Nghiệp vụ s phạm
Mục lục
Phần I: Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Phơng pháp nghiên cứu
4. Nhiệm vụ của đề tài
5. Phạm vi đề tài
6. Đối tợng nghiên cứu và phơng pháp tiến hành
7. Dự kiến kết quả của đề tài
Phần II: Nội dung
I/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại
số
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
2. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số
3. Một số ứng dụng của bất đẳng thức
II/ áp dụng giải toán bất đẳng thức trong
hình học
1. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học
2. Một số cách chứng minh bất đẳng thức trong hình học
Phần III: Thực nghiệm s phạm
Phần IV: Kết luận
Phần V: Tài liệu tham khảo
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
1
Nghiệp vụ s phạm
A. Mở đầu
1) Lý do chọn đề tài.
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bản cũng nh ứng dụng
vào tất cả các ngành công nghiệp then chốt nh: dầu khí, viễn thông, hàng không,...
đều không thể thiếu Toán học và càng gắn bó với Toán học. Sự ra đời và phát triển

2) Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh
bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao
năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm
công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo,
giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất
đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và vận
dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập.
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích
của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3) Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trờng.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp.
- Sử dụng phơng pháp phân tích tổng hợp.
4) Nhiệm vụ của đề tài.
Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với
trình độ nhận thức của học sinh THCS.
Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức, áp dụng để
làm bài tập.
Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phơng pháp.
Chọn lọc, hệ thống một số dạng bài tập hay gặp cho phù hợp với từng phơng
pháp giải, cách đổi biến.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội


a - b < 0.
2. Các tính chất của bất đẳng thức:
2.1. a > b

b < a.
2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c

a > c.
2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bất
đẳng thức: a > b

a + c > b + c.
2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d

a + c > b + d.
Chú ý: không đợc trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngợc chiều đợc bất đẳng thức mới cùng
chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d
2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân:
a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dơng.
a > b, c > 0

a.c > b.c
b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm.
a > b, c < 0

a.c < b.c

- Nếu a = 1 thì a
m
= a
n
.
- Nếu 0 < a < 1 thì a
m
< a
n
.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
5
Nghiệp vụ s phạm
2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu
Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì
<
a
1
b
1
Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức
không chặt (a

b) tức là a > b hoặc a = b.
Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu > (hoặc dấu <) có thể
thay bởi dấu

( hoặc dấu

)

a
+
b
. Xảy ra dấu đẳng thức khhi ab

0.
3.5.
ba




a
-
b
. Xảy ra dấu dẳng thức khhi ab

0;
a



b
.
(Các điều kiện này còn có thể diễn đạt lại là a

b

0 hoặc a





ba
+
1
với a; b > 0.
d/
b
a
+
a
b


2 với ab > 0.
e/ (ax + by)
2


(a
2
+ b
2
).(x
2
+ y
2
). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki)
II. Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số

-1.
Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x
2
+ y
2
)

(x + y)
2
.
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
6
Nghiệp vụ s phạm
Giải
Xét hiệu 2 vế:
2(x
2
+ y
2
) - (x + y)
2
= 2x
2
+ 2y
2
- x
2
- 2xy - y
2
= x

ba
+
-
ab
=
2
abba
+
=
2
)(
2
ba
+


0. Đúng với mọi a; b

0.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng:
.
22
2
33






( )( )
.
8
3
4
2444
2
4
2
2
2
2222
22
22
baba
bababababa
baba
baba
ba
+=








++
=

+

+
baba
1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/
.
22
2
22






+

+
baba
2/ x
3
+ 4x + 1 > 3x
2
với x

3.
3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c
2
+ d

thức để suy ra bất đẳng thức phải chứng minh.
- Thờng là áp dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. (Đã nêu ở phần trên)
2.2 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Cho a + b > 1. Chứng minh a
4
+ b
4
>
8
1
.
Giải
Ta có a + b > 1 > 0. (1)
Bình phơng 2 vế của (1) ta đợc:
(a + b)
2
> 1

a
2
+ 2ab + b
2
> 1. (2)
Mặt khác: (a - b )
2


0

a

1
. (5)
Mặt khác: (a
2
- b
2
)
2


0

a
4
- 2a
2
b
2
+ b
4


0. (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta đợc: 2(a
4
+ b
4
) >
4
1

1
.
Giải
Xét
cba
+
1
+
acb
+
1
với a + b - c > 0; b + c - a > 0.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho x; y > 0, ta có:
x
1
+
y
1



xy
1



yx
+
4
.

