MỤC LỤC

Trang

1. Mở đầu…………………………….......................................................
1.1. Lí do chọn đề tài…………………………………........................
1.2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………….
1.3. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………
1.4. Phương pháp nghiên cứu………………………………………...
2. Nội dung……………………………………………………………….
2.1. Cơ sở lý luận……………………………………………………..
2.2. Thực trạng vấn đề………………………………………………..
2.3. Các giải pháp thực hiện…………………………………………..
2.3.1. Kiến thức có liên quan…………………………………….
2.3.2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải…………
Bài toán 1…………………………………………………….
Bài toán 2…………………………………………………….
Bài toán 3…………………………………………………….
Bài toán 4…………………………………………………….
Bài toán 5…………………………………………………….
Bài toán 6…………………………………………………….
2.3.3. Bài tập áp dụng…………………………………………….
3. Kết luận, kiến nghị……………………………………………………..
3.1. Kết luận…………………………………………………………..
3.2. Kiến nghị…………………………………………………………

2
2
2
3
3

Đặc biệt theo cấu trúc đề thi mà bộ đã công bố thì trong đề thi đưa vào các
bài toán ứng dụng thực tế, và bài toán ‘ lãi kép’ được đề cập trong cấu trúc đề thi
này. Bài toán “ lãi kép” là bài toán khó, trước đây chỉ được đề cập trong các đề
thi học sinh giỏi, trong sách giáo khoa Giải tích 12 ban cơ bản bài toán ‘lãi kép’
được lấy làm ví dụ để đặt vấn đề làm xuất hiện hàm số mũ y = a x và hàm số
logarit.
Bài tập về các bài toán dạng này trong sách giáo khoa và trong sách bài
tập rất ít, không phong phú tài liệu đề cập và bàn sâu đến dạng toán ‘lãi kép’ hầu
như không có nhiều trên thị trường, vì thế học sinh khi học và làm bài tập về
dạng bài toán này rất lúng túng và làm sai nhiều.
Để giúp học sinh lớp 12 Trường THPT Quảng Xương 4 giải tốt các bài
toán ‘lãi kép’ trong quá trình học và ôn tập thi THPT Quốc gia, tôi chọn đề tài:
‘Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp giải một số bài toán ‘lãi kép’’.
Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh một số
phương pháp và các kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toán
liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ tránh tình trạng khi các em gặp phải các bài toán
loại này là lúng túng và không giải được. Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp
các bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khi
gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Thứ nhất định hướng chương trình giáo dục với mục tiêu là giúp học sinh:
phát triển toàn diện về đạo đức, trí lực, thể chất, thẫm mĩ và các kĩ năng cơ bản,
phát triển năng lực cá nhân, tính năng động, sáng tạo, hình thành nhân cách con
người. Việc phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù
hợp với từng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học;
bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui,
hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.
Thứ hai bài toán ‘lãi kép’ được đưa vào cấu trúc đề thi trung học phổ
thông quốc gia và nó là bài toán khó trong chương trình lớp 12.

2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
Trong chương trình Giải tích 12 bài toán ‘lãi kép’ là một nội dung rất quan
trọng, bài toán được lấy làm ví dụ để xây dựng định nghĩa hàm số lũy thừa và
hàm số logarit.
Ngoài ra bài toán ‘lãi kép’ là bài toán rất thực tế đang diễn ra trong cuộc
sống hàng ngày đó là gửi tiền vào ngân hàng, vay tiền ngân hàng, vay trả góp,
mua hàng trả góp, vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp để học sinh giải
được các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ là hết sức cần thiết.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Hiện nay khi gặp các bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’, một số học
sinh lúng túng, chưa biết cách giải thường làm mò không có cơ sở toán học.
2.3. Các giải pháp thực hiện

3


Đầu tiên khi tiếp cận các bài toán, giáo viên giúp học sinh nắm được
phương pháp giải, biết phải sử dụng công thức nào cho phù hợp. Sau đó lập sơ
đồ giải, sử dụng máy tính cầm tay bấm như thế nào để ra được đúng kết quả cần
tìm.
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán liên quan đến bài
toán ‘lãi kép’, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về
cấp số cộng, cấp số nhân và kiến thức của hàm số lũy thừa, hàm số lôgarit. Sau
đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình để học sinh thực hành vận dụng.
Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài toán tương đối đầy đủ về các
bài toán liên quan đến bài toán ‘lãi kép’ sát với thực tế cuộc sống cũng như sát
với chương trình ôn tập thi trung học phổ thông quốc gia 2017.
2.3.1. Kiến thức toán có liên quan
-Các khái niệm cấp số cộng và cấp số nhân đại số và giải tích 11

