SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NAM
NGẠN – THÀNH PHỐ THANH HÓA GIẢI CÁC BÀI
TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – NHỎ NHẤT

Người thực hiện: Mai Thị Tâm
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Nam Ngạn
SKKN thuộc lĩnh vực : Môn Toán

THANH HÓA NĂM 2016

1


MỤC LỤC
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

6
17
18
18
18
19

I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi
tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào các trường THPT chuyên thường
gặp những bài toán yêu cần tìm Giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất
2


(GTNN) của một đại lượng nào đó. Các bài toán này gọi chung là các bài toán
cực trị. Đây là bài toán khó gây cản trở tâm lí dẫn đến nhiều học sinh ngại học
còn giáo viên dạy chưa tập hợp được phương pháp giải ảnh hưởng không tốt đến
chất lượng giáo dục học sinh.
Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu
sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán. Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn
nhất, dài nhất... trong một bài toán. Để dần dần hình thành cho học sinh thói
quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.
Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với
các em học sinh. ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách
giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức
toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này.
Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào việc
rèn luyện tư duy cho học sinh.
Nhưng hiện tại chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu vào vấn đề

ít. Vì vậy khi ôn tập cho học sinh lớp 9 thi học sinh giỏi và thi vào phổ thông
trung học giáo viên nhặt nhạnh vài bài thấy hay là dạy dẫn đến học sinh ngơ
ngác chẳng hiểu gì. Trong quá trình lên lớp “GTLN và GTNN” không đơn giản
chút nào . Ngoài ra phương pháp giảng dạy giáo viên chưa quan tâm rèn kĩ năng
- Nhưng dạng toán tìm GTNN và GTLN là một trong những bài toán
khó của THCS mà trong những năm gần đây được các thầy cô quan tâm đến
nhiều hơn về phương pháp và những dạng toán cụ thể nhằm rèn luyện khả năng
tư duy sáng tạo cho học sinh và khả năng làm toán tìm GTNN và GTLN, không
những thế mà đây là một dạng toán thường hay thi HSG và thi vào lớp 10
- Qua những năm tôi đã dạy học thì thấy học sinh tiếp thu bài toán tìm
“GTLN và GTNN” là khó khăn và tiếp thu một cách thụ động, giáo viên chữa
bài nào biết bài đó không vận dụng linh hoạt sáng tạo được dạng toán để làm bài
tập tương tự. Do vậy khi gặp bài toán dạng này học sinh rất lúng túng. Sỡ dĩ như
vậy là trong các đề toán ra những bài toán của “ GTLN và GTNN” trong việc

5


giải toán đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học sự uyển chuyển
trong phương pháp giải
2.3. Đối với học sinh:
- Học sinh thấy phần kiến thức này ít và khó nên không đầu tư học nhiều.
- Học sinh chưa biết cách vận dụng tổng hợp các kiến thức liên quan đã
hoc vào vận dụng vào giải bài toán GTNN và GTLN nên gặp loại bài toán này
học sinh bí tắc trong cách giải
- Tài liệu tham khảo cho học còn ít và chưa đưa ra các phương pháp cụ
thể để cho học sinh trung học cơ sở dễ tiếp cận.
- Cụ thể khi khảo sát dạy HS lớp 8A và 8B trường THCS Nam Ngạn năm
học 2014 - 2015 sau khi học xong bài “GTLN và GTNN”.
Số em vận dụng kiến thức đã học vào làm đúng và làm tốt đạt 25 % .

