Header Page 1 of 89.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Nguyễn Hữu Việt

ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP
CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên - 2011

Footer Page
1 ofbởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 2 of 89.
1

5
5
6
8
12
14
17
18
18
19
20
20
21
21
22
24
25
27

Chương 2. Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình
parabolic
30
2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Footer Page
2 ofbởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Tài liệu tham khảo

45

Footer Page
3 ofbởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 4 of 89.
3

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS - TS Hà Tiến Ngoạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành
kính nhất đến thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học
mà thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên em trong suốt quá
trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các các thầy
cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái
Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ
Việt Nam đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại
học Sư phạm Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và làm luận văn này.

của bài toán biên-ban đầu hỗn hợp của phương trình parabolic tuyến
tính cấp hai, khi hệ số của phương trình không phụ thuộc vào biến thời
gian t.
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [5]. Bố cục của
luận văn gồm 2 chương:
• Chương 1 của Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace đối với
hàm số thông thường, nhắc lại các khái niệm về hàm suy rộng, hàm
suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach và phép biến đổi
Laplace đối với hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach.
• Chương 2 của Luận văn trình bày bài toán biên-ban đầu hỗn hợp
cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có các hệ số không
phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng của biến đổi Laplace để
biểu diễn nghiệm của bài toán và một số ví dụ áp dụng.

Footer Page
5 ofbởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 6 of 89.
5

Chương 1
Phép biến đổi Laplace
1.1.
1.1.1.


Ví dụ 1.2. Các hàm sơ cấp cơ bản như f (t) = tm , f (t) = sin t, f (t) =
cos t... đều liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng vẫn chưa
phải là hàm gốc vì không thoả mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1.

Footer Page
6 ofbởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 7 of 89.
6

Tuy nhiên hàm số sau :
0
nếu t < 0
f (t) nếu t ≥ 0

f (t)η(t) =
là một hàm gốc.
1.1.2.

Định nghĩa phép biến đổi Laplace

Phép biến đổi Laplace (hay còn gọi là toán tử Laplace) được định
nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.2. Giả sử f (t) là hàm gốc xác định với mọi t > 0. Biến
đổi Laplace của hàm số f (t) được định nghĩa và ký hiệu là


(−t)e−pt f (t) dt.

F (p) =

(1.3)

0

Chứng minh. Với mọi p = σ + iτ sao cho σ > σ0 ta có
f (t) e−pt
+∞

mà

M e(σ0 −σ)t ,

e(σ0 −σ)t dt hội tụ, do đó tích phân

0

+∞

f (t) e−pt dt hội tụ tuyệt đối.

0

Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace F (p) và

Footer Page

0

0

0
+∞

Me

(σ0 −σ)t

M e(σ0 −σ)t
dt =
σ0 − σ

0

M
= 0 suy ra
σ→∞ σ − σ0

Ngoài ra lim

+∞

Tích phân

|f (t) e−σt |dt

lim

Weierstrass).
Suy ra hàm ảnh F (p) có đạo hàm
+∞

∂
f (t)e−pt dt
∂p

F (p) =
0

tại mọi điểm p thuộc các miền trên.
Vì vậy F (p) giải tích trong miền Re(p) > σ0 .
Nhận xét 1.1. Từ Ví dụ 1.2 suy ra các hàm sơ cấp cơ bản như f (t) = tm ,
f (t) = sin t, f (t) = cos t... đều có biến đổi Laplace L{f (t)η(t)}. Do đó
thay vì viết đầy đủ L{f (t)η(t)} ta có thể viết tắt L{f (t)}. Chẳng hạn
ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)}.
Ví dụ 1.3. Biến đổi Laplace của hàm f (t) = 1 là
+∞

F (p) = L{1}(p) =

e

−pt

e−pt
dt =
−p


Header Page 9 of 89.
8

Ví dụ 1.5. Cho hàm f (t) = tn , biến đổi Laplace của f (t) là
+∞

e−pt tn dt =

F (p) = L{tn }(p) =

1
pn+1

0

Ví dụ 1.6. Hàm f (t) = eαt , α ∈ R có biến đổi Laplace là
+∞

e−pt eαt dt =

F (p) = L{eαt }(p) =

1
p−α

0

Ví dụ 1.7. Hàm sin t có chỉ số tăng σ0 = 0 do đó có biến đổi Laplace là
+∞


1
1 + p2

Các tính chất của phép biến đổi Laplace

Tính chất 1.1. Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính. Nếu f (t) và
g(t) có biến đổi Laplace thì Af (t)+Bg(t) cũng có biến đổi Laplace (A, B
là các hằng số) và
L{Af (t) + Bg(t)}(p) = AL{f (t)}(p) + BL{g(t)}(p).

