i

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
--------------

TRƢƠNG THỊ KHÁNH PHƢƠNG

SỬ DỤNG BIỂU DIỄN TRỰC QUAN
HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ NGOẠI SUY
CỦA HỌC SINH MƢỜI LĂM TUỔI
TRONG QUÁ TRÌNH TÌM KIẾM QUY LUẬT TOÁN

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học môn Toán
Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU
2. PGS. TS. TRẦN VUI

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2015


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số
liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc
công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Cuối cùng, xin tỏ lòng biết ơn đến những ngƣời thân trong gia đình và những ngƣời
bạn đã luôn quan tâm, nâng đỡ và là chỗ dựa tinh thần cho tôi trong suốt thời gian
qua.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2015
Trƣơng Thị Khánh Phƣơng


1

MỤC LỤC
MỤC LỤC........................................................................................................................ 1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................................. 4
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ TIẾNG ANH............................................................ 5
DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH..................................................................................... 6
DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU .................................................................................. 9
Chƣơng 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................... 10
1.1. Giới thiệu vấn đề nghiên cứu ............................................................................. 10
1.2. Nhu cầu nghiên cứu và phát biểu vấn đề nghiên cứu ......................................... 12
1.3. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................ 14
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 16
1.5. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................. 16
1.6. Các thuật ngữ ...................................................................................................... 17
1.7. Cấu trúc luận án .................................................................................................. 20
Chƣơng 2. CÁC NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ......................................................... 23
2.1. Toán học và những suy luận có lí ....................................................................... 23
2.1.1. Suy luận quy nạp ......................................................................................... 24
2.1.1.1. Định nghĩa ........................................................................................... 24
2.1.1.2. Mô hình suy luận quy nạp ................................................................... 25
2.1.2. Suy luận ngoại suy ...................................................................................... 26
2.1.2.1. Ngoại suy theo quan điểm logic học và triết học của Peirce ............... 27

2.6. Tiểu kết chƣơng 2 ............................................................................................... 68
Chƣơng 3. THIẾT KẾ NGHIÊN CỨU ...................................................................... 70
3.1. Thiết kế nghiên cứu ............................................................................................ 70
3.2. Đối tƣợng nghiên cứu ......................................................................................... 72
3.3. Công cụ nghiên cứu ............................................................................................ 73
3.4. Thu thập dữ liệu .................................................................................................. 85
3.5. Phân tích dữ liệu ................................................................................................. 86
3.6. Hạn chế ............................................................................................................... 90
3.7. Tiểu kết chƣơng 3 ............................................................................................... 91
Chƣơng 4. BIỂU DIỄN TRỰC QUAN HỖ TRỢ SUY LUẬN QUY NẠP VÀ
NGOẠI SUY ................................................................................................................. 92
4.1. Ảnh hƣởng của biểu diễn trực quan đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy
trong khám phá các quy luật dãy số .......................................................................... 92
4.1.1. Các phƣơng án ngoại suy để khám phá quy luật dãy số ............................. 92
4.1.2. Đánh giá các mức độ ngoại suy-quy nạp trong khám phá quy luật dãy số108


3

4.1.3. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 1.............................................. 115
4.2. Biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận quy nạp và ngoại suy trong khám phá
các bài toán hình học kết thúc mở ........................................................................... 119
4.2.1. Suy luận quy nạp và ngoại suy trong môi trƣờng hình học động ............. 119
4.2.1.1. Những hỗ trợ của biểu diễn trực quan động đến suy luận quy nạp và
ngoại suy trong môi trƣờng hình học động .................................................... 119
4.2.1.2. Phản ánh của quy nạp và ngoại suy qua các phƣơng thức kéo rê ..... 122
4.2.2. Tổng kết từ thực nghiệm của Nghiên cứu 2.............................................. 130
4.3. Tiểu kết chƣơng 4 ............................................................................................. 132
4.3.1. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 2 ........................................................... 132
4.3.2. Kết luận cho Câu hỏi nghiên cứu 3 ........................................................... 133


BDTQ

biểu diễn trực quan

GV

giáo viên

HS

học sinh

KTM

kết thúc mở

nnk

những ngƣời khác

SGK

sách giáo khoa

THPT

trung học phổ thông

tr.


