HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

LỜI NÓI ĐẦU
Trong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trường
THPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc phát
hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tới
chân trời của tri thức và thành công. Đối với các trường THPT chuyên, công tác học
sinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học. Hội
thảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ là
một hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên. Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu,
học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyển
học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực. Năm
năm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của các
trường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tác
bồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trường
Chuyên.
Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyên
Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quê
lúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học. Tại hội thảo
lần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ý
nghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệm
công tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn của
mình.
Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạt
giải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng
bằng Bắc bộ. Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồng
khoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo. Nhiều
chuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô,
tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trường
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học
sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình
Dương cũng như Olympic quốc tế.
Sau đây là nội dung của chuyên đề:
- Cơ sở lý thuyết.
- Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức.
- Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết.
- Các bài tập tự luyện tập với đáp số.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

2


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Khối tâm
a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm M i có khối lượng mi,
gọi O là một điểm tùy ý, ta có
uuur r
OG = rG =

r

r

i i

(2)

2. Động lượng
a) Định nghĩa:

r

Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc vi trong hệ quy
ur

chiếu R. Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các
chất điểm cấu tạo nên hệ S:

u
r
uuur
d ri d
d
r
r
r
r
p = ∑ mi vi = ∑ mi
= ( ∑ mi vi ) =
m.OG = mvG
dt dt
dt

(


Trường THPT Chuyên Thái Bình

(5)

3


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Trong đó



∑F

ext

là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ.

uu
r τ uuu
r
uuuu
r
uuu
r
X
=
F

1
2
mi viG
là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có:
∑
2
1
2

Định lý Koenig đối với động năng: K = mv 2 (G ) + K * (G )

(7)

5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng
a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S
trong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S.



L0 = ∑ ri ∧ mi vi (8)

b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R *, theo
định nghĩa là:
uuuur
r
r
r
r
L*G = ∑ GM i ∧ mi vi* = ∑ riG ∧ mi vi* (9)


uuuu
r
*
= AG ∧ ∑ mi vi + ∑ GM i ∧ mi vi*

(

Trường THPT Chuyên Thái Bình

)

4


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

uu
r r

ur*

Biết rằng p = ∑ mi vi* = 0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ
trong HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết
ur

ur*

ur*


r
ur uuuu
r
Với v( M ) = v(a) + Ω ∧ AM = Ωez ∧ AM

Từ đó rút ra:

ur
uuuu
r r
uuuu
r ur uuuu
r
L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M ) dm = Ω ∫∫∫ AM ∧ (ez ∧ AM )dm
S

S

ur
uuuu
r 2 ur uuuu
r ur uuuu
r
Vậy L A = Ω ∫∫∫S ( AM ez − ( AM .ez ) AM )dm

Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên
trục quay:
uuuu
r uuur uuuur uuuu
r ur ur uuuur


ur
uuuu
r ur uuuur
L A⊥ = −Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM ) dm

vuông

góc

với

vec

tơ

S

f) Mô men động lượng đối với trục ∆ - Mô men quán tính:

Trường THPT Chuyên Thái Bình

5

quay,

đó

là:


uur
uuuur
ur
M O = ∑ OM i ∧ mi ai

+ Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R)

uur*
uuuur
r*
r*
r
M G = ∑ GM i ∧ mi a i = ∑ riG ∧ mi a i
uu
r uur uu
r
ur uu
r
uur
Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai = ae ( M i ) + aC ( M ) + ai* = aG + ai*

Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào
uur

chỉ số i và bằng gia tốc aG của điểm G.
uur

uuur uuuu
r


= 0 và

uu
r uur r
*
*
i i = F = 0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với

∑m a

mô men lực:
uuuur τ uuur
uuur
+ Xung của mô men lực: M Ox = ∫ M g dt = ∆L0
0

Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất
điểm S trong HQC R bằng tổng của:
+ Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối
lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R

Trường THPT Chuyên Thái Bình

6


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

+ Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là


O

1 r r
r1 − rP
r
r r
r1r
r
rP P 2 − rP
r 2
r2

x

Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là:

 
 
LP = ∑ ( ri − rP ) ∧ mi ( vi − vP )

Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được


 
 
 
 
dLP
= ∑ (vi − vP ) ∧ mi ( vi − vP ) + ( ri − rP ) ∧ mi ( ai − aP )


r
r
dLP
r r
r r r
= ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex − m ( rG − rP ) aP
dt
r
r r
Vì ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex theo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P, nên

cuối cùng ta được công thức tổng quát:
r
r
dLP
r r
r
= ∑ M Pex − ( rG − rP ) ∧ maP
dt