(1.4)

Chứng minh. Gọi F (p), G(p) lần lượt là ảnh của f (t) và g(t) qua phép
biến đổi Laplace. Theo định nghĩa
+∞

e−pt [Af (t) + Bg(t)]dt.

L{Af (t) + Bg(t)}(p) =
0

Footer Page
9 ofbởi
89.Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 10 of 89.

Tính chất 1.2. Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng.
Nếu F (p) = L{f (t)}(p) thì với mọi hằng số λ > 0 ta có
1 p
F ( ).
λ λ

L{f (λt)}(p) =

(1.5)

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
+∞

e−pt f (λt)dt.

L{f (λt)}(p) =
0

Đổi biến λt = t1 , dt =

1
dt1 ta được
λ
+∞

+∞
p

e−pt f (λt)dt =


Header Page 11 of 89.
10

Tính chất 1.3. Phép biến đổi Laplace có tính dịch chuyển ảnh. Nếu
F (p) = L{f (t)}(p), thì với ∀a ∈ C ta có
L{eat f (t)}(p) = F (p − a).

(1.6)

Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có
+∞

+∞

e−pt (eat f (t))dt =

L{eat f (t)}(p) =
0

e−(p−a)t f (t)dt = F (p − a).
0

Ví dụ 1.10.
L{eat t}(p) =

1
.
(p − a)2

Tính chất 1.4. Phép biến đổi Laplace có tính trễ. Nếu τ là một hằng

Ví dụ 1.11. Ta biết hàm f (t) = e2t có hàm ảnh qua biến đổi Laplace
1
là F (p) =
. Do đó ảnh của hàm f (t − 1) = e2(t−1) qua biến đổi
p−2
Laplace là
e−p
L{f (t − 1)}(p) = e F (p) =
.
p−2
−p

Footer Page
11 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 12 of 89.
11

là hàm chỉ khác 0 trong một khoảng

Ví dụ 1.12. Hàm xung (impulse)
thời gian nào đó

0

.
p
Ví dụ 1.13. Tìm biến đổi Laplace của hàm xung

 0 nếu t < 0
f (t) =
sin t nếu 0 < t < π.

0 nếu t > π
Ta có
f (t) = η(t) sin t − η(t − π) sin t = η(t) sin t + η(t − π) sin(t − π)
Vậy

1
e−πp
1 + e−πp
L{f (t)}(p) = 2
= 2
p + 1 p2 + 1
p +1

Ví dụ 1.14. Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang

0 nếu t < 0




 2 nếu 0 < t < 1
f (t) =

chất f (t) = 0 với ∀t < 0 thì ta có
L{f (t)}(σ + iτ ) = F{e−σt f (t)}(τ ),

(1.8)

trong đó F{g(t)}(τ ) là biến đổi Fourier của g(t) thuộc L1 (R) và được
xác định theo công thức sau
+∞

e−itτ g(t)dt.

F{g(t)}(τ ) =
−∞

Chứng minh. Thật vậy, với f (t) là hàm có tính chất f (t) = 0 với
∀t < 0 thì
+∞

+∞

e−(σ+iτ )t f (t)dt =

L{(f (t)}(σ + iτ ) =
−∞

e−iτ t (e−σt f (t))dt
−∞

= F{e−σt f (t)}(τ ).



Áp dụng công thức tính phân từng phần ta được
+∞

+∞

e−pt f (t)dt = e−pt f (t)

+∞
0

f (t)(−pe−pt )dt = e−pt f (t)

−

0

+∞
.
0

0

Do |f (t)| ≤ M eσ0 t , nên nếu Re(p) = σ > σ0 thì
|f (t)e−pt | ≤ M e(σ−σ0 )t → 0 khi t → +∞.
Ta có
e−pt f (t)

+∞
0

Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 15 of 89.
14

Tương tự áp dụng công thức (1.9) cho L{f (n−1) (t)}(p) ta được
L{f (n) (t)}(p) = p2 L{f (n−2) }(p) − pf (n−2) (0) − f (n−1) (0).
Áp dụng công thức (1.9) liên tiếp như vậy thì cuối cùng ta được
L{f (n) (t)}(p) = pn F (p) − pn−1 f (0) − pf (n−2) f (0) − ... − f (n−1) (0).

1.1.5.

Biến đổi Laplace của tích chập

a. Định nghĩa tích chập của hai hàm gốc.
Định nghĩa 1.3. Tích chập của hai hàm gốc f (t) và g(t) với t ≥ 0 là
hàm số được ký hiệu và xác định bởi công thức
t

(f ∗ g)(t) =

f (τ )gτ (t − τ )dτ.