4


Một người gửi vào ngân hàng a đồng, với lãi suất đơn r % một kì hạn. Hỏi
số tiền người đó nhận được cả vốn và lãi sau n ( n ∈ ¥ * ) kì hạn là bao nhiêu ?
(Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi )
Lời giải: Ta gọi A là tổng số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được sau n kì hạn
thì A được tính bằng công thức:
A = a.(1 + n.r %)

(1)

Phân tích và khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất đơn thì có
nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước không được cộng vào vốn để tính lãi cho kì
hạn sau.
Như vậy ví dụ trên ta giải bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) như
sau :
Lời giải
Áp dụng công thức (1) trên ta có
A = 100000000.(1 + 5.7%) = 135000000 đ
(Một trăm ba lăm triệu đồng )
Ví dụ: Một người gửi vào ngân hàng 20 triệu đồng, với lãi suất đơn 7,2% một
năm. Hỏi người đó phải gửi bao nhiêu năm thì số tiền người đó nhận được cả
vốn và lãi là 27200000 đồng ? (Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không
thay đổi )
Lời giải Theo công thức (1) ta có: 20.106.(1 + n.7, 2%) = 27200000 ⇒ n = 5
Vậy người đó phải gửi là 5 năm
Ví dụ: Một người đầu tư vào một công ty 80 triệu đồng, sau một năm người đó
nhận về cả vốn và lãi là 128000000 đồng. Hỏi lãi suất mỗi tháng người đó nhận
được là bao nhiêu ?

Trong đó
Số vốn ban đầu là: a
Lãi suất là: r
Thời gian gửi ( kì gửi) là: n
Số tiền cả gốc và lãi trong n kì là: An
Phân tích và khắc sâu cho học sinh: - Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép thì có
nghĩa là: Tiền lãi của kì hạn trước được cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Ví dụ: Ông A gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn một
năm với lãi suất 7,65%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 5 năm ông
A thu được cả vốn và lãi là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng)?
Lời giải: Áp dụng công thức (2) ở trên ta có:
A5 = 15.106.(1 + 7, 65%)5 = 21685000 đồng

Vậy sau 5 năm ông A thu được cả vốn và lãi là 21685000 đồng
Bài toán 3 (Bài toán mỗi kì gửi đều đặn a đồng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau n
kì số tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu ? )
Ví dụ: Một bà mẹ Việt Nam anh hùng được hưởng số tiền là 4 triệu đồng trên
một tháng ( chuyển vào tài khoản của mẹ ở ngân hàng vào đầu tháng). Từ tháng
1 năm 2016 mẹ không đi rút tiền mà để lại ngân hàng và được tính lãi suất 1%/
tháng. Đến đầu tháng 12 năm 2016 mẹ rút toàn bộ số tiền (gồm số tiền của
tháng 12 và số tiền đã gửi từ tháng 1) . Hỏi khi đó mẹ lĩnh về bao nhiêu tiền (kết
quả làm tròn theo đơn vị nghìn đồng ).
Lời giải Gọi a là số tiền gửi, r là lãi suất
-Cuối tháng thứ nhất mẹ có được số tiền là : A1 = a.(1 + r )
-Cuối tháng thứ hai mẹ có được số tiền là :
A2 = [a (1 + r ) + a ](1 + r ) = a (1 + r ) 2 + a (1 + r )

-Tương tự và theo quy nạp hết tháng thứ n mẹ có số tiền là
An = a.(1 + r )


tiền cả gốc và lãi là bao nhiêu ? )
Ví dụ: Một người gửi gói tiết kiệm tích lũy cho con tại một ngân hàng theo thể
thức lãi kép, với số tiền tiết kiệm ban đầu là 200 triệu đồng, lãi suất 7%/năm. Từ
năm thứ 2 trở đi đúng ngày ngân hàng tính lãi người đó gửi thêm vào 20 triệu
đồng. Biết rằng người đó không rút lãi định kì hàng năm và lãi suất không thay
đổi trong suốt thời gian gửi. Hỏi sau 18 năm người đó nhận được cả gốc và lãi là
bao nhiêu ?
Lời giải: -Sau năm thứ nhất người đó nhận được số tiền cả gốc và lãi là :
200.106.(1 + 7%) = 214 triệu đồng
-Đầu năm thứ 2 người đó gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ hai người đó
nhận được số tiền là : (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) đồng
-Đầu năm thứ 3 người đó gửi vào 20 triệu đồng nên cuối năm thứ ba người đó
nhận được số tiền là :
[(214.106 + 20.106 )(1 + 7%) + 20.106 ].(1 + 7%) =
= (214.106 + 20.106 )(1 + 7%) 2 + 20.106.(1 + 7%) đồng