Visual abduction

Ngoại suy trực quan

Manipulative abduction

Ngoại suy thao tác

Visual representation

Biểu diễn trực quan

Dynamic visual representation

Biểu diễn trực quan động

Visualization

Trực quan hóa

Mathematical pattern

Dạng mẫu toán

Open ended problem

Bài toán kết thúc mở

Dragging scheme

nn  c

........................................................................................... 46

Hình 2.9. Quy tắc an2  bn  c ..................................................................................... 46
Hình 2.10. Biểu diễn trực quan của dãy tam giác, dãy tứ giác, dãy ngũ giác ................ 47
Hình 2.11. Minh họa bài toán chia mặt phẳng bởi n đƣờng thẳng ................................ 56
Hình 2.12. Quá trình ngoại suy-quy nạp trong khám phá dãy số theo quy luật hàm số
bậc nhất .......................................................................................................................... 59
Hình 2.13. Quy trình khám phá quy luật dãy số bằng suy luận ngoại suy-quy nạp ...... 61
Hình 3.1. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu a)............................ 82
Hình 3.2. Minh họa bài toán tiền thực nghiệm Nghiên cứu 2 (câu b) ........................... 83
Hình 4.1. Ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ Z ............... 93
Hình 4.2. Ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc đệ quy ............................................... 93
cho bài Hình Tháp (trái) và Hình chữ S (phải) .............................................................. 93
Hình 4.3. Ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc đệ quy cho bài Hình chữ S................ 95
Hình 4.4. Phƣơng án Cộng dồn cho bài Hình chữ Z ...................................................... 96
Hình 4.5. Phƣơng án Cộng dồn cho bài Hình chữ S ...................................................... 96
Hình 4.6. Phƣơng án Giải phương trình cho bài Hình chữ Z ........................................ 97
Hình 4.7. Phƣơng án Đoán và Thử cho bài Hình chữ S................................................. 97
Hình 4.8. Phƣơng án Đoán và Thử cho bài Ghế công viên ........................................... 98
Hình 4.9. Phƣơng án Đơn vị và Tổng thể cho bài Hình Tháp ........................................ 98
Hình 4.10. Phƣơng án Ghép hình rời cho bài Hình Tháp .............................................. 99
Hình 4.11. Phƣơng án Sắp xếp hình cho bài Mũ Halloween ......................................... 99
Hình 4.12. Phƣơng án Ghép hình rời- Sắp xếp hình cho bài Hình chữ S .................... 100


7

Hình 4.13. Sai lầm của HS trong bài Hình chữ Z ........................................................ 102



8

Hình 5.6b. Tam giác ABC vuông ................................................................................. 149
Hình 5.6c. ABI  BFJ ........................................................................................... 149
Hình 5.7a. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân .......... 151
Hình 5.7b. BDTQ minh họa quan hệ giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa .... 152
Hình 5.8. Viết phƣơng trình g  x  .............................................................................. 154
Hình 5.9. Điểm đơn vị trên hai trục tọa độ .................................................................. 156
Hình 5.10. Đo chiều cao kim tự tháp ........................................................................... 158


