TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------

TẠ THỊ LAN ANH

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2016


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-------------------

TẠ THỊ LAN ANH

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12
GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. ĐÀO THỊ HOA



MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ......................................................... 3
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ....................................................................... 3
6. Giả thuyết khoa học .............................................................................. 3
7. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 3
NỘI DUNG ............................................................................................... 4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN ................................................................ 4
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán .............................................. 4
1.1.1. Khái niệm bài toán .......................................................................... 4
1.1.2. Khái niệm lời giải của bài toán ....................................................... 4
1.2. Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học ......................... 4
1.2.1. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện mục tiêu dạy học......... 5
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học ........ 5
1.2.3. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện phƣơng pháp dạy học ..... 6
1.3. Phân loại bài toán ............................................................................... 6
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán .................................................... 6
1.3.2. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán. ............................................ 7
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán. .................................................... 7
1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa toán học. ..................................................... 7
1.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán .................................................. 8
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1........................................................................ 10



1. Lí do chọn đề tài
Bƣớc sang thế kỉ XXI, thế kỉ của nền văn minh trí tuệ với xu thế
toàn cầu hóa đã tác động và ảnh hƣởng đến nhiều quốc gia trên thế giới –
trong đó có Việt Nam. Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học – công nghệ,
tính chất phức tạp của kinh tế thị trƣờng và xu thế phát triển của thời đại
đã ảnh hƣởng sâu sắc, toàn diện đến sự nghiệp giáo dục và đào tạo, đặc
biệt là giáo dục phổ thông. Trong điều kiện đó, đặt ra yêu cầu đối với
ngành giáo dục Việt Nam là phải đào tạo ra những con ngƣời có tri thức
khoa học, bản lĩnh chính trị, có phẩm chất đạo đức và kĩ năng sống.
Chính vì thế Đảng đã chỉ rõ: “Giáo dục là quốc sách hàng đầu”.
Trong Nghị quyết 29-NQ/TW của Ban Chấp hành Trung ƣơng về
“Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo” đã nêu: “Tiếp tục đổi
mới mạnh mẽ phƣơng pháp dạy và học theo hƣớng hiện đại; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của
ngƣời học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc.
Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để ngƣời
học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng và phát triển năng lực.”
Những nội dung trên phản ánh nhu cầu đổi mới phƣơng pháp giáo
dục, để giải quyết mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngƣời mới và
thực trạng lạc hậu chung của phƣơng pháp dạy học ở nƣớc ta hiện nay.
Do đó, môn Toán nói chung và môn Toán ở trƣờng trung học phổ thông
nói riêng cũng đứng trƣớc một yêu cầu cấp bách, đó là đổi mới về nội
dung, mục tiêu và phƣơng pháp dạy học.
Trong chƣơng trình Toán ở trung học phổ thông, chủ đề nguyên
hàm,tích phân là một trong những kiến thức rất cơ bản và quan trọng.
Chủ đề này học sinh đƣợc học vào nửa cuối năm lớp 12. Phép tính tích
phân không những là một đối tƣợng nghiên cứu trọng tâm của Giải tích
1




- Xin ý kiến chuyên gia về chất lƣợng của những cách hƣớng dẫn
giải khác nhau cho cùng một bài toán nguyên hàm, tích phân.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Bài tập toán thuộc chủ đề nguyên hàm,
tích phân.
- Phạm vi nghiên cứu: Chƣơng trình Toán lớp 12 bậc trung học
phổ thông.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Quan sát điều tra
- Tổng kết kinh nghiệm
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng và sử dụng đƣợc các cách hƣớng dẫn học sinh giải
các bài tập thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân phù hợp với trình độ học
sinh thì sẽ nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này, góp phần phát
triển năng lực giải bài tập cho học sinh.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm 2 chƣơng.
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận
Chƣơng 2. Hƣớng dẫn học sinh lớp 12 giải bài toán nguyên hàm,
tích phân bằng nhiều cách.

