PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 -2017

m¤N: TOÁN 6

(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1: (4,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức: A =

1 + 3 + 5 + ... + 19
21 + 23 + 25 + ... + 39

x x +1 x + 2
18
123 :2
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 1000...0
18 chữ số 0

Bài 2: (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số
nguyên tố thì 4p + 1 là hợp số?
Bài 3: (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng số viết bởi 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.
Bài 4: (6,0 điểm)
1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB, OC sao cho
·

;
;...;
n + 9 n + 10 n + 11
n + 102

Họ và tên thí sinh: ................................................................................................
Số báo danh: ....................................Phòng.....................................................

/>

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 6

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Bài 1 (4,0 điểm)
1) Tính giá trị biểu thức: A =

1 + 3 + 5 + ... + 19
.
21 + 23 + 25 + ... + 39

x x +1 x + 2
18
123 :2 .
2) Tìm số tự nhiên x, biết: 5 .5 .5 = 1000...0


18c/sô0

x + x +1+ x + 2

= 10 : 218

0.5đ
18
b)
1018  10 10 10 
0.5đ
2.0đ 53x +3 = 18 =  . ... ÷ = 518
2
 2 2 2
Suy ra: 3x + 3 = 18
0.5đ
Giải ra x = 5
0.5đ
Bài 2: (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì ƯCLN (21n + 4; 14n + 3) = 1
2) Chứng minh rằng: Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố
thì 4p + 1 là hợp số?
Câu
Nội dung
Điểm
Gọi d là ƯCLN (21n + 4; 14n + 3)
0.5đ
Suy ra: 21n + 4Md và 14n + 3Md
⇒ 2.(21n + 4)Md và 3.(14n + 3)Md

0.5đ
0.5đ


Bài 3 (4,0 điểm)
1) Chứng minh rằng số viết được với 27 chữ số giống nhau thì chia hết cho 27.
2) Tìm số tự nhiên n có 4 chữ số biết rằng n là số chính phương và n là bội của 147.
Câu
Nội dung
Điểm
Trước hết ta chứng minh số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27
0.5đ
{
14 2 43 = 11...1x1000...01000...01
123 123
Thật vậy: 111...11
9c/sô 1
27c/sô 1
8c/sô 0
8c/sô 0

a)
2.0đ

{ M9 và 1000...01000...01
1 2 3 1 2 3 M3
Mà 11...1
9c/sô 1
8c/sô 0
8c/sô 0

0.5đ

Để n là số chính phương thì m là số chính phương ⇒ m = 4;9;16
0.5đ
Suy ra các số tự nhiên cần tìm là: 1764; 3969; 7056.
0.5đ
Bài 4: (6,0 điểm)
1) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA vẽ các tia OB,OC sao cho
·AOB = 1200 , AOC
·
·
.
= 800 . Gọi OM là tia phân giác của BOC
·
a) Tính AOM
.
·
b) Vẽ tia ON là tia đối của tia OM. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của CON
.
2) Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:
·xOx 2 = 2xOx
·
·
·
·
·
·
·
1 ; xOx 3 = 3xOx1 ; xOx 4 = 4xOx1 ; ...; xOx n = nxOx1 . Tìm số n nhỏ nhất để trong
các tia đã vẽ có một tia là tia phân giác chung của 2017 góc.


a)
2.0đ

·
·
·
·
·
Þ AOC
+ BOC
= AOB
⇒ 800 + BOC
= 1200 ⇒ BOC
= 400
·

BOC 40
·
·
·
Vì OM là tia phân giác của BOC
⇒ BOM
= COM
=
=
= 200

0.5đ


b)
2.5đ

c)
1.0đ

·
·
⇒ AOM
+ AON
= 1800
·
·
⇒ 1000 + AON
= 1800 ⇒ AON
= 800

·
·
Suy ra AOC
( vì cùng bằng 80 ) (1)
= AON
Vì hai tia OM và ON nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là tia
OA nên tia OA nằm giữa hai tia OM và ON (2)
·
Từ (1) và (2) suy ra tia OA là tia phân giác của CON
Trên nửa mặt phẳng bờ là tia Ox, vẽ các tia Ox 1, Ox2, Ox3,..., Oxn sao cho:
·
·
·

chung của 2017 góc: xOx
4034 = x1Ox 4033 = x 2 Ox 4032 = ... = x 2016 Ox 2018

Bài 5 (2,0 điểm):
Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đều là số tối giản.
7
8
9
100
;
;
;...;
n + 9 n + 10 n + 11
n + 102
Câu
Nội dung
Các phân số đã cho đều có dạng:
a)
2.0đ

0.5đ

a
, vì các phân số này đều tối
a + (n + 2)

giản nên n + 2 và a phải là hai số nguyên tố cùng nhau.
Như vậy n + 2 phải nguyên tố cùng nhau với lần lượt các số 7; 8; 9; ...;
100 và n + 2 phải là số nhỏ nhất.
Þ n + 2 là số nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn 100.