9

DANH SÁCH CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Mô tả diễn dịch, quy nạp, ngoại suy theo các tam đoạn luận của Peirce ...... 28
Bảng 2.2. Mô hình so sánh ba loại suy luận .................................................................. 41
Bảng 3.1. Phân bố Tập câu hỏi ở các lớp thực nghiệm.................................................. 72
Bảng 3.2. Tổng quan về các nhiệm vụ trong mỗi Tập câu hỏi ...................................... 75
Bảng 3.3. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Đệ quy ....................................................... 76
Bảng 3.4. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Đoán và Thử .............................................. 77
Bảng 3.5. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Cộng dồn ................................................... 77
Bảng 3.6. Tổ chức dữ liệu theo phƣơng án Giải phương trình ...................................... 78
Bảng 3.7. Bảng mã các phƣơng án ngoại suy ................................................................ 88
Bảng 4.1. Bảng phân bố các phƣơng án ngoại suy theo hƣớng đƣa ra Quy tắc đệ quy và
Quy tắc hàm số ............................................................................................................... 94
Bảng 4.2. Phân bố các phƣơng án ngoại suy theo hƣớng Đưa ra quy tắc hàm số ...... 100
Bảng 4.3. Phân bố các phƣơng án ngoại suy trong phạm trù Số học và Hình học ...... 103
Bảng 4.4a. Các quy tắc hàm số tƣơng đƣơng cho bài Hình chữ Z và Xếp bàn tiệc ..... 106

6 chú ý đến dạng mẫu: 3  (4)  (4)  3, 5  8  8  5, (6)  (9)  (9)  (6) và
nhận thấy rằng trật tự của hai số hạng trong phép cộng là không quan trọng. Từ đó,
HS đề xuất giả thuyết a  b  b  a, a, b  . Nhƣ vậy là HS đã tổng quát hóa quy
luật toán mà các em phát hiện từ các dạng mẫu quan sát đƣợc. Không chỉ có số


11

học, tìm kiếm quy luật toán trong các dạng mẫu cũng là hoạt động thƣờng xuyên
diễn ra trong các lĩnh vực khác nhƣ đại số, hình học mà kết quả của nó là công thức,
các định lý (Mason, 1996, [50]).
Đặc biệt, quá trình tìm kiếm quy luật toán liên quan đến sự vận hành của hai loại
suy luận có lí là suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp. Hội đồng giáo viên toán
quốc gia của Mỹ NCTM (2000, [57]) xác định: suy luận - chứng minh là một trong
số mƣời tiêu chuẩn cho toán học nhà trƣờng. NCTM cho rằng khả năng suy luận là
bản chất của việc hiểu toán và đó nên là mục tiêu đầu tiên của giáo dục toán: “Bằng
việc phát triển các ý tƣởng, khám phá các hiện tƣợng, xác minh các kết quả và sử
dụng suy luận toán học trong tất cả các lĩnh vực, ở tất cả các lớp học, HS có thể
nhìn thấy và tin tƣởng rằng toán học là có ý nghĩa…”. NCTM (2000, [57]) cũng
khẳng định: “Khả năng suy luận phát triển khi HS đƣợc cổ vũ để đƣa ra các dự
đoán, đƣợc cho thời gian tìm kiếm các bằng chứng nhằm ủng hộ hay bác bỏ chúng,
đƣợc mong chờ việc giải thích các ý tƣởng… Nếu khả năng suy luận không đƣợc
phát triển cho HS thì toán học chỉ là một tập hợp các công thức, thuật toán, quy tắc
và các ví dụ mang tính biểu diễn mà không hiểu tại sao chúng có ý nghĩa”.
Bên cạnh đó, suy luận và biểu diễn cũng là hai trong số tám năng lực đƣợc chọn để
đánh giá trong Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, một chƣơng trình do
Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xƣớng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm
các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lƣợng của hệ thống giáo dục của mỗi nƣớc
tham gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông. Biểu
diễn trực quan (BDTQ), một dạng của biểu diễn toán, không chỉ đóng vai trò minh

chẽ nghiêm ngặt mà nó đòi hỏi. Một lần nữa, suy luận ngoại suy và suy nạp trở
thành một công cụ hiệu quả để HS sử dụng khi đối mặt với các vấn đề thực tế.
Đối với giáo dục toán ở nƣớc ta, đối tƣợng mà chúng tôi quan tâm trong nghiên cứu
này là những HS mƣời lăm tuổi, lứa tuổi vừa hoàn thành chƣơng trình phổ cập giáo
dục chính thức và có quyền lựa chọn giữa việc tiếp tục theo đuổi chƣơng trình trung
học phổ thông (THPT) hay trở thành một công dân độc lập với một nghề nghiệp cho
tƣơng lai ngay từ lúc này. Chúng tôi cho rằng đây là giai đoạn chuyển tiếp có ý


