TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
---------------------

ĐỖ THỊ HẬU

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI
TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

Hà Nội, 2016


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
---------------------

ĐỖ THỊ HẬU

HƢỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI
TOÁN THUỘC CHỦ ĐỀ PHÉP BIẾN HÌNH
BẰNG NHIỀU CÁCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Khóa luận tốt nghiệp này là quá trình học tập, nghiên cứu và nỗ lực của
bản thân em dƣới sự chỉ bảo của các thầy, cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo,
hƣớng dẫn tận tình của cô giáo Đào Thị Hoa.
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài
toán thuộc chủ đề phép biến hình bằng nhiều cách” không có sự trùng lặp với
các khóa luận khác và kết quả thu đƣợc trong đề tài này là hoàn toàn xác thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2016
Sinh viên
Đỗ Thị Hậu


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ...............................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài ..........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...............................................................2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ..............................................................................2
6. Giả thuyết khoa học ......................................................................................2
7. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................3
NỘI DUNG ..........................................................................................................4
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN ...........................................................................4
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán.....................................................4
1.2. Vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học...............................4
1.3. Phân loại bài toán.......................................................................................6
1.4. Phƣơng pháp chung để giải bài toán. .......................................................7

bản toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ ra mục tiêu chung của giáo dục hiện
nay là “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lƣợng, hiệu quả giáo dục,
đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và
nhu cầu học tập của nhân dân. Giáo dục con ngƣời Việt Nam phát triển toàn
diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu
gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả. Xây dựng
nền giáo dục mở, thực học, thực nghiệp, dạy tốt, học tốt, quản lý tốt; có cơ
cấu và phƣơng thức giáo dục hợp lý, gắn với xây dựng xã hội học tập;”
Trong trƣờng Phổ thông, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực
hiện mục tiêu chung của giáo dục. Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh
kiến tạo tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn có tác
dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, đồng thời là công cụ để học
các môn học khác.
Trong các phân môn của Toán học thì Hình học là một môn học có tính hệ
thống rất chặt chẽ, có tính lôgic và có tính trừu tƣợng cao hơn so với các môn
học khác, có thể nói hình học là môn học khó đối với nhiều học sinh, đặc biệt
là phần phép biến hình ở lớp 11. Việc giải quyết một bài toán về phép biến
hình không hề đơn giản, học sinh không chỉ phải nắm vững kiến thức cơ bản
mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và cần phải thực hành nhiều.
Tuy nhiên, trên thực tế đa phần học sinh nắm không chắc kiến thức về chủ đề
này và chƣa biết cách áp dụng lí thuyết vào bài tập. Khi dạy học chủ đề này
giáo viên cũng gặp không ít khó khăn trong việc diễn đạt và trình bày cho học
sinh hiểu. Để giúp bản thân vƣợt qua các khó khăn trong quá trình dạy học,
giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về chủ đề phép biến hình,

1


Đỗ Thị Hậu


2


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần: mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận gồm 2
chƣơng sau:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận.
Chƣơng 2. Hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ đề phép
biến hình bằng nhiều cách.

3


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải bài toán
1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo GPOLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách
có ý thức các phƣơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông
thấy rõ ràng, nhƣng không thể đạt đƣợc ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của GPOLYA cho ta thấy rằng: Bài
toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Nhƣ vậy, bài toán có thể đồng nhất

việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
- Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của
quá trình dạy học, kể cả những kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn;
- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tƣ duy, hình thành
những phẩm chất trí tuệ;
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất
đạo đức của ngƣời lao động mới. [5]
Ví dụ: Khi giải bài toán: “Chứng minh rằng tổng các góc trong một tứ giác
bằng 360°”, học sinh đƣợc củng cố kiến thức cũ, đó là tổng ba góc trong một
tam giác bằng 180°. Vậy thì làm thế nào để xuất hiện tam giác ở đây? Việc kẻ
thêm đƣờng chéo sẽ giúp ta giải quyết vấn đề. Qua hoạt động tìm tòi trên đã
giúp rèn cho học sinh thao tác tƣ duy, quy lạ về quen, linh hoạt vận dụng tri
thức sẵn có.
1.2.2. Vai trò của bài tập toán học trên bình diện nội dung dạy học
Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang
hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phƣơng tiện cài đặt nội
dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lí thuyết. [5]
Ví dụ: Khi học xong về phƣơng trình đƣờng thẳng, khoảng cách và góc (lớp
10), giáo viên đƣa bài tập viết phƣơng trình đƣờng phân giác ∆ của 1 góc
đƣợc tạo bởi 2 đƣờng thẳng d: ax + by +c = 0 và d’: a’x + b’y + c’ = 0. Để
giải bài toán này học sinh phải xây dựng phƣơng trình đƣờng phân giác dựa
vào khoảng cách:

