SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12
KỸ NĂNG TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Người thực hiện: Trương Thị Nga
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
1


MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU….….…………………………………………………...……... ....3
1.1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………...3
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….……....3
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….……...4
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..…….4
1.5. Những điểm mới của sáng kiến...……………………………….……….4
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM …………………....…4
2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
2.2. Thực trạng vấn đề………...………………………………………...…...4
2.3. Các giải pháp thực hiện………...…………………………………...…..5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến…………...………………………………........16
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ….…………………...……….……………... 16

lúng túng khi gặp các câu hỏi như vậy, dần hình thành kỹ năng giải toán cũng
như tính chính xác và linh hoạt trong quá trình giải toán. Đồng thời tạo được sự
hứng thú, phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán
cũng như các môn học khác.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

3


Đưa ra một số dạng bài tập và phương pháp giải tương ứng giúp học sinh
củng cố kiến thức, hình thành kĩ năng giải toán, phát triển tư duy sáng tạo. Đồng
thời thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng
giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính tích phân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài
liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học
toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ
thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học
sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu
về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm
trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng
nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12A, 12B
trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.

tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Tính các tích phân không cho biểu thức cụ thể.
Dạng 1: Sử dụng các tính chất của tích phân.
Ví dụ 1. Cho

5

5

5

1

1

1

∫ f ( x)dx = 6, ∫ g( x)dx = 8. Tính I = ∫ [2 f ( x) − g ( x)]dx .[1]

Lời giải
5

5

5

1

1



4

0

0

0

0

∫ f (t )dt = ∫ f ( x)dx = 3, ∫ f (t )dt = ∫ f ( z )dz = 7
4

4

3

3

0

0

Nên I = ∫ f (t )dt = ∫ f (t )dt − ∫ f (t )dt = 4
Vậy I = 4 .
Ví dụ 3. Cho f ( x), g ( x ) là các hàm số liên tục trên [ a; b ] và

b


Nên I = 1.
Ví dụ 4. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên [ 1;2] và f (1) = 1, f (2) = 2 . Tính
2

I = ∫ f '( x)dx .[2]
1

Lời giải
2

Ta có I = ∫ f '( x)dx = f ( x ) 1 = f (2) − f (1) = 1
2

1

Vậy I = 4 .
Dạng 2: Sử dụng phương pháp đổi biến.
Dấu hiệu: Trong bài toán ngoài biểu thức f ( x) còn xuất hiện biểu thức
f (u ( x)) ( biểu thức này có thể nằm ở giả thiết của bài toán hoặc ở tích phân cần
tính), và sự tương ứng về cận nếu ta đổi biến t = u ( x) .
Với một số bài tập ngoài phương pháp đổi biến ta còn có thể sử dụng cách
chọn hàm. Cách thức này có thể chấp nhận được đối với hình thức thi trắc
nghiệm. Thông thường ta hay nghĩ đến việc chọn hàm bậc nhất, tức giả sử
6


f ( x) = ax + b (a, b ∈ ¡ ) . Từ các giả thiết ta tìm được a, b suy ra hàm số f ( x) và
tính tích phân. Với cách này học sinh yếu và trung bình dễ tiếp nhận hơn vì thao
tác tìm hàm f ( x) thường không liên quan đến những phép biến đổi tích phân
phức tạp. Tuy nhiên thường chỉ một số bài tập đơn giản mới chọn được một hàm


∫ f ( x)d x = ∫ a dx = a x
0

Ta có f (2 x) = 4 và

2

2

0

0

4
0

= 4a = 16 . Nên a = 4

0

∫ f (2 x)d x = ∫ 4dx = 8

Vậy I = 8 .
1
2

π
6


3

∫ f(

x + 1)dx = 4 . Tính

0

2

I = ∫ xf ( x)d x .[3]
1

Phân tích bài toán: Trong bài toán này ta đặt t = x + 1 , như vậy trong trường
hợp này ta biến đổi tích phân đã cho về tích phân cần tính.
Lời giải
Đặt t = x + 1 ⇒ t 2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = 3 ⇒ t = 2
3