13

nghĩa quan trọng khi mà những năng lực toán học đã đƣợc HS tích lũy sẽ có ảnh
hƣởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và cuộc sống
nghề nghiệp sau này. Nếu tiếp tục chƣơng trình THPT, tính chất và mức độ học tập
đƣợc yêu cầu đối với HS ở giai đoạn này sẽ phức tạp và cao hơn hẳn so với tuổi
thiếu niên, đòi hỏi HS phải biết cách vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhà
trƣờng lúc này có ý nghĩa đặc biệt quan trọng vì nội dung học tập không chỉ nhằm
trang bị và hoàn chỉnh tri thức mà còn có tác dụng hình thành thế giới quan và nhân
sinh quan cho các em. Hoạt động tƣ duy của HS lứa tuổi mƣời lăm cũng phát triển
mạnh. Năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tƣợng hóa phát triển cao giúp cho
các em có thể lĩnh hội mọi khái niệm phức tạp và trừu tƣợng trong toán học. HS
thích tìm hiểu những quy luật và nguyên tắc chung của các hiện tƣợng hàng ngày và
của những tri thức phải tiếp thu... Một số câu hỏi mà chúng tôi đặt ra dành cho đối
tƣợng HS này là: “Làm thế nào để các em tiếp cận đƣợc với một tri thức toán mới
có tính quy luật?”; “Khi bắt gặp một vấn đề toán học có liên quan đến mối quan hệ
giữa các đối tƣợng thì quá trình thu thập thông tin và suy luận để phát hiện ra các
quy luật toán diễn ra trong đầu các em nhƣ thế nào?”; “Liệu các em có mang trong
mình tƣ tƣởng khám phá quy luật toán trong các dạng mẫu quan sát đƣợc để hỗ trợ
giải quyết các vấn đề thực tế?”
Mặt khác, HS mƣời lăm tuổi cũng là đối tƣợng của chƣơng trình đánh giá HS quốc

và ngoại suy của học sinh mười lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm quy luật toán”
làm đề tài nghiên cứu của luận án.
1.3. Phạm vi nghiên cứu
Luận án quan tâm đến việc sử dụng suy luận quy nạp và ngoại suy của HS mƣời
lăm tuổi trong quá trình tìm kiếm các quy luật toán với sự hỗ trợ của các biểu diễn
trực quan. HS mƣời lăm tuổi theo quy định của PISA là các HS trong độ tuổi từ
mƣời lăm năm ba tháng đến mƣời sáu năm hai tháng. Trong luận án này, để thuận
lợi cho việc thiết kế và phân tích các kết quả thực nghiệm, đối tƣợng HS mƣời lăm
tuổi sẽ mang ý nghĩa tƣơng đƣơng với các HS đang bắt đầu theo học chƣơng trình
lớp 10 ở Việt Nam. Với đặc thù của chƣơng trình toán ở nƣớc ta hiện nay, chúng tôi
chọn sử dụng một số nội dung toán thuộc hai lĩnh vực Đại số và Hình học mà HS đã


15

đƣợc học ở cấp trung học cơ sở cho đến thời điểm đầu lớp 10 để khai thác. Cụ thể,
các quy luật toán mà chúng tôi muốn tập trung phân tích trong lĩnh vực Đại số là
các quy luật có liên quan đến khái niệm “dãy số”. Hƣớng dẫn thực hiện chuẩn kiến
thức kĩ năng môn toán THPT của Bộ giáo dục và đào tạo (2006, [6]) cho thấy: chủ
đề Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân đã xuất hiện ngầm ẩn trong chƣơng trình toán
ở các lớp từ lớp 2 đến lớp 8, cuối cùng chính thức xuất hiện trong chƣơng trình Đại
số và Giải tích 11. Cho đến thời điểm HS đƣợc mƣời lăm tuổi, các em đã đƣợc học
về các khái niệm: “biểu thức đại số”, “hàm số bậc nhất”, “hàm số bậc hai”, tức là
các em có đủ các tri thức cần thiết để khám phá các dãy số tuân theo quy luật hàm
số bậc nhất và hàm số bậc hai. Việc HS chƣa chính thức học các khái niệm về cấp
số cộng, cấp số nhân sẽ là một yếu tố thuận lợi giúp chúng tôi đánh giá khách quan
hơn những ảnh hƣởng của BDTQ đến quá trình suy luận để khám phá quy luật dãy
số của các em. Hơn thế, đây là một trong những nội dung khá thú vị khi phân tích
sự xuất hiện đồng thời của cả hai loại suy luận ngoại suy và quy nạp trong quá trình
khám phá và tổng quát hóa quy luật của HS.