(1.11)

0


f (τ )g(t − τ )du =
0

Footer Page
15 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

f (t − τ1 )g(τ1 )dτ1 = (g ∗ f )(t).
0

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 16 of 89.
15
t

eτ (t − τ )dτ.

t

Ví dụ 1.16. Tính tích chập e ∗ t =
0

Tính tích phân bên vế phải bằng phương pháp tích phân từng phần ta
được
t


e−pt dt

⇒ L{f ∗ g} =
0

f (τ )g(t − τ )dτ.
0

Xét tích phân bên vế phải. Vì ứng với t cố định thì tích phân theo τ lấy
từ 0 đến t, sau đó cho t biến thiên từ 0 đến +∞ nên vế phải tích phân
π
lặp lấy trong miền quạt G: 0 < arg(t + jτ ) < . Vì khi Re(p) > σ + 1
4
thì do tính chất của tích chập, tích phân lặp này hội tụ tuyệt đối. Do
vậy, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân.
+∞

t

e−pt dt
0

+∞

f (τ )g(t − τ )dτ =
0

Footer Page
16 of
Số hóa

+∞

t

e−pt dt
0

+∞

e−pτ f (τ )dτ

f (τ )g(t − τ )dτ =
0

+∞

0

e−pt1 g(t1 )dt1 = F (p)G(p).
0

Nghĩa là L{f ∗ g} = F (p)G(p).
Ví dụ 1.17.
L{t ∗ sin t} = L{t}L{sin t} =

1 1
1
=
.
p2 p2 + 1 p2 (p2 + 1)

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 18 of 89.
17

1.1.6.

Phép biến đổi Laplace ngược

Như ta đã biết, phép biến đổi Laplace biến một hàm gốc cho trước
thành một hàm ảnh. Trong mục này ta sẽ đi xét bài toán ngược lại. Tức
là cho trước hàm ảnh, ta sẽ đi tìm hàm gốc. Tuy nhiên, không phải hàm
nào cũng có thể là hàm ảnh được. Ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một
hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó.
a. Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược.
Định nghĩa 1.4. Cho hàm F (p), nếu tồn tại hàm gốc f (t) sao cho
L{f (t)}(p) = F (p) thì ta nói f (t) là biến đổi Laplace ngược của F (p) và
ký hiệu là
f (t) = L−1 {F (p)}.

(1.17)

Ví dụ 1.18. Cho hàm f (t) = t, biến đổi Laplace của f (t) là
+∞

e−pt tdt =

F (p) = L{t}(p) =



trong đó tích phân vế phải được lấy trên đường thẳng Re(p) = σ theo
hướng từ dưới lên, với σ là số thực bất kì lớn hơn σ0 .
Công thức (1.18) được gọi là công thức nghịch đảo của Mellin. Ta
thừa nhận mà không chứng minh định lý trên.
c. Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược.
Định lý 1.6 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có
Footer Page
18 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 19 of 89.
18

biến đổi ngược. Chẳng hạn hàm F (p) = p2 không thể là ảnh của hàm
gốc nào vì lim F (p) = ∞.
Re(p)→∞

Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi
ngược.
Định lý 1.7. Giả sử hàm phức F (p) thoả mãn ba điều kiện sau :
i) F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re(p) > σ0 .
ii) |F (p)| ≤ MR với mọi p thuộc đường tròn |p| = R và lim MR = 0.
R→∞


Tập D cùng với sự hội tụ trên được gọi là không gian các hàm cơ bản.
Định nghĩa 1.6. Gọi D = D (R) là tập gồm tất cả những phiếm hàm
tuyến tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản D. Tập D cùng với
sự hội tụ yếu trong D được gọi là không gian các hàm suy rộng. Trong
đó sự hội tụ yếu trong D được định nghĩa như sau :
Dãy (fn )n=1,2,... ∈ D được gọi là hội tụ về f ∈ D (viết là fn → f khi
n → ∞ trong D ) nếu ∀ϕ ∈ D thì
fn , ϕ → f, ϕ

Footer Page
19 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

khi n → ∞.

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 20 of 89.
19

1.2.2.

Các ví dụ

Ví dụ 1.19. Giả sử f là hàm thuộc L1loc (R), tức là hàm khả tích địa
phương. Khi đó phiếm hàm tuyến tính
f (ϕ) = f, ϕ =


K
K

K

Do đó, phiếm hàm tuyến tính trên là liên tục.
Ví dụ 1.20. Giả sử f ∈ Lp (R) với 1 ≤ p ≤ +∞. Khi đó phiếm hàm
tuyến tính f (ϕ) xác định bởi công thức
f (ϕ) = f, ϕ =

f (t)ϕ(t)dt,

(1.20)

R

với ϕ(t) ∈ D(R), là hàm suy rộng thuộc D (R).
Trong đó Lp (R) là tập hợp tất cả các hàm số xác định và đo được trên
R sao cho

 p1
f

Lp

|f (t)|p dt < ∞.