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán

Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học là giá mang
những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ
đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng
khác nhau hƣớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ
thể là:
- Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào
thực tiễn.
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tƣ duy,
hình thành những phẩm chất trí tuệ.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của ngƣời lao động mới.[4]
Ví dụ: Khi giải phƣơng trình “ x4  2 x 2  3 ”, đây là phƣơng trình
bậc 4 trùng phƣơng, học sinh đƣợc ôn tập lại kiến thức về giải phƣơng
trình bậc 2. Vậy để xuất hiện bậc 2, ta sẽ đặt u  x 2 . Việc đặt u  x 2 sẽ
giúp ta giải quyết vấn đề. Qua hoạt động tìm tòi trên đã giúp rèn cho học
sinh thao tác tƣ duy, quy lạ về quen, linh hoạt vận dụng tri thức sẵn có.
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá
mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện
cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã
đƣợc trình bày trong phần lí thuyết.[4]
Ví dụ: Trong Đại số 10, khi giảng dạy về bài “ Công thức lƣợng
giác”, giáo viên đƣa bài tập “ Hãy biểu diễn sin 3a và cos3a qua

5


sin a;cos a ?” Để giải đƣợc bài toán này, học sinh phải sử dụng đến công
thức cộng và tách góc 3a = 2a + a. Từ đó ta thu đƣợc kết quả:


Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chƣa có sẵn
trong đề bài toán. [2]
1.3.2. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán.
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán: Bài toán này có
angorit giải hay chƣa để chia các bài toán thành 2 loại:
Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó
theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải
của nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit
nào. [2]
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán.
[2] Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo
thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài
toán thành các loại khác nhau nhƣ sau:
Bài toán số học
Bài toán đại số
Bài toán hình học
1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa toán học.
Ngƣời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài
toán: bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ
năng nào đó hay là bài toán nhằm phát triển tƣ duy. Ta có hai loại bài
toán nhƣ sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tƣ duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng nhƣ kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một kĩ năng
tƣ duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo. [2]

7


8


Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
 Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật
ngƣợc vấn đề.
Ví dụ: Hƣớng dẫn học sinh giải bài toán sau
3

“Tính tích phân I  
0

1
dx ”
x 2  3x  2

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Đây là tích phân hàm phân thức hữu tỷ. Mẫu thức có thể phân
tích thành nhân tử: x 2 3x  2  ( x  1)( x  2)
Bƣớc 2: Tìm cách giải
Đối với dạng toán có mẫu có thể phân tích đƣợc thành nhân tử thì ta
có thể tách chúng thành các thành phần nhỏ để tính tích phân dễ dàng hơn.
Sử dụng đồng nhất thức để tìm ra hệ số A, B

1
A
B


2)
0
0
( x  1)  ( x  2)
1
1

dx  
dx  
dx
(
x

1)(
x

2)
x

2
x

1
0
0
0
3

3


tƣơng tự sau đây:
1

a) Tính I  
0

b) Tính I 

1
dx
x 1
3

1 5
2


1

x2  1
dx
x4  x2  1

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng 1 đã thực hiện đƣợc nhiệm vụ 1 đề ra trong khóa luận.
Trong chƣơng này, khóa luận đã hệ thống những vấn đề lí luận về bài
toán, lời giải và phƣơng pháp chung để giải một bài toán. Đó là tiền đề
mang tính lí luận cho việc xây dựng các cách hƣớng dẫn học sinh giải
bài tập trong chƣơng 2. Vai trò của lời giải trong quá trình dạy học là cực
kì quan trọng. Chính vì vậy, việc xây dựng nhiều lời giải cho một bài

bài toán thuộc chủ đề nguyên hàm, tích phân, đƣợc rèn luyện tƣ duy linh
hoạt, sáng tạo khi giải các dạng bài tập khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh tính quy củ, tính kế hoạch, cẩn thận, thói
quen tự kiểm tra, đánh giá.
11


