BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Mơ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Mơ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

tập và nghiên cứu, dưới sự chỉ dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh và sự
giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 và của các Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Một số phương pháp giải phương
trình tích phân kì tuyến tính kì dị" là kết quả của việc nghiên cứu, học
tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác.

Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016
Sinh viên
Nguyễn Thị Mơ

ii


Mục lục

Lời mở đầu

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

1.2


8

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Định nghĩa biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Tính chất của biến đổi Laplace . . . . . . . . . .

12

Tính gần đúng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.1

Đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

2 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH KÌ DỊ

28

2.1

Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.1

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . .

29

2.1.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.1.3


37

Các phương trình Voterra kì dị yếu . . . . . . . . . . . .

37

2.3.1

Phương pháp biến đổi Laplace . . . . . . . . . . .

38

2.3.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.3

Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2

3.1.3

Bài tập

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Phương trình Volterra kì dị yếu . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2.1

Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . .

54

3.2.2

Ví dụ

57

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học


phân nhằm giải phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định
hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lí mà phương trình vi phân không
thể mô tả được như hiện tượng khuếch tán, hiện tượng truyền, ... Vì vậy,
việc nghiên cứu giải phương trình tích phân có vai trò quan trọng trong
lý thuyết Toán học. Có hai phương pháp giải phương trình tích phân:
Phương pháp giải tích cho nghiệm của bài toán dưới dạng biểu thức giải
tích. Phương pháp số cho nghiệm gần đúng của bài toán dưới dạng bảng
số. Luận văn gồm ba chương.
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại một số kiến thức về tích phân
xác định, tích phân suy rộng loại 1 và loại 2, tích phân Euler, phương
pháp biến đổi Laplace, các công thức tính gần đúng tích phân xác định.
Một số khái niệm về phương trình tích phân, phương trình tích phân kì
dị.
Chương 2 "Phương pháp biến đổi Laplace giải phương trình tích phân
tuyến tính kì dị" trình bày phương pháp biến đổi Laplace giải các loại
phương trình tích phân tuyến tính kì dị. Sau đó đưa ra ví dụ và bài tập
để áp dụng phương pháp
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

Chương 3 "Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân
tuyến tính kì dị" trình bày phương pháp cầu phương giải các loại phương
trình tích phân tuyến tính kì dị. Sau đó đưa ra ví dụ và bài tập để áp
dụng phương pháp.
Tác giả luận văn chân thành cảm ơn PGS. TS. Khuất Văn Ninh đã
tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu. Tác

Cho hàm số f (x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia
[a, b] thành những khoảng nhỏ bởi các điểm chia:
x0 ≡ a < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn ≡ b.
Đặt ∆xi = xi − xi−1 , λ = max ∆xi .
1≤i≤n

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ
n

Lấy ξi bất kì ∈ [xi−1 , xi ], khi đó nếu lim

λ→0 i=1

f (ξi )∆xi = I (hữu hạn),

không phụ thuộc vào cách chia [a, b], cách chọn các điểm ξi thì I được
gọi là tích phân xác định của hàm số f (x) lấy trong [a, b], kí hiệu là
b

f (x)dx :
a
b

n


A→+∞

(1.2)

a

thì I được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f (x) lấy trong khoảng

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

+∞

[a, +∞) và kí hiệu là

f (x)dx :
a
+∞

A

f (x)dx =

I = lim

A→+∞


−∞

(1.4)

A

Định lý 1.2. (xem [5], trang 304) Dấu hiệu hội tụ: (tiêu chuẩn so sánh)
Cho f (x), g(x) là hai hàm số dương khả tích trên [a, ∞), khi đó nếu tồn
tại c > a sao cho f (x) ≤ g(x); x ∈ [c, +∞) thì:
+∞

+∞

g(x)dx hội tụ thì

1) Nếu
a
+∞

+∞

f (x)dx hội tụ, Nếu
a

f (x)dx phân kì
a

g(x)dx phân kì.


f (x)dx hội tụ.
a

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

+∞

+∞

f (x)dx hội tụ tuyệt đối, còn nếu

Khi đó, ta nói rằng
a

a

+∞

+∞

|f (x)|dx phân kì thì ta nói

tụ nhưng

f (x)dx hội

[a, b].
Định lý 1.4. (xem [5], trang 307) Ta nói rằng tích phân suy rộng
b

f (x)dx hội tụ và viết
a
b−η

b

f (x)dx := lim+

f (x)dx

η→0

a

(1.6)

a
b

f (x)dx

Nếu không tồn tại giới hạn I thì nói rằng tích phân suy rộng
a

phân kì.
6

f (x)dx bởi biểu

trong lân cận của c, ta định nghĩa tích phân suy rộng
a

thức
c

b

f (x)dx =
a

b

f (x)dx +
a

f (x)dx

(1.8)

c

Tích phân suy rộng ở vế trái đẳng thức (1.8) hội tụ khi và chỉ khi cả hai
tích phân suy rộng ở vế phải hội tụ.
Ví dụ 1.1.1. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng:
b

I=

(b − x)
−α + 1

lim

η→0
a

1
(b − a)1−α
+
lim η 1−α .
=
1−α
α − 1 η→0
Do đó:


1−α

(b
−
a)


1−α
I=


+∞


α < 1, phân kì nếu α ≥ 1.
1.1.4

Tích phân Euler

Định nghĩa 1.4. Tích phân Euler loại 1 (xem [4], trang 69 ).
Ký hiệu
1

xa−1 (1 − x)b−1 dx, a > 0, b > 0

B(a, b) =

(1.9)

0

Tích phân B(a, b) là một hàm xác định với a > 0, b > 0 và nó được gọi
là hàm B (hàm Bê-ta).
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

Định lý 1.5. (xem [4], trang 69)
B(a, b) = B(b, a), a > 0, b > 0


2 2

(1.14)

Định nghĩa 1.5. Tích phân Euler loại 2 ( xem [4], trang 72 ).
Ký hiệu
+∞

xa−1 e−x dx, a > 0

Γ(a) =

(1.15)

0

Tích phân Γ(a) là một hàm xác định với a > 0 và được gọi là hàm
Gamma hay Γ-hàm.