(6)

Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men động
lượng không đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệt
này là do mô men động lượng và mô men lực còn tùy thuộc vào điểm để tính
mô men.
Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉ
triệt tiêu nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn:
r


}

9. Các chú ý về toán học:
ur

ur

Cho hai vec tơ: A = (ax , a y , az ) , B = (bx , by , bz )
ur ur

+ Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B = (axbx + a y by + azbz )
ur ur r

r

r

+ Tích có hướng của hai vec tơ: A ∧ B = i (a y bz − az by ) + j (az bx − axbz ) + k (axby − a y bx )
rr r

Với i, j, k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz

Trường THPT Chuyên Thái Bình

8


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Ta có: p = mv( A) + mv ( B )

uur uuu
r
r
uuur
r
LO = OA ∧ mv ( A) + OB ∧ mv ( B)
uuu
r
Với OA = (b cos α , b sin α , 0)
r
uuu
r
suy ra v( A) = OA ' = (−bα 'sin α , bα ' cosα , 0)
uuur
và OB = (b(cos α + cosβ ), b(sin α + sin β ), 0)
r
uuu
r
v( B ) = OB ' = (−b(α 'sin α + β 'sinβ ), b(α ' cosα + β ' cosβ ), 0)
ur
r
r
Suy ra p = mv( A) + mv ( B ) = m(−b(2α 'sin α + β 'sinβ ), b(2α ' cosα + β ' cosβ ), 0)
uur uuu
r
r
uuur
r

1
vG = OG ' = (−b(α 'sin α + β 'sinβ ), b(α 'cos α + β ' cosβ ), 0)
2
2

Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G:

uuu
r
uuu
r
uuu
r
r
uuu
r
uuu
r
r
r
r
r
r
L*G = GA ∧ mv ( A)* + GB ∧ mv ( B)* = 2GB ∧ mv ( B )* vì GA = −GB và v ( A)* = −v ( B )*
uuur 1
1
GB = ( bcosβ , b sin β , 0)
2
2
1


α
A

G

a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm α '
của góc nghiêng α của các dây ở một thời điểm cho
trước.
b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh.
Giải
a) Định lý Koenig đối với động năng cho ta:
K=

1 2
mv (G ) + K * (G )
2

Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K * (G ) = 0 nên:
K=

1 2
1
mv (G ) = mb 2α '2 (1)
2
2

b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động

Trường THPT Chuyên Thái Bình


Ví dụ 3
Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng

ω

m, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trục

ur
ez

cố định của nó. Tính mô men động lượng của vòng tròn
ở O và động năng của vòng tròn đó.
Giải

uuuu
r

ur

Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực: OM = aer
r

uu
r

Vận tốc của M là: v( M ) = aω eθ

Từ đây suy ra:
+ Mô men động lượng đối với O:

ω
)
e
z =0
∫
dt
dt vòng
dt
1
2

1
2

+ Động năng K = J ∆ω 2 = ma 2ω 2
Ví dụ 4
Chứng minh định lý Huygens bằng cách:
a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng.
b) Dùng chứng minh hình học.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

11


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Giải
a) Gọi A là điểm cố định của trục ∆.

G
)
e
Từ đó:
z = m ( AG − AH G ) Ω = ma Ω
uur uur ur
Trong R*: L*∆ = L*G .ez = J ∆G Ω

(

)

Từ đó: J ∆ = ma 2 + J ∆G
b) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên ∆ và
∆G, ta có:
J ∆ = ∫∫∫ HM 2 dm và J ∆G = ∫∫∫ H G M 2 dm
S
S
uuuur 2
uuuuur uuuuuu
r 2
uuuuur uuuuuu
r
Nhưng HM = HH G + H G M = HH G2 + H G M 2 + 2 HH G .H G M

(

)

Với HH G = a là khoảng cách giữa hai trục ∆ và ∆G và

12


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

đạo hàm của chúng.
Giải
Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định
bởi góc ϕ = α + β với β = const (hình vẽ)
uuuu
r

r

ur

uu
r

Từ đó: OM = Rer và v( M ) = Rα ' eϕ
Từ đây ta suy ra:

ur C r
ur
2
+ Động lượng: p = ∫ v( M )dm = mRα ' ez
π
B
uur C uuuu

G

uuu
r uuur
định theo góc α = Ox, OG , góc này thay đổi

(

)

khi thanh trượt ở A và B.