≡


a

(b − a) q f (t)
1 1
trong đó 1 ≤ p, q < +∞ và + = 1.
p q
Do vậy f (t) khả tích trên [a, b].
1.2.3.

a

a
1

|f (t)|p dt

1q dt 



Lp (R) ,

Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng

a. Phép tính đạo hàm
Cho f ∈ D , khi đó đạo hàm cấp k của f , kí hiệu là f (k) được định nghĩa
theo công thức sau
f (k) , ϕ = (−1)k f, ϕ(k) .

(1.22)

Ví dụ 1.21. Cho f (t) ∈ D (R), a ∈ E. Khi đó phiếm hàm f (t)a ∈ D (E),
trong đó
f (t)a, ϕ(t) = f, ϕ a.
Ví dụ 1.22. Cho a ∈ E. Xét phiếm hàm δa (t) được định nghĩa bởi
δa (t), ϕ = ϕ(0)a.

(1.24)

Khi đó, δa (t) ∈ D (E).
1.4.
1.4.1.

Biến đổi Laplace với hàm suy rộng
Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compact

Định lý 1.8. (Định lý Paley-Wiener) Giả sử ϕ(t) ∈ D(R), trong đó
D(R) là tập các hàm khả vi vô hạn có giá compact trên R, tức là với
mọi A > 0 thì
suppϕ ⊂ [−A, A] ⊂ R,
trong đó,
suppϕ = {t ∈ R; ϕ(t) = 0}.
Khi đó biến đổi Laplace
A

e−pt ϕ(t)dt

L{ϕ}(p) =
−A

xác định với mọi p ∈ C và là hàm giải tích trên C, hơn nữa với ∀N ∈ N,

Ta ký hiệu L(D(R)) là tập hợp các hàm F (p) giải tích trên C sao cho
thoả mãn (1.25), trong đó A > 0 là một hằng số phụ thuộc F (p).
Cho dãy {Fn (p)} ⊂ L(D(R)). Ta nói Fn (p) → 0 trong L(D(R)) nếu nó
thoả mãn hai điều kiện sau
i) ∃A > 0 chung cho mọi Fn (p) trong bất đẳng thức (1.26).
ii) Với ∀N ∈ N thì
sup(e−A|Re(p)| (1 + |p|)N |Fn (p)|) → 0,

khi n → ∞.

C

Tập hợp L(D(R)) với sự hội tụ trên là không gian vectơ tôpô.
1.4.2.

Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng
nhận giá trị trong không gian Banach

Như ta đã biết ở phần trước, biến đổi Laplace của một hàm f (t) được
xác định bởi công thức
+∞

e−(σ+iτ )t f (t)dt,

L{f }(σ + iτ ) =

(1.27)

0


Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 24 of 89.
23

Ta ký hiệu D+ là tập hợp các hàm suy rộng T trên trục thực thoả mãn
T = 0 trong (−∞, 0). Chẳng hạn δa (t) ∈ D+ (E). Khi đó ta sẽ mở rộng
phép biến đổi Laplace cho các hàm suy rộng T ∈ D+ (E).
Giả sử f (t) là hàm gốc thông thường và ϕ(t) ∈ D(R). Khi đó e−σt f (t) ∈
L2 (R), eσt ϕ(t) ∈ L2 (R).
Do đó theo công thức Parseval ta có
+∞

f, ϕ =

+∞

(e−σt f (t))(eσt ϕ(t))dt

f (t)ϕ(t)dt =
0

0

(e−σt f (t))(eσt ϕ(t))dt =

Từ (1.31) và (1.32) ta có
f, ϕ =

1
2π

L{f (t)}(σ + iτ )L{ϕ(−t)}(σ + iτ )dτ
R

=

1
L{f (t)}(σ + iτ ), L{ϕ(−t)}(σ + iτ ) .
2π

(1.33)

Giả sử T ∈ D (E). Từ công thức (1.33) ta suy ra định nghĩa biến đổi
Laplace đối với T như sau

Footer Page
24 of
Số hóa
bởi89.
Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

http://www.lrc-tnu.edu.vn


Header Page 25 of 89.

=

L{ϕ(t)}(σ + iτ )dτ = 1p , L{ϕ(t)}(p) .
−∞

1.4.3.

Công thức nghịch đảo

Ta có công thức nghịch đảo cho khai triển Laplace như sau
T = F −1 {eσt L{T }(σ + iτ )}.

(1.36)

Trong công thức trên, F −1 là biến đổi Fourier ngược, biến đổi các hàm
suy rộng biến τ thành các hàm suy rộng biến t, σ đóng vai trò là tham
số.
Công thức (1.36) có thể được viết lại như sau
+∞

T = (2π)−1

e(σ+iτ )t L{T }(σ + iτ )dτ.

(1.37)

−∞

Đổi biến p = σ + iτ ta được
T =