-Tương tự, đến hết năm thứ 18 người đó nhận được
(214.106 + 20.106 )(1 + 7%)17 + 20.10 6.(1 + 7%)

(1 + 7%)16 − 1
= 1335967105 đồng
7%

Vậy người đó nhận được 1335967105 đồng.
Theo quy nạp ta có công thức tổng quát sau:
A = ( P + P.r + a )(1 + r ) n −1 + a (1 + r )

(1 + r ) n − 2 − 1
r


N 2 = N1.(1 + r ) − a = A.(1 + r ) 2 − a.(1 + r ) − 1 đồng
- Cuối tháng thứ ba số tiền người đó còn nợ là :
N 3 = N 2 .(1 + r ) − a = A.(1 + r )3 − a.(1 + r ) 2 − a.(1 + r ) − a đồng
-Tương tự, cuối tháng n số tiền người đó còn nợ là
N n = A.(1 + r ) n − a[1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ... + (1 + r ) n −1 ]=A.(1+r) n − a.

(1 + r ) n − 1
đồng
r

Như vậy theo công thức trên ta có :
(1 + 0.5%) n − 1
11
300.10 .(1 + 0.5%) − 5500000.
= 0 ⇔ n = log1,005 ≈ 63,84980473
0.5%
8
6

n

Người này cần 64 tháng để trả hết nợ.
Ví dụ Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày
vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số
tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày
vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi
lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong
thời gian ông A hoàn nợ
Lời giải

= 0 ⇒ r ≈ 1, 62%
r

2.3.3. Bài tập áp dụng
Bài 1. Ông A gửi vào ngân hàng một số tiền là 120 triệu đồng với lãi suất định
kỳ hàng năm là 12%/năm. Nếu sau mỗi năm, ông không đến ngân hàng lấy lãi
thì tiền lãi sẽ cộng dồn vào vốn ban đầu. Hỏi sau đúng 12 năm kể từ ngày gửi, số
tiền lãi L ( không kể vốn) ông sẽ nhận được là bao nhiêu? ( Giả sử trong thời
gian đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi).
Bài 2. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập
vào vốn, hỏi sau bao nhiêu tháng người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu ?
Bài 3. Anh B đầu tư 200 triệu đồng vào một công ty theo thể thức lãi kép với lãi
suất 15% một năm. Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi. Hỏi sau 3 năm, số
tiền lãi của anh B là bao nhiêu ?
Bài 4. Anh A vay ngân hàng 500 triệu đồng theo phương thức trả góp để mua
nhà. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả 8,5 triệu đồng và
chịu lãi số tiền chưa trả là 0,5% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau
bao lâu, anh A trả hết số tiền trên ?
Bài 5. Một sinh viên X trong thời gian học 4 năm đại học đã vay ngân hàng mỗi
năm 12 triệu đồng với lãi suất 3%/năm (thủ tục vay một năm 1 lần vào thời điểm
đầu năm học). Khi ra trường X thất nghiệp chưa trả được tiền cho ngân hàng nên
phải chịu lãi suất 8%/năm. Sau một năm thất nghiệp, sinh viên X cũng tìm được
việc làm và bắt đầu trả nợ dần. Tính số tiền sinh viên X nợ ngân hàng trong 4
năm đại học và một năm thất nghiệp.
Bài 6. Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,5%/năm và lãi hàng năm được nhập
vào vốn. Hỏi để sau 3 năm người đó thu được cả vốn và lãi là 600 triệu đồng thì
số tiền cần gửi lúc đầu ít nhất là bao nhiêu đồng ?
9





1. Giải tích 12 cơ bản và Giải tích 12 nâng cao.
2. Bộ đề minh họa, thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo
3. Các đề thi thử, các đề thi khảo sát chất lượng của các trường, các
Sở giáo dục trên toàn quốc
4. Nguồn khác: Internet

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI
ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI TỪ LOẠI C TRỞ LÊN
11


Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Đương
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Quảng Xương 4

TT

1
2

Tên đề tài SKKN
Ứng dụng hàm số ngược để giải phương
trình
Hướng dẫn học sinh lớp 10 Trường THPT
Quảng Xương 4 giải phương trình vô tỷ

Cấp
đánh giá
xếp loại