5


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

1.3. Phân loại bài toán
Ngƣời ta phân loại các bài toán theo nhiều cấp khác nhau để đạt đƣợc
mục đích nhất định, thƣờng là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã đƣợc đƣa ra
một cách rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chƣa có sẵn trong
đề bài toán. [3]

6


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

1.3.2. Phân loại theo phƣơng pháp giải toán
Ngƣời ta căn cứ vào phƣơng pháp giải bài toán: Bài toán này có angorit
giải hay chƣa để chia các bài toán thành hai loại:
Bài toán có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó theo
một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có angorit giải: Là bài toán mà phƣơng pháp giải của nó
không theo một angorit nào đó hoặc không mang tính chất angorit nào. [3]
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán.
Ngƣời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đƣợc phát biểu theo thuật
ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành
các loại khác nhau nhƣ sau:
Bài toán số học
Bài toán đại số
Bài toán hình học [3]

hệ cái đã có đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ
bài toán cần giải với một bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng,
một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử
dụng các phƣơng pháp đặc thù với từng dạng toán nhƣ phản chứng, quy
nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích....
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại từng bƣớc thực hiện hoặc đặc biệt
hoá kết quả đạt đƣợc hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên
quan,...
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải
hợp lí nhất.
Bƣớc 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chƣơng
trình gồm các bƣớc theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bƣớc đó.
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả cho lời giải.
 Nghiên cứu giải những bài toán tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn
đề.[5]

8


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ: Hƣớng dẫn học sinh giải bài toán sau
“Chứng minh rằng tam giác có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm
đƣờng tròn nội tiếp là tam giác đều.”

Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Do vậy theo tính chất bắc cầu, ta có AD = DB = BE = EC = CF =FA (1)
Mặt khác AB = AD + DB, BC = BE + EC, AC = AF + FC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA. Vậy tam giác ABC đều (đpcm)
Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Giáo viên: Chiều ngƣợc lại của bài toán có đúng không? Hãy giải thích câu
trả lời?
Học sinh: Điều ngƣợc lại “Trong tam giác đều, tâm đƣờng tròn ngoại tiếp
trùng tâm đƣờng tròn nội tiếp” hoàn toàn đúng. Ta có dễ dàng chứng minh
bằng cách xét các tam giác bằng nhau.
Giáo viên: Ta có thể phát biểu bài toán theo hai chiều nhƣ sau: “ Một tam giác
là đều khi và chỉ khi nó có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm đƣờng tròn
nội tiếp”.
Giáo viên: (i) Mở rộng bài toán ra đối với tứ giác ta có bài toán sau: “ Một tứ
giác là hình vuông khi và chỉ khi nó có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm
đƣờng nội ngoại tiếp”.
(ii) Mở rộng ra trƣờng hợp đa giác lồi: “Một đa giác lồi là đều khi
và chỉ khi nó có tâm đƣờng tròn ngoại tiếp trùng tâm đƣờng tròn nội tiếp.”
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng 1 đã thực hiện đƣợc nhiệm vụ 1 đề ra trong khoá luận. Trong
chƣơng này, khóa luận đã hệ thống những vấn đề lí luận về bài toán, lời giải
và phƣơng pháp chung để giải một bài toán. Đó là tiền đề mang tính lí luận

10


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

cho việc xây dựng các cách hƣớng dẫn học sinh lớp 11 giải bài toán thuộc chủ

2.2. Những kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng.
2.2.1. Phép biến hình
• Định nghĩa
Phép biến hình (trong mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được duy nhất một điểm M’ thuộc mặt phẳng ấy.
Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.
Ta thƣờng kí hiệu phép biến hình là F và viết F(M) = M’ hay M’ = F(M). Nếu
H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H’ = F(H) là tập các điểm

12


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình
H’, hay hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
Để chứng minh hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F ta có thể
chứng minh: Với điếm M tuỳ ý thuộc H thì F(M) thuộc H’ và với mỗi M’
thuộc H’ thì có M thuộc H sao cho F(M) = M’.
Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt phẳng thành chính nó đƣợc gọi là
phép đồng nhất.
2.2.2. Phép tịnh tiến
• Định nghĩa
Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’
sao cho MM '  u
Phép tịnh tiến theo u thƣờng đƣợc kí hiệu là Tu .
Nhƣ vậy Tu (M) = M' MM' = u


Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa
hai điểm bất kì.
• Tính chất
Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
2.2.4. Phép đối xứng trục
• Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đƣờng thẳng d.
Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d
thành chính nó, biến mỗi điểm M không
thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đƣờng
trung trực của MM’ đƣợc gọi là phép đối
xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng
trục d.
Phép đối xứng qua trục d thƣờng đƣợc kí hiệu là Đd. Nhƣ vậy M’= Đd(M)
 M0M' = -M0M ,với M0 là hình chiếu vuông góc của M trên d.

