (2 x + y )3 = 27 2 x + y = 3
ổ 5 - 105 7 + 105 ử ổ 5 + 105 7 - 105 ử
;
;
Nghim: (1;1), ỗ
ữ ,ỗ
ữ.
8
4
8
4
ố
ứ ố
ứ
Bi 32. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 3 - y 3 = 9

ỡ
1
1
(1)
ùx - = y x
y
ớ
ù2 y = x 3 + 1
(2)
ợ

(A - 2003)

ổ
1 ử
ộx = y
ã iu kin: xy ạ 0. Ta cú: (1) ( x - y ) ỗ 1 + ữ = 0 ờ
ở xy = -1
ố xy ứ
Trang 14

(PTVN )


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Trn S Tựng

H phng trỡnh nhiu n


3
ợ2 y = x + 1 ù- 2 = x 3 + 1 ù x 4 + x + 2 = 0 (VN )
ợ
ùợ x
ổ -1 - 5 -1 - 5 ử ổ -1 + 5 -1 + 5 ử
Nghim (1;1), ỗ
;
;
;ữ .
ữ, ỗ
ố 2
2 ứ ố
2
2
ứ
Bi 35. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 2 ( y + 1)( x + y + 1) = 3x 2 - 4 x + 1
ớ
2
ùợ xy + x + 1 = x

ã D thy x = 0 khụng tho món (2) nờn (2) y + 1 =

(1)
(2)

x2 - 1
, thay vo (1) ta c:
x

ã Vi y = 0 ị -5x 2 + 16 x + 16 = 0 ờ x = - 5
ờx = 4
ở

ã Vi y = 2 x + 4 ị (2 x + 4)2 = -5 x 2 + 16 x + 16 x = 0 ị y = 4.
ổ 4 ử
Kt lun: Nghim (x; y): (0; 4), (4; 0), ỗ - ; 0 ữ .
ố 5 ứ
Bi 37. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ xy + x - 7 y = -1
(1)
ớ 2 2
2
ợ x y + xy - 13y = -1 (2)

ộ x = 3y
ã T (1) ị xy + 1 = 7 y - x . Thay vo (2) ta c: x 2 - 15 xy + 36 y 2 = 0 ờ
ở x = 12 y
ổ 1ử
Nghim: (3;1), ỗ 1; ữ .
ố 3ứ
Bi 38. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ xy = x + 7y + 1
ớ 2 2
2
ợ x y = 10 y - 1

(1)

1ử
Nghim: (3; -1), ỗ 1; - ữ .
3ứ
ố
Bi 39. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù y 2 - xy + 1 = 0
ớ 2
2
ùợ x + y + 2 x + 2 y + 1 = 0

(1)
(2)

ộ x = -2
ã T (1) y 2 + 1 = xy . Thay vo (2) ta c: ( x + 2)( x + y ) = 0 ờ
ở x = -y
Nghim: (-2; -1) .
Bi 40. Gii h phng trỡnh sau:

ã T (2) ị y =

22 - x 2
x2 + 2

ỡù x 4 - 4 x 2 + y 2 - 6 y + 9 = 0
ớ 2
2
ùợ x y + x + 2 y - 22 = 0


ỡù x 2 + 2 y 2 = xy + 2 y
ớ 3
2
2
2
ùợ2 x + 3 xy = 2 y + 3 x y

(1)
(2)

ã Vi y = 0 ị x = 0 l nghim ca h.
Vi y ạ 0 , nhõn (1) vi - y ri cng vi (2), ta c:
2 x 3 - 4 x 2 y + 4 xy 2 - 2 y 3 = 0 x = y
Nghim: (1;1),(0; 0) .
Bi 42. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù( x - 1)2 + 6( x - 1) y + 4 y 2 = 20 (1)
ớ 2
2
(2)
ùợ x + (2 y + 1) = 2

ỡ
x+9
ùy =
ã HPT ớ
.
3x - 5
ùợ x 2 + 4 y 2 = 1 - 4 y
Nghim: (-1; -1) .

Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Trn S Tựng

H phng trỡnh nhiu n
xy - 3x 2

=0
x 2 + y2
3 ổ y -1ử
Ly (3) + (4) ta c: 2 xy + 3 = 3y x = ỗ
ữ
2ố y ứ
Nghim:
(2) xy -

Bi 44. Gii h phng trỡnh sau:

ã (1) y =

8x 6 + 3x 2
;
x+2

ỡ 6 1
ù8 x - xy = y - 3 x 4
ớ
2
ùợ x 3 - 4 x 2 y = y
(2) y =

3
3
ùù x + y = x - 1
ùù x + y = x - 1
ã Vỡ x ạ 0 nờn HPT ớ
ớ
5
4 6
ù( x + y )2 ù - +2= 0
+1 = 0
2
ùợ
ùợ x 2 x
x
ỡ1 1
ỡ1
=
ổ
3ử
ù =1
ùù
ớx
ớ x 2 . Nghim: (1;1), ỗ 2; - ữ .
1
ố
2ứ
ợù x + y = 2 ùù x + y =
ợ
2
Bi 46. Gii h phng trỡnh sau:

13 ứ
ố
Bi 47. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ 3 3
ã H PT ớ2( x - y ) = 14
ợ xy( x - y) = 2

ỡ x 3 - y3 = 7
ớ
ợ xy( x - y) = 2
(1) .
(2)

Trang 17


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n

Trn S Tựng

ộx = y
Thay (2) vo (1) ta c: ( x - y )(2 x - 5 xy + 2 y ) = 0 ờ x = 2 y .
ờ
ởy = 2x
Nghim: (2;1),(-1; -2) .
2


ã Vi x 5 xy 16 = 0 y =
(4). Th vo (3) c:
5x
2

2

ổ x 2 - 16 ử
ỗ
ữ - 5 x 2 = 4 x 4 32 x 2 + 256 125 x 4 = 100 x 2
ố 5x ứ
ộ x = 1 ( y = -3)
.
124 x 4 + 132 x 2 256 = 0 x 2 = 1 ờ
ở x = -1 ( y = 3)
Vy h cú 4 nghim: (x; y) = (0; 2) ; (0; 2); (1; 3); (1; 3)
Bi 50. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ(2 x 2 + y )( x + y ) + x (2 x + 1) = 7 - 2 y (1)
ớ
(2)
ợ x (4 x + 1) = 7 - 3y

2
ộ
ã Th 7 = 4 x 2 + x + 3y (2) vo (1) ta c: (2 x 2 + y )( x + y) = 2 x 2 + y ờ y = -2 x
ởy = 1 - x
ổ 1 - 17 3 + 17 ử ổ 1 + 17 3 - 17 ử
Nghim: ỗ
;

Trang 18

(1)
(2)


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Trn S Tựng

H phng trỡnh nhiu n

ộx = 0
ờy = 0
.
xy(3y 2 - 4 xy + x 2 ) = 0 ờ
x
=
y
ờ
ờở x = 3y
ổ 3
1 ử
Nghim: (0;1),(1;0),(1;1), ỗ
;
ữ.
3
3
ố 25 25 ứ
Bi 53. Gii h phng trỡnh sau:


ột = 1
ộx = y
x
3
2
ờ
D thy y ạ 0 . t t = , ta cú (3) 2t - t - 2t + 1 = 0 t = -1 ị ờ x = - y .
ờ
ờ
y
ở2 x = y
ờt = 1
ở 2
ổ 1 1 ử ổ 1 2 ử
;
,
;
.
Nghim: ỗ
3
3 ữ ỗ3
3 ữ
ố 2 2ứ ố 9 9ứ
Bi 55. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù x 3 + y 3 + 2 xy( x + y ) = 6
ớ 5
5
ùợ x + y + 30 xy = 32

2
ùợ x + y + xy = x + 2 y

(1)
(2)

ã Thay (1) vo (2) ta c: x 3 + xy 2 = x + x 2 y x 2 + y 2 = 1 + xy ị xy = 1
Nghim: (-1; -1),(1;1) .
Trang 19