thông.
1.5. Câu hỏi nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã đƣợc đề cập ở trên, đề tài này sẽ gắn liền với bốn câu
hỏi nghiên cứu sau:
 Câu hỏi nghiên cứu 1: Những loại suy luận nào đƣợc sử dụng trong quá trình
khám phá quy luật dãy số và chúng có mối quan hệ với nhau nhƣ thế nào?
 Câu hỏi nghiên cứu 2: Các biểu diễn trực quan mô tả dãy số có ảnh hƣởng
nhƣ thế nào đến quá trình suy luận của HS để đƣa ra một quy tắc tổng quát?
 Câu hỏi nghiên cứu 3: Sử dụng biểu diễn trực quan động nhƣ thế nào để hỗ
trợ quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy khi khám phá quy luật trong các
bài toán hình học kết thúc mở?
 Câu hỏi nghiên cứu 4: Làm thế nào để phát triển khả năng khám phá quy luật
toán của HS thông qua suy luận quy nạp và ngoại suy?


17

1.6. Các thuật ngữ
 Suy luận: Sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để
suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận
khác (English, L. D., 2004, [33]).
 Suy luận diễn dịch: Suy luận dựa trên các quy tắc logic toán nhằm đƣa ra một
kết luận (chắc chắn đúng) từ một tập hợp các tiên đề đúng cho trƣớc.
 Suy luận quy nạp: Suy luận nhằm đƣa ra một giả thuyết mang tính tổng quát
(không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho
một số trƣờng hợp cụ thể.
 Suy luận ngoại suy: Suy luận nhằm đƣa ra một giả thuyết có lí (nhƣng không
chắc chắn đúng) để giải thích cho một kết quả ngạc nhiên quan sát đƣợc.
 Biểu diễn toán: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn toán. Nhìn chung
các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài,


600  600  600
-

450  900  450

300  700  800

1200  350  250

Ví dụ cho dạng mẫu về các kí hiệu toán học: Phép nhân của lũy thừa cơ
số 2: 23.25  28 ;22.29  211;25.

1
 23 .
2
2

 Quy luật toán học: Mối quan hệ toán học giữa các đối tƣợng toán học (các số,
các hình, các kí hiệu toán học, các phép biến hình, các hàm, các tập hợp...) có
thể đƣợc phát hiện trong các dạng mẫu toán. Các mối quan hệ này có thể đƣợc
mô tả thông qua các quy tắc, các công thức, các tính chất, các định lý...
(Dörfler, 2008, [30]).
Trở lại với ví dụ về dạng mẫu toán ở trên: một quy luật toán đƣợc phát hiện
trong dạng mẫu về dãy các số lẻ là: số hạng ở vị trí thứ n trong dãy số trên sẽ
có giá trị bằng 2n  1 ; một quy luật toán đƣợc phát hiện trong dạng mẫu về
tổng các góc trong của tam giác là: tổng các góc trong của một tam giác luôn
bằng 180 độ; một quy luật toán đƣợc phát hiện trong dạng mẫu về phép nhân
lũy thừa cơ số 2 là: 2a.2b  2ab a, b  .


cụ thể nào.