+

B

O

1) Xác định các thành phần của vận tốc

r
v(G ) của điểm G theo α và đạo hàm của α.

ur

2) Tìm vec tơ quay Ω của thanh.
Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán.
Giải.
1. Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó:
uuur


uuu
r

r

uu
r

Biết rằng OA = 2b cos α .ex suy ra v( A) =
r

r

ur uuur

r
uu
r
d uuu
OA = −2bα 'sin α .ex
dt

Từ đây suy ra: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG = (−b(Ω + 2α ') sin α ; −bΩcosα ;0) (2)
ur

ur

Cho (1) bằng (2) ta được Ω = −α ' ez



Giải
Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho:
J OZ (OA) = mb 2 +

1
4
m(2b) 2 = mb 2
12
3

Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O:
uur
ur 4
ur
LO (OA) = J Oz (OA).α ' ez = mb 2α ' ez
3

Động năng của thanh OA:
K (OA) =

1
2
J Oz (OA).α '2 = mb 2α '2
2
3

Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB:
uur
uuuur


Và J Gz ( AB) =

1
1
m(2b) 2 = mb 2 = J
12
3

uur

ur

 2

2
Ta có: LO ( AB) =  mb (4α '+ β '+ 2(α '+ β ')cos(α − β ) + mb β ' ÷ez
1
3






2
2
2
2
2

các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy ra
va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển
động tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất
bằng ω1 , của vật thứ hai bằng ω2 . Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ
thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2.
a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất
kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm
của nó.

Trường THPT Chuyên Thái Bình

15


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật
chuyển động sau va chạm.
c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là

v
còn
2

vật thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d.
Giải:
a)
Ta cần chứng minh:

r uu
r
ur
u
r ur
= (∑ mi )rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi
u
r r
∑ mi ri = 0
ur r
Nhận xét: 
m
v
∑ i i = 0
uur
uu
r uu
r
u
r ur
LO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ vi
Do đó
uu
r uu
r
uu
r uu
r
(∑ mi ) rG ∧ vG = M rG ∧ vG
u


u
r
ri
G


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó:
ur
uu
r
uu
r
r
r r ur
ur
mv1' + mv2' = mv − mv = 0 ⇒ v1' = −v2' = −v '
Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2.
Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là
bằng nhau.
Ta có,

ban đầu thì LG2 = mvd
sau đó thì L 'G2 = mv ' d '+ I1ω1 + I 2ω2

Mà ω1 ; ω2 có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên


v
1
mv .2 = m( ) 2 .2 + I1ω12
2
2
2
2
⇒ 2mv 2 = mv 2 + I1ω12 ⇒ I1ω12 = mv 2
⇒

Vậy:

uur

uur

ω1
m
I
=±
⇒d'= 2 d ± 1
v
I1
m

uu
r uu
r

a) LO = LG + M rG ∧ vG


theo góc α = (CI , CG ) .
Cho CG = b =

4R
. Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách:
3π

a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I.
b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân
bậc hai của α.
c) Giả sử α rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu
b) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng.
Giải
a) Tính mô men lực của D ở I
+ Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực.
uuur uur
r
ur
M I = IG ∧ ma (G ) + J Gα " ez
uuur
ur
2
2
M
=
(
J
+
m

( J + mR 2 − 2mbR )α " = −mgbα

Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí
cân bằng
α = 0 với chu kỳ: T0 = 2π

J + mR 2 − 2mRb
mgb

Ta có mô men quán tính của D đối với trục qua C và vuông góc với D là
mR 2
J=
2

Nên T0 = 2π

(9π − 16 R )
8g

Ví dụ 10.
Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và
cứng, giống như một cái bút chì thông thường. Khối
lượng của nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳng
của nó là một hình lục giác

α

đêu cạnh a. Mômen quán tính của khối lăng trụ lục giác đối với trục xuyên tâm
là I =


tìm biểu thức của k theo α và r.
e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu αo để cho quá trình lăn một
khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi.
Giải.
a) Cách 1.
- Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F.
Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối
trụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm. Ta có :
Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động
lượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig)
uur uur uuur
uu
r
LF = LG + ( FC × M vci ).
uuu
r
ur uuur
uu
r
LFi = IC ωi ez + ( FC × M vci )
ur
với ez là vec tơ đơn vị của trục hình trụ