- Học sinh nên mượn hay mua tài liệu để học thêm,ôn thêm phần kiến
thức này
3.2.Các phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất là:
3.2.1. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x) ≥ 0 (hoặc A(x) ≤ 0).
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) ≥ k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) ≤ k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)2+(x-3)2.
Giải:
A(x) = (x-1)2 +( x-3)2 = x2 - 2x+1+ x2 - 6x+ 9=2(x2 - 4x +5)=2(x-2) 2+2 ≥ 2
Vì (x-2)2 ≥ 0 với ∀ x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = - 5x2 - 4x+1
4
5

Giải : Từ B(x) = -5x2 - 4x+1 ta có B(x)= - 5(x2+ x)+1

7


2
2
2
2
 2



⇒ B(x) = −5  x + ÷ + ≤
5 5 5

9
2
khi x = −
5
5

Max B(x) =

3.2.2. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng

A(x)
A(x)
≥ 0 hoặc
≤ 0.
2
k
k2

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số A(x) =

3x 2 + 6x + 10
x 2 + 2x + 3

3x 2 + 6x + 10
Giải: Từ A(x) = 2

khi (x+1)2 = 0 ⇔ x= -1
2

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) =

2x 2 − 16x + 41
với x ∈ R
x 2 − 8x + 22

2x 2 − 16x + 41 2(x 2 − 8x + 22) − 3
3
=
= 2−
Giải: Từ B(x) = 2
2
x − 8x + 22
x − 8x + 22
(x − 4) 2 + 6

Vì (x- 4)2 ≥ 0 với ∀x nên (x- 4)2+6 ≥ 6.
3
3 1
≤ =
2
Nên (x − 4) + 6 6 2

8


⇒ B(x) = 2 −

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an
+ Bài toán:
a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của
chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Giải:
a. Ta cần chứng minh rằng với x >0; y> 0 và xy=k (không đổi) thì x+y
đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số dương ta có:
2

x+y
2

÷ ≥ xy ⇒ (x + y) ≥ 4xy hay x + y ≥ 2 xy
 2 

mà xy = k (không đổi)

Nên ta có: x+y ≥ 2 xy = 2 k (1)
Vậy tổng P =x+y lấy giá trị nhỏ nhất x+ y =2 k khi x=y
b. Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x+ y = k (hằng số).

9


Từ (x+y) ≥ 4xy ⇒ xy ≤
2


là hai
2x
2x
2x

số dương, có tích không đổi (bằng 4) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
8x=

1
1
⇔ 16x2 =1 ⇔ x= (x >0)
2x
4
1+1+1
1
=6⇔x=
Vậy Min B = 1
4
2

3.2.4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến
số:
Ví dụ 7: Tìm giá trị của m và p sao cho:
A= m2 - 4mp + 5p2 + 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Giải:
A = (m2 - 4mp + 4p2 ) + (p2 - 2p + 1) + 27 + 10m - 20p

10


x2 ≥ 0 với ∀ x.
Biểu thức P(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y) 2, (3y-2z)2; (x-z)2, x2
đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc hay nói cách khác chúng phải có giá trị đồng
thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây có nghiệm.
 x + 2y = 0
x = 0
3y − 2z = 0


⇔ y = 0

x − z = 0
z = 0

 x = 0

Vậy Min P(x,y,z) = 5 khi x = 0, y = 0, z = 0.
- Tổng quát: Khi gặp P = A + B + C_+ ...+
Với A ≥ k12, B ≥ k22, C ≥ k32, ...... thì ta có thể kết luận P đạt giá trị nhỏ nhất
khi A, B, C ..... đạt giá trị nhỏ nhất cùng một lúc và khi đó
P(min) = k12 + k22 + k32 +...
11


Để tìm ra các biến số tương ứng với P(min) ta giải hệ phương trình:
 A = k12

2
B = k 2


 xy + yz + zx − 2000 = 0
2

 t − 1  = 0
 2 ÷


(1)
(2)
(3)
(4)

7
5

3
2

Từ (1) ta có: y= x . Từ (2) ta có: z = x
Thay vào (3) ta được:
7 2 21 2 3 2
x + x + x = 2000 <=> 5x 2 = 2000
5
10
2