1
+
cba
+
1


a
2
Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức rồi chia cả hai vế cho 2 ta đợc:

cba
+
1
+
acb
+
1
+
bac
+
1



a
1
+
b
1

Suy ra
022

ab
hay 2ab

2.
Mặt khác (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
(1)

22

ab
(2)

2
22
+
ba
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra
( )
4
2
+

a
>
d
c


ad > bc.
5. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức mà cha biết hai vế có cùng
dấu hay không: a > b


a
1
>
b
1
.
6. Khi làm trội một biểu thức đôi khi phải chia biểu thức thành nhiều nhóm rồi
làm trội từng nhóm.
Ta xét ví dụ sau:
Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n

2 thì: 1 +
2
1
+
3
1
+ ... +
12


n
+
12
1

n
).
ở mỗi nhóm ta làm trội bằng cách thay các phân số nhỏ hơn trong nhóm bằng phân
số lớn nhất trong nhóm ta đợc:
Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
9
Nghiệp vụ s phạm
A < 1 +
2
1
.2 +
2
2
1
.4 +
3
2
1
.8 + ... +
1
2
1

n


.
3/ Cho a + b =1. Chứng minh rằng: a
4
+ b
4



8
1
.
4/
2
2
1
+
2
3
1
+ ... +
2
1
n
<
n
n 1
+
.
3. Phơng pháp biến đổi tơng đơng.

+ C
2
+ 2AB + 2BC + 2CA.
3.2. Các ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minnh x
2
+ x + 1 > 0 với
x

.
Giải
Ta có: x
2
+ x

+ 1 = (x
2
+ 2.x.1 +
4
3
)
4
1
+
= (x +
2
1
)
2
+

2
+ 4d
2
+ 4e
2


4a(b + c + d + e).

(a
2
- 4ab + 4b
2
) + (a
2
- 4ac + 4c
2
) + (a
2
- 4ad + 4d
2
) + (a
2
- 4ae + 4e
2
)

0

(a - 2b)

.
(a - 2d)
2


0
Rda

;
.
(a - 2e)
2


0
Rea

;
.

Bất đẳng thức (2) đúng với
Redcba

;;;;
. Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với 4 số bất kì a; b; x; y ta có:
(a
2
+ b
2

2
+ b
2
y
2


a
2
x
2
+ 2abxy + b
2
y
2
.


a
2
y
2
- 2abxy + b
2
x
2


0




x
x
.
3/ Bài 3: Chứng minh rằng:
Rcba

;;
ta có:
a/ a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3
.
b/ a
2
+ b
2
+ c
2


ab + bc + ca.

1 + nx, trong đó n là số
nguyên dơng bất kì.
Giải
+ Với n = 1, ta có bất đẳng thức đúng 1 + x

1 + x.
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k tức là (1 + x)
k


1 + kx.
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1. Tức là phải chứng
minh (1 + x)
k+1


1 + (k + 1)x.
Thật vậy, theo giả thiết : 1 + x > 0.
Ta có (1 + x)
k
(1 + x)

(1 + kx)(1 + x)

(1 + x)
k+1


1 + (k + 1)x + kx
2

2
22
22






+

+
baba
.
+ Giả sử bài toán đúng với n = k ta có:
.
22
k
kk
baba






+

+
(1)




