Ôn luyện toán THCS và thi vào lớp 10 thpt
Phần thứ nhất: Đại số
I. Biến đổi đồng nhất

I.1 Dùng hằng đẳng thức
1. Kiến thức cần nhớ
(A + B)
2
= A
2
+ 2AB + B
2
(A - B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
A
2
- B
2
= (A - B) (A + B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2

(A + B + C)
2
= A
2
+ B
2
+ C
2
+ 2AB + 2AC + 2BC
A
3
+ B
3
= (A + B)
3
- 3AB(A+ B)
A
3
- B
3
= (A - B)
3
- 3AB(A - B)
2. Những điểm cần lu ý
- Khi giải các bài toán vận dụng các hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo
cả hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.
- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng tơng ứng
bằng nhau. Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của chúng đều bằng 0.
3. Các ví dụ
Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức sau:

3
+ b
3
+ c
3
= (a + b)
3
- 3ab (a + b) + c
3
= (a + b + c) [ (a + b)
2
- (a + b)c + c
2
] - 3ab (a + b)
= - 3ab (a + b) = 3abc =
3

Từ đây ta có: Nếu a + b + c = 0 thì a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Điều ngợc lại thì sao?
Ví dụ 3:
Cho x +
1
4
x

+
3
1
x
=
2
2
1 1
1 4.13 52x x
x
x

+ + = =
ữ ữ


x
5
+
3 2
5 3 2
1 1 1 1
52.14 4 724x x x
x
x x x

= + + + = =
ữ ữ ữ

4. Bài tập tự luyện

2 3 4a a a
a
a a a

+ + + +
ữ ữ ữ

*Bài 3: Cho các số a, b R thoả mãn
(a - 3) (b - a) + (a - b) (b - 3) + (a -3) (3 - b) + 3 = 0
Tính giá trị biểu thức:
2 2 2
( ) ( 3) ( 3)a b a b + +
*Bài 4: Cho x
2
+ y
2
= 1 và
4
x
a
+
4
1y
b a b
=
+
. Tính :
2006 2006
1003 1003
x y

2 2
a b c
a b c ab bc ac a b c abc a b c
+ +

+ + + + = + + = + +
ữ ữ ữ ữ

Vậy M là bình phơng của một số hữu tỷ
I.2 Phân tích đa thức thành nhân tử
Để phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta có nhiều phơng pháp nh: đặt nhân tử chung,
dùng hằng đẳng thức đáng nhớ, nhóm nhiều hạng tử, tách các hạng tử thành nhiều hạng tử,
thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ, dùng phơng pháp hệ số bất định, phơng pháp xét giá trị
riêng.v.v. Sau đây ta nêu chủ yếu một số phơng pháp thờng dùng.
1. Phơng pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
3x
2
(y-2z) - 15x(y- 2z)
2

Giải :
Ta có 3x
2
(y-2z) - 15x(y- 2z)
2
= 3x(y-2z)[x-5(y-2z)] =3x(y-2z)(x-5y+10z)
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức A= 2x(y-z) + (z-y)(x+y) thành nhân tử
Giải:
A= 2x(y-z) + (z-y)(x+y) = 2x(y-z) - (y-z)(x+y)

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4b
2
c
2
- (b
2
+c
2
-a
2
)
2

Giải: Ta có
4b
2
c
2
- (b
2
+c
2
-a
2
)
2
= (2bc)
2
- (b
2

thành các nhóm thích hợp, rồi áp dụng các phơng pháp khác để phân tích thành nhân tử đối với
từng nhóm
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x
3
z + x
2
yz - x
2
z
2
- xyz
2

Giải P = x
3
z + x
2
yz - x
2
z
2
- xyz
2
= (x
3
z-x
2
z
2
) + (x

-b
2
c -bc
2
-ac(c-a)
=(a
2
b -bc
2
) + (ab
2
-b
2
c) + ac(a-c)
=b(a
2
-c
2
) + b
2
(a-c) + ac(a-c)
=(a-c)[b(a+c) + b
2
+ ac]
=(a-c)[ba+cb+b
2
+ac]
=(a-c)[(ba+b
2
)+(ac+cb)]

(x
2
-1)+x(x
2
-1)+2(x
2
-1)
= (x
2
-1)(x
2
+x+2)
= (x-1)(x+1)(x
2
+x+2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: B = 2x
3
+ x
2
+x -1
Giải:
B = 2x
3
+ x
2
+x -1
= 2x
3
- x
2

3
-1) + (x
2
+x+1)
=x
2
(x-1)(x
2
+x+1)+ (x
2
+x+1)
=(x
2
+x+1) [x
2
(x-1)+1]
=(x
2
+x+1)(x
3
-x
2
+1)
Ví dụ 2 : Phân tích đa thức D = 4x
4
+1 thành nhân tử
Giải: Ta có
D = 4x
4
+1 = 4x

2
+4x
2
+4x -12
= (x
2
+x)
2
+ 4(x
2
+x) -12
Đặt y= x
2
+x.
Ta có A= y
2
+ 4 y -12 = y
2
+ 4 y + 4 -16 = (y+2)
2
- 4
2
= (y+2-4)(y+2+4) = (y-2)(y+6) = (x
2
+x -2)( x
2
+x +6 )
5. Bài tập áp dụng
3.Bài tập áp dụng :
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

2
+2x -1
b) x
3
+ 2x +3 e) x
3
+ x
2
-2x -8
c) x
3
+ x
2
+ 4 f ) x
4
+x
3
-x-1
Bài 3 :
a) x
4
+ 3x
2
+4 e) x
8
+x +1
b) x
4
+x
2

+ x + 7)(x
2
+8x + 15) +15
b) (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) -72 d) (4x+1)(12x-1)(x+2)(x+1) - 4
H ớng dẫn giải :
Bài 1 :
a, (x+y+z)(x+y-z)(x-y)
2
b, (a-b)(a-c)(c-b)
c) (x-2y)(2x-y)
Bài 2 : Sử dụng phơng pháp nhẩm nghiệm .
Đáp số
b, (x +1 )(x
2
-x -3 )
c, (x + 2 )(x
2
- x + 2)
d, (3x-1)(x
2
-x +1 )
e) (x-2)(x
2
+3x +4)
f) (x+1)(x-1)(x
2
+x +1)
Bài 3 :
a, (x
2

-x
2
+1)
f, (x
2
+ x + 1)(x
8
-x
7
+x
5
-x
4
+x
3
-x +1)
g, (x
2
+ x + 1)(x
6
-x
4
+x
3
-x +1)
h ) (x
2
-2xy+2y
2
)( x

+11x +3)
I.4 Phân thức đại số
1. Kiến thức cần nhớ
- Hai phân thức bằng nhau :
A C
B D
=
AD = BC