Đƣờng thẳng d đƣợc gọi là trục đối xứng của hình H nếu Đd biến H thành
chính nó. Khi đó H đƣợc gọi là hình có trục đối xứng.
• Tính chất
Phép đối xứng trục là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất
của phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và

14


Đỗ Thị Hậu

đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia

15


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành
tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, biến
góc thành góc bằng nó.
2.2.6. Phép đối xứng tâm.
• Định nghĩa
Phép đối xứng qua điểm I là một phép biến hình biến mỗi điểm M
thành điểm M’ đối xứng với M qua I, có nghĩa là IM  IM '  0 .
Phép đối xứng tâm I thƣờng đƣợc kí hiệu là ĐI .

• Tính chất
Phép đối xứng tâm là phép dời hình nên có đầy đủ các tính chất của
phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng,
biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác
thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính,
biến góc thành góc bằng nó.
• Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho I = (x0; y0) và M’ = (x’; y’) là ảnh
của M = (x; y) qua phép đối xứng tâm I. Khi đó
 x '  2x 0  x


thẳng mà độ dài được nhân lên với |k|, biến tam giác thành tam giác đồng
dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó; biến đường tròn
có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|.R
• Tâm vị tự của hai đƣờng tròn
Là tâm của phép vị tự V biến đường tròn này thành đường tròn kia.
Tâm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tuỳ theo tỉ số vị tự là
dương hay âm.
Hai đường tròn có bán kính khác nhau thì có một tâm vị tự ngoài và
một tâm vị tự trong. Hai đường tròn có bán kính bằng nhau (tâm khác nhau)
thì chỉ có tâm vị tự trong, đó chính là trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai
đường tròn.

17


Đỗ Thị Hậu

Khóa luận tốt nghiệp

2.2.9. Phép đồng dạng
• Định nghĩa
Phép đồng dạng tỉ số k (k>0) là phép biến hình biến hai điểm tuỳ ý M,
N thành hai điểm M’, N’ sao cho M’N’= k.MN.
• Định lí
Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một phép vị tự V tỉ
số k và một phép dời hình D.
• Tính chất
Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường
thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được

Phép đối xứng tâm

Phép đồng nhất

2.2.11. Một số dạng toán thuộc chủ đề phép biến hình trong mặt phẳng.
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua một phép biến hình.
Để giải quyết các bài toán dạng này, học sinh cần nắm chắc các kiến
thức cơ bản về các phép biến hình, đặc biệt là biểu thức toạ độ.
Dạng 2: Dạng toán chứng minh.
Trong dạng này ta sẽ gặp các bài toán nhƣ: Chứng minh 3 điểm thẳng
hàng, chứng minh một đẳng thức nào đó, chứng minh một tam giác là đều...
những bài toán nhƣ vậy hoàn toàn có thể giải theo cách sơ cấp thông thƣờng,
nhƣng nếu đƣợc giải theo cách sử dụng phép biến hình thì sẽ cho ta một lời
giải ngắn gọn, tiết kiệm thời gian và công sức.
Dạng 3: Dạng toán tìm tập hợp điểm (Bài toán quỹ tích).
- Khái niệm bài toán quỹ tích: Bài toán quỹ tích là bài toán đi tìm một tập hợp
những điểm có tính chất  cho trƣớc.
Quỹ tích những điểm M có tính chất  cho trƣớc có thể là tập rỗng, tập hợp
một điểm, tập hợp hữu hạn điểm hoặc vô hạn điểm.
- Các bƣớc giải bài toán quỹ tích bằng cách sử dụng phép biến hình:
Bƣớc 1: Tìm hiểu kỹ bài toán (nắm chắc các yếu tố đặc trƣng của bài
toán: yếu tố cố định, yếu tố không đổi, quan hệ không đổi, yếu tố thay đổi)

19