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n
Bi 58. Gii h phng trỡnh sau:

Trn S Tựng
ỡù x 3 + 2 xy 2 + 12 y = 0
ớ 2
2
ùợ8y + x = 12

(1)
(2)

ã Thay (2) vo (1) ta c: x 3 + 2 xy 2 + (8y 2 + x 2 )y = 0 x 3 + x 2 y + 2 xy 2 + 8y3 = 0 (3)
D thy y = 0 khụng tho HPT.
x
Vi y ạ 0 , t t = ta c: (3) t 3 + t 2 + 2t + 8 = 0 t = -2 ị x = -2 y
y

Bi 60. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ
ổ
1 ử
ù( x + y ) ỗ 1 + ữ = 6
xy ứ
ù
ố
ớ
2
ù( x 2 + y 2 ) ổ 1 + 1 ử = 18
ỗ
ữ
ù
xy ứ
ố
ợ

ã Bỡnh phng (1) ri chia v theo v, c

( x + y )2
2

x +y

2

(1)
(2)

(1)
(2)

9
ộ x = 7y
ờ
.
2
ởx = y

Nghim:
Bi 62. Gii h phng trỡnh sau:

ỡ 4
698
(1)
ù x + y2 =
81
ớ
ùợ x 2 + y 2 + xy - 3 x - 4 y + 4 = 0 (2)

ã Ta cú: (2) x 2 + ( y - 3) x + ( y - 2)2 = 0 .
PT ny cú nghim i vi x thỡ ta phi cú:
D = ( y - 3)2 - 4( y - 2)2 0 1 Ê y Ê
Mt khỏc (2) y 2 + ( x - 4) y + x 2 - 3 x + 4 = 0 .
PT ny cú nghim i vi y thỡ ta phi cú:
Trang 20

7
3

2
ùợ xy = 2 + x

Bi 63. Gii h phng trỡnh sau:

ỡù xy - 4 = 8 - y 2 (1)
ã Nu xy 4 thỡ HPT ớ
2
(2)
ùợ xy = 2 + x
T (2) ị x ạ 0, x 2 2 v y =

2 + x2
x
2

ổ 2 + x2 ử
Thay vo (1) ta c: 2 + x - 4 = 8 - ỗ
ữ ( x 2 - 2)( x 2 - 1) = 0 x = 2
ố x ứ
2

ị H cú nghim (x; y) l:

(

2; 8 ) , ( - 2; - 8 )

ã Nu xy < 4 thỡ x 2 < 2 .
2

ợx - y = 5

(1)
(2)

x ( x - 1) = y ( y + 8) x ( x - 1)2 = y( y + 8)2

(3)

Thay (2) vo (3) ta c: 3y 2 + 8y - 80 = 0 y = 4 ( x = 9) (vỡ y > 0)
Nghim: (9; 4) .
Bi 65. Gii h phng trỡnh sau:

ỡx > 0
. HPT
ã iu kin: ớ
ợy > 0

(

ỡx x - y y = 8 x + 2 y
ớ
ợ x - 3y = 6

(

) (

ỡù3 x x - y y = 6 4 x + y
ớ

(2)

)

x =3 y.

ỡù x x + y y = 2 xy
ớ
ùợ x + y = 2
ỡù( x + y )3 - 3 xy ( x + y ) = 2 xy
ỡù xy = 1
ớ
ớ
ùợ x + y = 2
ùợ x + y = 2

Trang 21


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Hệ phương trình nhiều ẩn

Trần Sĩ Tùng
ìï x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2
í
ïî x + y = 4

Bài 67. Giải hệ phương trình sau:


· Lấy (1) - (2) ta được: x + y = 8
Nghiệm: (4;4) .
Bài 69. Giải hệ phương trình sau:

ìï x 2 + y 2 - xy = 3
í 2
2
ïî x + 1 + y + 1 = 4

(1)
(2)