C

 Li = ICωi + vci.cos60o.a.M (1)

ο

30



HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

ω f 11
11Ma 2ωi 17 Ma ω f
=
⇔s=
=
Suy ra : Li = Lf 
12
12
ωi 17
2

lưu ý s không phụ thuộc α, a ωi
Cách 2.
Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản
lực N tác dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặt
nghiêng.
+ Thành phần song song với mặt nghiêng là N//.
+ Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N⊥.
Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông
góc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên.
Ta có: N // dt = M (ω f − ωi )a.sin 30 0 = m(ω f − ωi )a

3
(4)
2


MvC2 I C ωi2 1 
5Ma 2 2  17 Ma 2ωi2
+
=  Ma 2ωi2 +
ωi  =
2
2
2
12
24


Ta thấyđộng năng tỉ lệ với ω2.
+ Sau va đập : K f =
Suy ra :

Kf
Ki

=

MvCf2
2

I C ωi2 1 
5Ma 2 2  17 Ma ω f
=  Ma 2ω 2f +
ω f  =
2

E0 = Mga(1 − cos x) = Mga(1 − cos(30 0 − α )) (9)

ta suy ra điều kiện :
Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - α))  r.Ki min = δMga =Eo
 δ = [1 − cos(30 0 − α )] (10)
1
r

d) Gọi Ki,n và Kf,n là động năng ngay trước và ngay sau va đập lần thứ n.
Ta chứng minh có hệ thức :
Kj,n = r.Ki,n trong đó r được tính ở (8). Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khối
tâm
của khối trụ giảm di là asinα, động năng của nó tăng lên một lượng ∆ =
Mgasinα,
do đó Ki, n + 1 = r.Ki + ∆ (11)
Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ của K i,n là hàm theo Ki và n để tìm
giới hạn của nó. Làm như thế là chứng minh sự tồn tại của giới hạn đó. Theo đề
bài, giới hạn đó đã tồn tại, vì thế có thể cho K i,n + 1 ≈ Ki,n khi n đủ lớn một cách
tùy ý. Giới hạn Ki,o đó phải thỏa mãn hệ thức :
Ki,o = r.Ki,o + ∆ (12)  K i , 0 =

∆
Mga sin α
sin α
⇔k=
(13)
 kMga =
1− r
1− r
1− r

trị giới hạn Ki,o. Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽ giảm
tới giá trị giới hạn Ki,o.
e) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn K i, trong phần d) phải lớn hơn giá trị
nhỏ nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c):
K i ,0 =

đặt A =

∆
Mga sin α Mga
=
>
(1 − cos(30 0 − α ))(17)
1− r
1− r
r

r
121
=
ta có : Asinα > 1- cos(30o - α) = 1 – cos30ocosα - sin30osinα
1 − r 168

1
3
  A +  sin α + cosα > 1 (18)


2



HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

và hành khách có khối lượng m, có khối
tâm G nằm trên đường thẳng đứng qua
điểm A, cách A một khoảng b. Xác định
mô
men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng của hệ thùng
treo và hành khách.
uur

uu
r

uu
r

Đáp số: LO = mR 2ω e y với vec tơ ey vuông góc mặt phẳng hình vẽ
uuur r
1
M O = 0 và K = mR 2ω 2
2

Bài 2
Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượng
O
không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A,
B và C. Điểm O là cố định, ống C được xem là một
ϕ B

E
phụ thuộc vào các góc ϕ,α, β và các đạo

β

O

D
ϕ

hàm của chúng.
uur
ur
Đáp số: LO = 2ma 2 (8ϕ '+ α '+ β ')ez

Trường THPT Chuyên Thái Bình

x

24

y
A
α C


HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI

K = ma 2 (8ϕ '2 + α '2 + β '2 )

; T 13
13
0

Bài 5
Một hình vuông ABCD cạnh L có thể
quay xung quanh một điểm A mà vẫn nằm trong
mặt phẳng (xOy), với tốc độ góc ω. Ở các đỉnh
có các chất điểm khối lượng m và bỏ qua khối
lượng của các thanh nối. Hãy xác định, trong
HQC R, động lượng, mô men động lượng đối
với A cũng như động năng.
ur
ur
uuur uur
Đáp số: p = 2mω BD ; LA = 4mω L2 ez ; K = 2mL2ω 2

Bài 6
Một đồng tiền được xem lý tưởng

Trường THPT Chuyên Thái Bình

25

A

ω

L
y