2

2

0

1

1

Ta có 4 = ∫ f ( x + 1)d x = 2 ∫ tf (t )d t = 2 ∫ xf ( x)dx = 2 I ⇒ I = 2

x2
1
1
f ( x )d x + ∫ 2
f ( x )dx = 2 + ∫ 2
f ( x )dx
Ta có I = ∫ f ( x )d x = ∫ 2
x +1
x +1
x +1
0
0
0
0
Đặt x = tan t ⇒ dx =

Khi đó

1

∫x
0

1
π
dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
2
cos t
4
π

Lời giải
Cách 1. Đặt x = 1 − t ⇒ dx = −dt . Đổi cận x = 0 ⇒ t = 1, x = 1 ⇒ t = 0
1

0

1

1

0

1

0

0

Khi đó I = ∫ f ( x )d x = − ∫ f (1 − t )d t = ∫ f (1 − t )d t = ∫ f (1 − x )d x
1

1

1

1

0

0

0

Vậy I = ∫ f ( x )d x = ∫ (−3x + 2)d x =

1
.
2

Ví dụ 6. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên [ 0;3] và f ( x). f (3 − x) = 1 với mọi
x thuộc [ 0;3] . Tính I =

3

1
∫0 1 + f ( x) dx .[3]

Lời giải
3

1
dx .
1
+
f
(3
−
x
)
0


3

3

3

1
f ( x)
3
dx + ∫
dx = ∫ dx = 3 ⇒ I = .
Ta có 2 I = ∫
1 + f ( x)
1 + f ( x)
2
0
0
0
Vậy I =

3
.
2

Cách 2. Ta dễ dàng chọn được một hàm số f thỏa mãn điều kiện của đề bài là
3

1

3


Lời giải
3π
2

∫

Đặt x = −t , khi đó I =

3π
2

f (−t )d t =

3π
−
2

∫

f (− x)d x

3π
−
2

Ta có
2I =

3π

2

f (− x)d x =

3π
2

2 + 2cos 2 x d x = 2

−
3π
2

−

∫

∫ [f ( x) + f (− x)]d x
3π
2

cos x d x = 12 ⇒ I = 6

3π
2

Vậy I = 6 .
Dạng 3: Sử dụng công thức tích phân từng phần.

10

0

∫ ( x + 1) f '( x)d x = ∫ ( x + 1)d( f ( x)) = ( x + 1) f ( x)

1
0

1

− ∫ f ( x)d x
0

1

= 2 f (1) − f (0) − ∫ f ( x)d x
0

Suy ra I = −8 .
Bài tập tương tự
Bài 1. Giả sử

b

b

b

a

a

f (2 x)d x .

0

A. I = 32 .
Bài 3. Cho

B. I = 8 .

2

2

0

0

C. I = 16 .

D. I = 4 .

∫ f ( x)dx = 8 . Tính I = ∫ f (2 − x)d x .

A. I = −8 .

B. I = 8 .

C I = 6.

D. I = −6 .

A. I = 4 .

B. I = 2 .

D. I = 0 .

C. I = −2 .

Bài 6. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên ¡ và hàm số y = g ( x) = x. f ( x 2 ) có đồ
thị như hình vẽ bên. Biết diện tích phần được tô màu là S =

5
. Tính
2

4

I = ∫ f ( x )d x .
1

2

Bài 7. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và f (2) = 16, ∫ f ( x )d x = 4 . Tính
0

1

I = ∫ xf '(2 x )d x .
0



1

0

D. I =

15
.
2

∫ f ( x)d x = 9 . Tính tích phân ∫ f (3x + 1)dx .
12


A. I = 9 .

B. I = 3 .

D. I = 27 .

C. I = 1.
4

Bài 10. Cho hàm số f ( x) liên tục trên ¡ và

∫ f ( x)d x = 2 . Mệnh đề nào sau

−2



1
∫0 2 f ( x − 2)d x = 1 .

Bài 11. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên ¡ , F (3) = 3 và
2

3

−1

0

∫ F ( x + 1)d x = 1. Tính tích phân I = ∫ x. f ( x)d x .
A. I = 10 .