· (2) Û x 2 + y 2 + 2 ( x 2 + 1).( y 2 + 1) = 14 Û xy + 2 ( xy)2 + xy + 4 = 11 (3)
ép = 3
ì p £ 11
ê
Û
Đặt xy = p. (3) Û 2 p + p + 4 = 11 - p Û í 2
-35
êp =
î3 p + 26 p - 105 = 0
ë
3
2
35
(loại)
· p = xy = 3 Þ x + y = ±2 3
(1) Û ( x + y ) = 3 xy + 3 · p = xy = 3
ì xy = 3
ì xy = 3

Þí
.
îv = 2
î y = -3
î2u - v = 12
Thay vào (2) ta được:

3

Nghiệm: (2; -3) .

Bài 71. Giải hệ phương trình sau:

· Điều kiện y ¹ 0 . Đặt t =
Ta có: (1) Û 2.

3x - y
y2

-

ì x
(1)
ï6 y - 2 = 3 x - y + 3 y
í
ï2 3 x + 3 x - y = 6 x + 3y - 4 (2)
î
3x - y
.
y

ỡ
9
3
ù3 x - y = y 2
y ị y 0 . Thay vo (2) ta c: ớ
4
2
ùợ 2 6 x + 3y = 6 x + 3y - 4
8
x=y=
9
ổ8 8ử
Nghim: (4;4), ỗ ; ữ .
ố9 9ứ
+ Vi

3x - y =

ỡù8 x 2 + 18y 2 + 36 xy - 5(2 x + 3y ) 6 xy = 0
ớ 2
2
ùợ2 x + 3y = 30

Bi 72. Gii h phng trỡnh sau:

(1)
(2)

2


2
6 xy
Nghim: (3;2) .
+ Vi t =

ỡù x 3 - 6 x 2 y + 9 xy 2 - 4 y 3 = 0
ớ
ùợ x - y + x + y = 2

Bi 73. Gii h phng trỡnh sau:

(1)
(2)

ộx = y
ã Ta cú: (1) ( x - y )2 ( x - 4 y ) = 0 ờ
ở x = 4y
+ Vi x = y:
(2) ị x = y = 2
+ Vi x = 4y:

(2) ị x = 32 - 8 15; y = 8 - 2 15
ỡù xy + x + y = x 2 - 2 y 2
ớ
ùợ x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 y

Bi 74. Gii h phng trỡnh sau:

(1)
(2)


(1)
(2)

x -2 y = 0

Trang 23

x - 2 y = 0 x = 4y .


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

H phng trỡnh nhiu n
Thay vo (2) ta c:

Trn S Tựng
4y - 1 = 1 y =

1
ị x = 2.
2

ổ 1ử
Nghim: ỗ 2; ữ .
ố 2ứ
Bi tng t:
ỡù x - 2 y - xy = 0
ổ 1ử ổ 5ử
a) ớ

(1)
Bi 77. Gii h phng trỡnh sau:
ớ
2
(2)
ùợ2 x - y = 8

ã iu kin : x.y 0 ; x y
Ta cú: (1) 3( x - y)2 = 4 xy (3 x - y )( x - 3 y ) = 0 x = 3y hay x =

ã Vi x = 3y , th vo (2) ta c : y 2 - 6 y + 8 = 0 y = 2 ; y = 4
ỡ x = 6 ỡ x = 12
ị H cú nghim ớ
;ớ
ợy = 2 ợy = 4
y
ã Vi x = , th vo (2) ta c : 3y 2 - 2 y + 24 = 0 Vụ nghim.
3
ỡ x = 6 ỡ x = 12
Kt lun: h phng trỡnh cú 2 nghim l: ớ
;ớ
ợy = 2 ợy = 4
ỡù xy + x + y = x 2 - 2 y 2
(1)
Bi 78. Gii h phng trỡnh sau:
ớ
(2)
ùợ x 2 y - y x - 1 = 2 x - 2 y
ã iu kin x 1, y 0 ị x + y > 0.
(1) ( x + y )( x - 2 y - 1) = 0 x = 2 y + 1