20

- Khác với dạng câu hỏi đóng truyền thống nhƣ “Chứng minh rằng…”,
các bài toán hình học kết thúc mở thƣờng yêu cầu HS tự đề xuất giả
thuyết. Các câu hỏi của bài toán thƣờng đƣợc diễn đạt dƣới dạng: “Em
tìm thấy mối quan hệ nào giữa…”, “Trong điều kiện nào thì…?”, “Hình
… có thể trở thành những hình dạng nào…?”
 Quy luật hình học: Quy luật toán học cho các đối tƣợng hình học, chỉ mối
quan hệ toán học không đổi giữa các đối tƣợng hình học nhƣ điểm, đƣờng
thẳng, đƣờng tròn... Các quy luật này thƣờng đƣợc mô tả qua các tính chất, các
định lý, các công thức... trong hình học.
Ví dụ: Sau đây là một số quy luật hình học (liên quan đến độ dài các cạnh a, b,
c và số đo các góc Aˆ , Bˆ , Cˆ ) trong một tam giác ABC bất kì:
1)

Aˆ
Bˆ
Cˆ
.


sin Aˆ sin Bˆ sin Cˆ

2) a2  b2  c2  2bc cos A; b2  a 2  c 2  2ac cos B; c 2  a 2  b2  2ab cos C .
3) b  c  a  b  c ; a  c  b  a  c ; a  b  c  a  b

.

khám phá quy luật trong các bài toán hình học kết thúc mở. Sau khi tổng hợp, phân
tích các kết quả có đƣợc của các nghiên cứu này, chúng tôi chỉ ra những “khe hở”
về mặt lý thuyết chƣa đƣợc làm rõ, đồng thời đề xuất các vấn đề liên quan đến
phạm vi nghiên cứu của luận án có thể đƣợc kế thừa và phát triển từ các nghiên cứu
đã có theo những khía cạnh sâu rộng hơn. Từ đó, chúng tôi quay trở lại Chƣơng 1
để xác định mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, xây dựng các câu hỏi nghiên cứu.
Dựa trên các kết quả nghiên cứu về mặt lí luận, chúng tôi trình bày câu trả lời cho
Câu hỏi nghiên cứu 1 ngay trong Chƣơng 2 nhằm làm cơ sở lý thuyết trực tiếp nhất
cho việc phân tích các kết quả thực nghiệm sau này.
Kết thúc Chƣơng 1 và Chƣơng 2, một thiết kế nghiên cứu thực nghiệm đƣợc định
hình trong giai đoạn tiếp theo để có dữ liệu nhằm trả lời cho Câu hỏi nghiên cứu 2
và Câu hỏi nghiên cứu 3 của luận án. Các đối tƣợng HS, GV và trƣờng phổ thông
tham gia thực nghiệm, các tiêu chuẩn để xây dựng và đánh giá bộ công cụ sử dụng
trong thực nghiệm, quy trình tiến hành tiền thực nghiệm và thực nghiệm, cách thức


22

thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu cũng nhƣ các hạn chế của quá trình thực
nghiệm sẽ đƣợc trình bày chi tiết trong Chƣơng 3.
Tiếp nối ngay sau Chƣơng 3, Chƣơng 4 trình bày kết quả có đƣợc từ thống kê và
quan sát dữ liệu thực nghiệm cùng với những phân tích tƣơng ứng để trả lời Câu hỏi
nghiên cứu 2 và 3. Cụ thể, chúng tôi chỉ ra những bằng chứng cho việc các BDTQ
có ảnh hƣởng hay không đến quá trình suy luận quy nạp và ngoại suy của HS khi
khám phá các quy luật dãy số và khám phá các bài toán hình học kết thúc mở.
Chúng tôi cũng đánh giá mức độ ảnh hƣởng của các BDTQ đến quá trình suy luận
khi khám phá quy luật dãy số. Với các nhiệm vụ khám phá bài toán hình học kết
thúc mở, chúng tôi cho thấy một trong những cách để thao tác trên BDTQ động
nhằm hỗ trợ việc khám phá và kiểm chứng các quy luật hình học, đó là sử dụng các
phương thức kéo rê mà chúng tôi đã phân loại theo một cách phù hợp.