ỦY BAN NHÂN DÂN QUẬN 1
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC

VÒNG THI KIẾN THỨC
NGÀY HỘI HỌC SINH CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ
Năm học : 2016 – 2017
Môn thi: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2017
(Đề thi gồm có 01 trang)

Câu 1: (6,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

( x99−1 + x − 99) + ( x97− 3 + x93− 7 ) + ( x95− 5 + x −595) = 6 .

b) (4x − 5)2 (2x − 3)(x −1) = 9 .
c)

5
23
2
+1 = 2
−
.
x −8
x − 5x − 24 x + 3

Câu 2: (5,0 điểm)
y

+
+
a)
99
97
93
95
5

)(

(

)(

)

 1 +1+ 1 + 1 + 1 + 1 
x −1
x −3
x −7
x −5
x − 95
−1+ x − 99 −1+
−1+
− 1+
−1 +
−1= 0 ⇔ (x −100)  1
=0
97

23
2
+1 = 2
−
.
x −8
x − 5x − 24 x + 3

Câu 2:
y
2y2
4y4
8y8
y
2y2
4y 4 (x 4 − y 4 ) + 8y8
a) Với x ≠ ± y , ta có x + y + x 2 + y2 + x 4 + y4 + x8 − y8 = 4 ⇔ x + y + x 2 + y2 + (x 4 − y4 )(x 4 + y4 ) = 4
⇔

y
2y2
4y4 (x 4 + y4 )
y
2y 2
4y4
y
2y 2 (x 2 − y 2 ) + 4y 4
+ 2 2 + 4 4 4 4 =4⇔
+ 2 2 + 4 4 =4⇔
+ 2 2 2 2 =4

⇒ a3 + b3 + c3 + d3 ≡ 0(mod 3).
a ≡ . . . (mod 3) 0 1 –1
a3 ≡ . . . (mod 3) 0 1 –1
Suy ra a ≡ a3(mod 3). Tương tự b ≡ b3(mod 3); c ≡ c3(mod 3);
d ≡ d3(mod 3) nên a + b + c + d ≡ a3 + b3 + c3 + d3 ≡ 0(mod 3) hay a + b + c + d chia hết cho 3.
Câu 3:
Gọi số học sinh ban đầu của lớp 81, 82, 83 , 84 lần lượt là x1, x2, x3 , x4 ∈¥ ∗
⇒ x1+ x2 + x3 + x4 = 39,5.4 = 158 (học sinh)(1)


• Ta có x1 – 4 = x2 + 4 ⇒ x1 = x2 + 8

• x3 =

x1 + x 2
x +8 + x2
⇒ x3 = 2
= x 2 + 4 và
2
2

x2 + x3
x +x +4
⇒ x4 = 2 2
= x 2 + 2 . Thế vào (1), tính được x2 = 36 ; x1 = 44 ; x3 = 40 ; x4 = 38
2
2
Câu 4:
a) Gọi cạnh tam giác đều ABC là a và chiều cao là h. Ta có :
1

h
a
a
không đổi
y E
z
M
Dấu ‘’=’’ xảy ra ⇔ x = y = z ⇔ M là giao điểm 3 đường phân giác của
∆ABC(M là tâm của tam giác đều ABC)
x
x4 =

a
B
D
Câu 5:
A
a) • Ta có: ∆HEB ~ ∆HDC(g.g) ⇒ ∆HED ~ ∆HBC(c.g.c)
b)Vẽ đường thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB, AC lần lượt tại F, G ⇒ FG // IK.
• Vẽ CV // MH(V ∈ BD) mà FG ⊥ MH ⇒ CV ⊥ FG, cho HG cắt CV tại T
⇒ HT ⊥ CV.
E
• ∆HCV có hai đường cao CD và HT cắt nhau tại G ⇒ G là trực tâm
F
·
·
⇒ VG ⊥ CH mà BF ⊥ CH ⇒ BF // VG ⇒ FBH
(so le trong) .
= GVH
H