+
2
ba
.
.
22
k
kk
baba






+

+






+
2
ba

bababa
222
11
+






+

+
++
. (3)

a
k+1
+ b
k+1
ab
k
+ a
k
b.
Thật vậy, ta có: a
k+1
+ b
k+1
- ab



+
2
ba
.
1
22
+






+

+
k
kk
baba


1
11
22
+
++



5. Phơng pháp dùng bất đẳng thức dã biết.
5.1. Cơ sở toán học.
Trong nhiều bài toánđể việc chứng minh bất đẳng thức đợc gọn ta có thể sử
dụng các bất đẳng thức đã đợc chứng minh, nhất là các bất đẳng thức: Cô si, Bunhia -
Côpxki, ...
5.2. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng:
2
+
a
b
b
a
với mọi ab > 0.
Giải
Vì
a
b
b
a
;
đều dơng nên áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dơng ta đợc:
.2:.1
2
1.
2
2
+
+
=

Phạm Thị Hoà Lớp Toán K5 Hệ Tại Chức ĐHSP Hà Nội
13
Nghiệp vụ s phạm
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
.ba
a
b
b
a
==
Ví dụ 2: Cho a; b thoả mãn 3a - 4b = 7. Chứng minh rằng 3a
2
+ 4b
2


7.
Giải
Có 3a - 4b =
a.3.3
- 2.2.b = 7.
áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Côpxki cho bốn số
a.3;3
; -2; 2b ta đợc:
7
2
= (3a - 4b)
2
= (
a.3.3

thì:
(1 + a)
q
> 1 + q.a.
Giải
Do
Qq

và q > 1 nên q =
n
m
trong đó m > n, m; n

N.
áp dụng bất đẳng thức Cô si cho m số ta có:
m
nmn
ngmốhngnsốh
qa
n
qaqa

+
+++++++
1.)1(
1...1)1(...)1(
ạạ

.
(Không xảy ra dấu = vì 1 + qa > 1).

qaaqaaqaqa
q
q
qq
=>++>++>+
5.3. Chú ý:
Khi sử dụng phơng pháp này cần chú ý: Sử dụng các bất đẳng thức đã đợc
chứng minh với điều kiện chặt chẽ để có đợc bất đẳng thức cần áp dụng. Nếu không
sẽ dẫn đến sai lầm, thiếu sót.
Ví dụ: Cho a; b
0

. Chứng minh rằng:
043
2
2
2
2
+






++
a
b
b
a

+






+






+








++
a
b
b
a
a
b

a
b
b
a
(2)
Vì







+
2
a
b
b
a
(2) luôn đúng với
.0;

ba
Vậy (1) luôn đúng với
.0;

ba
(đpcm)
Bài toán này sai ở chỗ áp dụng bất đẳng thức
2

b
b
a
x
a
b
b
a
vì
b
a
và
a
b
cùng dấu
2

x
hoặc
.2x
Khi đó:
.2
2
2
2
2
2
=+
x
a

x nằm trong miền nghiệm của bất phơng trình đã
xét.
Vậy x thoả mãn t
2
- 3t + 2
0

tức là
023
2
+
xx
đúng.
Mà (1)
+
023
2
xx
(1) đúng.
Vậy ta có:
043
2
2
2
2
+





b
2
> 0)

( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
)2.(0
4
3
2
.03
.03
.023
2
2
2
22
222
22
2
22







0;,;

yxRyx
và
1
22
=+
yx
. Chứng minh rằng:
.1
2
1
33
+
yx
3 Cho
.1;1

ba
Chứng minh rằng:
.11 ababba
+
6. Phơng pháp phản chứng.
6.1. Cơ sở toán học.
Gọi mệnh đề cần chứng minh là luận đề A

B. Phép toán mệnh đề cho ta:
.BABABABA
===
Nh vậy muốn phủ định một mệnh đề ta ghép tất cả các giả thiết của luận đề với

2
> 4. (1)
Mặt khác ta có: 2ab < a
2
+ b
2


a
2
+ 2ab + b
2


2(a
2
+ b
2
).
Mà
2
22
+
ba
(gt)

2(a
2
+ b
2