B. I = 11.

C. I = 9 .

D. I = 8 .

Bài 12. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ¡ và f ( x) + f ( − x) = 2(1 − cos 2 x)
π

với mọi x thuộc ¡ . Tính I = ∫ f ( x)d x .
0

A. I = 4 .


0

A. I = 8 .

B. I = −12 .

C. I = 12 .

D. I = −8 .

13


π
Bài 15. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên ¡ , F ( ) = 1 và
3
π
3

π
3

0

0

∫ xF ( x)d x = 1 . Tính tích phân I = ∫ x . f ( x)d x .
B. I =

A. I = 1.


+ Nếu y = f ( x ) là hàm số lẻ, liên tục trên [-a;a] thì
a

∫ f ( x)d x = 0 .[4]

−a

+ Nếu y = f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên [-a;a] thì
a

a

f ( x)
∫− a m x + 1 dx = ∫0 f (x)d x .[4]
+ Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau
b

b

a

a

∫ f (a + b − x)d x = ∫ f ( x)d x .[4]
2

2
Ví dụ 1. Tính tích phân I = ∫ ln( x + x + 1)d x .[4]
−2


x2
1
1
2
I
=
d
x
=
x
d
x
=
I
=
Ta có
.
Vậy
.
∫ 1 + 2017 x ∫0
3
3
−1
Nhận xét: Bằng việc sử dụng các công thức trên việc tính toán một số bài tập
tích phân có biểu thức phức tạp trở nên nhanh chóng và chính xác, học sinh có
thể trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm.
Bài tập tương tự.
Bài 1. Cho f ( x), g ( x) là hai hàm số liên tục trên đoạn [ − 1;1] , f ( x) là hàm số
chẵn, g ( x) là hàm số lẻ. Biết

1

C. ∫ [f ( x) + g( x)]d x = 10 .
−1

a

Bài 2. Biết rằng

∫

−a

D. ∫ [f ( x) − g( x)]d x = 10 .
−1

x 2 + 1.cos x
dx = m ( với a là số thực dương). Tính tích phân
1 + 2x

a

I = ∫ x 2 + 1.cos xdx .[3]
0

A. I = m .

B. I = −m .

C. I = 0 .

D. I = e2017 .

Bài 4. Tính các tích phân sau.
1
2

1+ x

∫ cos x.ln(1 − x )d x .

a) I1 =

−

1
2

1

1
dx .
x
2
(2
+
1)(
x
+
1)
−1

sin
x
0

e) I 5 = ∫

2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp :
12A, 12B. Đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có
hứng thú học và giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tích phân đặc biệt các em
rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến
của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt
động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận
dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu
thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
Kết quả kiểm tra:
Lớp

Điểm yếu
Số bài

%

Điểm TB
Số bài

%

Điểm khá
Số bài


3

5,9

8

15,7

25

49

15

29,4

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng: sau khi đưa ra hệ thống bài tập
trên, học sinh đã biết vận dụng cách linh hoạt, vào các bài toán khác nhau, từ
đơn giản đến phức tạp. Học sinh không còn tâm lý e ngại khi gặp các bài toán
này nữa. Mặt khác, hiệu quả áp dụng tương đối cao, bài giải trở nên sáng sủa,
ngắn gọn và hầu hết các em vận dụng tốt.
3.2. Kiến nghị.
Nhà trường cần tạo điều kiện nhiều hơn nữa cho giáo viên trong việc tiếp
xúc với các loại sách tham khảo có chất lượng trên thị trường, đồng thời cũng
cần có tủ sách lưu lại các sáng kiến kinh nghiệm của giáo viên đã được xếp loại,
các chuyên đề tự học, tự bồi dưỡng của giáo viên để đồng nghiệp có tư liệu tham
khảo.


18


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Trương Thị Nga
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Hà Trung – Hà Trung –
Thanh Hóa.

TT

Cấp đánh giá xếp

Kết quả

loại

đánh giá xếp

Năm học

loại

đánh giá xếp

Tên đề tài SKKN


20