- Thái độ tự giác, tích cực, chủ động trong học tập chủ đề. [8]
2.2. Những kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân trong chƣơng
trình Toán lớp 12 bậc THPT.
2.2.1. Một số kiến thức cơ bản về nguyên hàm
2.2.1.1. Khái niệm nguyên hàm
[7] Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đƣợc gọi là nguyên
hàm của f trên K nếu F '( x)  f ( x) với mọi x thuộc K.
2.2.1.2. Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
* Định lí 1
[7] Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó
a) Với mỗi hằng số C, hàm số y  F ( x)  C cũng là một nguyên
hàm của f trên K.
b) Ngƣợc lại, với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một
hằng số C sao cho G( x)  F ( x)  C với mọi x thuộc K.
* Định lí 2
[7] Nếu f, g là hai hàm số liên tục trên K thì
a)  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b) Với mọi số thực k  0 ta có

 k. f ( x)dx  k. f ( x)dx
2.2.1.3. Bảng nguyên hàm của 1 số hàm số thƣờng gặp
1  0dx  C ,


 C (0 < a  1)
ln a


4) Với k là hằng số khác 0
a)  sin kxdx  

coskx
C
k

5) a)
b)

1
 cos2 x dx  tan x  C

1
 sin 2 x dx   cotx  C [7]

2.2.1.4. Một số phƣơng pháp tìm nguyên hàm
- Phương pháp dùng bảng nguyên hàm cơ bản
- Phương pháp đổi biến số
* Định lí
[7] Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số
y  f (u ) liên tục sao cho f [u( x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một

nguyên hàm của f, tức là

 f (u )du  F (u )  C thì

a

2)

3)

b

a

a

b

 f ( x)dx    f ( x)dx
b

c

c

a

b

a

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b


u (b )

 f [u(x)].u '( x)dx  
a

f (u )du

u (a)

Phƣơng pháp đổi biến số thƣờng đƣợc áp dụng theo 2 cách sau đây:
b

Cách 1 Giả sử ta cần tính

 g ( x)dx . Nếu ta viết đƣợc

g ( x) dƣới dạng

a

b

f[u(x)].u’(x), thì theo công thức (1) ta có  g ( x)dx 
a

14

u (b )



b

 f ( x)dx   f [ x(t )].x '(t )dt
a

b

Bài toán qui về tính  g (t )dt
a

- Phương pháp tích phân từng phần
[7] Cho u, v là các hàm số có đạo hàm liên tục trên K và a, b là hai
số thuộc K. Ta có
b

b

 u ( x).v '( x)dx  (u( x).v( x)) a   v( x).u '( x)dx
b

a

a

- Phương pháp sử dụng tích phân liên kết
b

Trong một số bài toán tính tích phân I   f ( x)dx , ta tìm đến tích
a


S   f ( x ) dx
a

* Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm sô y =
f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và hai đƣờng thẳng x = a, x = b ta
có công thức sau:
b

S   f ( x)  g ( x) dx
a

b) Tính thể tích vật thể
* Gọi B là phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại các điểm a và b.
S(x) là diện tích thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục
Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b) . Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a ;
b] thì thể tích của B là
b

V   S ( x )dx
a

16


* Thể tích của khối tròn xoay
- Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các
đƣờng y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh
trục Ox là
b

* Phân tích: Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính

nguyên hàm
* Lời giải đúng:

 g  x  dx    x  1 e

x

dx   xe  x dx   e  x dx    1  x  e  x  C1    e  x  C2 

17


  xe x  C với C = C1 – C2.
b) Sai lầm khi sử dụng phương pháp đổi biến nhưng không đổi về biến
ban đầu
Ví dụ 2: Tính nguyên hàm I    2x  1 dx
5

* Lời giải có sai lầm: Đặt t  2 x  1
 dt  2dx  dx 

dt
dt t 6
5
   2x  1 dx   t 5   C
2
2 12


1
1 1


  1
x  1 3 2 2
1

dx

 x  1

2

2

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: y 

1

 x  1

2

không xác định tại

x  1  3;1

* Lời giải đúng: Hàm số y 


x2 1
1 1
e 1
x 1
I   x.e dx   xdx. e dx 
(  1) 
0 .( e ) 0 
2
2 e
2e
0
0
0
1

x

1

1

x

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc
nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần.
1

1
* Lời giải đúng: I  ( x.e )   e  x dx    e  x
e

x

1

t  3
dt t 4 3 20
I  5 
1 
t

4
81
1
3

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm: Khi thực hiện đổi biến số học
sinh đã quên không tính vi phân dt.
* Lời giải đúng: Đặt t  2 x  1  dt  2dx
19