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

Định lý 1.7. (xem [4], trang 72)
Γ(a + 1) = a.Γ(a), a > 0
Γ(1) = 1


Γ

1.2

π
,0 < a < 1
sin πa

√
1
= π
2

(1.21)

Phương pháp biến đổi Laplace

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về
phương pháp biến đổi Laplace. Phương pháp biến đổi Laplace là công
cụ hữu hiệu để giải phương trình vi phân và phương trình tích phân.
Biến đổi Laplace đưa phương trình vi phân và phương trình tích phân
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

về phương trình đại số có thể dễ dàng giải và từ đó sử dụng phép biến
đổi Laplace ngược cho nghiệm của phương trình đã cho.

2. f (x) là có bậc hàm số mũ eax khi x → ∞.
Nghĩa là: |f (x)| ≤ Keax , x ≥ M , trong đó a là hằng số, K và M là
hằng số dương. Vì vậy biến đổi Laplace tồn tại và phải thoả mãn
lim F (s) = 0.

s→∞

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Nguyễn Thị Mơ

Tính chất của biến đổi Laplace

Từ định nghĩa của biến đổi Laplace ta có thể suy ra các tính chất.
1). Hằng số bội:
L{af (x)} = aL{f (x)},

a là hằng số.

(1.24)

Ví dụ:
L{4ex } = 4L{ex } =

4


Ví dụ:
L{x sin x} = −

d
d
L{sin x} = −
ds
ds

1
s2 + 1

=

2s
. (1.29)
(s2 + 1)2

Để sử dụng biến đổi Laplace L giải bài toán giá trị ban đầu hoặc
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

phương trình tích phân, ta sử dụng bảng biến đổi Laplace cho các
hàm sơ cấp sau:
Bảng 1.1: Biến đổi Laplace sơ cấp

, s > 0, Re n > −1
sn+1
1
,s > a
s−a

sinax
cosax

s2

a
+ a2

s2

s
+ a2

sin2 ax

2a2
, Re(s) > |Im(a)|
s(s2 + 4a2 )

cos2 ax

s2 + 2a2
, Re(s) > |Im(a)|
s(s2 + 4a2 )


13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

∞

f (x)

e−sx f (x)dx

F (s) = L{f (x)} =
0
2

cosh2 ax
xsinhax
xcoshax
xn eax
eax sinbx
eax cosbx
eax sinhbx
eax coshbx

2

s − 2a


1

δ(x − a)

e−as , a ≥ 0

δ (x − a)

se−as , a ≥ 0

4). Phép biến đổi Laplace của đạo hàm:
L{f (x)} = sL{f (x)} − f (0),
L{f (x)} = s2 L{f (x)} − sf (0) − f (0),
L{f (x)} = s3 L{f (x)} − s2 f (0) − sf (0) − f (0),
..
.
L{f (n) (x)} = sn L{f (x)} − sn−1 f (0) − ... − sf (n−2) (0) − f (n−1) (0).
(1.30)
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Mơ

5). Biến đổi Laplace ngược
Nếu biến đổi Laplace của f (x) là F (s) thì ta nói rằng biến đổi
Laplace ngược của F (s) là f (x). Nói cách khác ta viết:
L−1 {F (s)} = f (x),

Nguyễn Thị Mơ

Do đó
Y (s) =

1
1 2
=
.
s2 + 4 2 s2 + 4

(1.35)

Để xác định nghiệm y(x) ta lấy biến đổi Laplace ngược cả 2 vế của
phương trình (1.32), tìm được
1
L−1 {Y (s)} = L−1
2

2
s2 + 4

.

(1.36)

Lúc này nghiệm cho bởi
1
sin 2x,
2


có hạch sai phân có thể được biểu thị là:
h(x)

K(x − t)u(t)dt.

u(x) = f (x) + λ

(1.39)

g(x)

Xét hai hàm số f1 (x) và f2 (x) sao cho tồn tại biến đổi Laplace của
mỗi hàm. Biến đổi Laplace cho các hàm f1 (x) và f2 (x) ta được:
L{f1 (x)} = F1 (s),

(1.40)

L{f2 (x)} = F2 (s).

(1.41)

Tích chập Laplace của hai hàm này được định nghĩa như sau:
x

(f1 ∗ f2 )(x) =

f1 (x − t)f2 (t)dt,

(1.42)






x

0



f1 (x − t)f2 (t)dt = F1 (s)F2 (s). (1.45)


Để minh hoạ cho việc sử dụng định lý này ta tìm hiểu ví dụ sau.
Ví dụ 1.2.2. Giải phương trình tích phân sau:
x

xex =

ex−t y(t)dt.

(1.46)

0

Thấy rằng f1 (x) = ex và f2 (x) = y(x). Vế phải là tích chập (f1 ∗
f2 )(x). Điều này có nghĩa là nếu ta lấy biến đổi Laplace cả hai vế,
ta được:
L{xex } = L

1
.
s−1

(1.49)

Ta tìm được nghiệm là
y(x) = L−1
18

1
s−1

= ex .

(1.50)