<=> x2 =400 <=> x= ± 20
- Với x = 20 ta có y = 28; z = 30
- Với x = -20 ta có y = -28; z = -30
Ngoài ra, từ (4) ta có: t=

b1 b2
bn

b. Các ví dụ:
Ví dụ 10: Tìm các giá trị x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị
nhỏ nhất P = x2 + y2 + z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết rằng x+y+z = 1995
Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho các bộ số: 1, 1, 1; x, y, z
Ta có: (x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (12 + 12 + 12) (x2 + y2 + z2)
Hay: (x + y + z)2 ≤ 3(x2 + y2 + z2)
Từ đó ta có P = x + y + z ≥
2

2

2

(x + y + z) 2
mà x+ y + z = 1995 => Ta có:
3

19952
P= x + y + z ≥
với ∀ x, y, z
3
2

Pmin =

2



Thay y =

3x
9x 2
2
2
2
= 52 ⇔ x = ±4
vào x + y = 52 ta có x +
2
4

Vậy Max A = 26 <=> x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6
3.2.6. Phương pháp giải các bài toán cực trị đại số thoả mãn một hệ
các điều kiện nào đó:
Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P(x,y) = 6x+4y thoả mãn điều kiện

 xy = 216

x > 0
y > 0


Giải: Từ P(x,y) = 6x+4y với x>0; y > 0 do đó 6x > 0; 4y > 0
=> [P(x,y)]2 = (6x+4y)2 ≥ 4.6x.4y=96.xy
Vì xy=216(gt) => [P(x,y)]2 ≥ 96.216=20736
 P(x,y) ≥ 144


a. Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.
Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của A = x+ 2 − x
Giải: Điều kiện x ≤ 2

14


Đặt 2 − x = y ≥ 0. Ta có y2 = 2-x
2



A = 2-y2 + y = −  y − ÷ + ≤
2 4 4

1

Max A =

9

9

9
1
1
7
⇔ y = <=> 2 − x = <=> x =
4
2

Nên (1) <=> ax2 + ax+a=x2 -x+1
<=> (a-1)x2 + (a+1)x+a-1=0

(2)

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0
Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 để (2) có nghiệm, cần và đủ là ∆ ≥ 0
=> ∆ = (a+1)2 - 4(a-1)2 ≥ 0
<=> (3a-1) (a-3) ≤ 0 <=>

1
≤ a ≤ 3 (a ≠ 1)
3

Với a =

−(a + 1)
a +1
1
hoặc a = 3 thì nghiệm của (2) là x= 2(a − 1) = 2(1 − a)
3

Với a =

1
thì x = 1; với a = 3 thì x = -1
3

15


C=

x 2
+
( x, y, z có vai trò như nhau)
3 3

+ Dựa vào điều kiện: x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 để lập luận và tìm ra yêu cầu của bài.

C≥

2
3

(khix ≥ 0) suy ra C đạt giá trị nhỏ nhất bằng

+ Sử dụng điều kiện:

2
khi x = 0
3

y ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
⇒ x≤2
z ≥ 0 ⇒ x ≤ 4

Do đó: 0 ≤ x ≤ 2 ( kết hợp với điều kiện) nên khi đó học sinh tìm được:

C=


Từ 5 - 7,5
Từ 8 - 10
b. Hiệu quả sau khi học sinh đã học.

Tỉ lệ %
40
35
20
5
12
20
43
25

Ghi chú

Trong các năm học trước tôi chưa áp dụng phương pháp dạy học theo đề tài
này thì kết quả chất lượng mũi nhọn ở trường THCS chúng tôi rất thấp. Sau khi
áp dụng phương pháp giảng dạy giải bài toán theo đề tài đã nêu trong năm học
2014- 2015 và đặc biệt là từ đầu năm học 2015 - 2016 này thì chất lượng học
sinh ở trường THCS chúng tôi nâng lên rõ rệt vì lí do sau:
Mức độ yêu thích môn toán nói chung nâng lên, các em không còn thấy
ngại dạng toán tìm GTLN và GTNN của môn đại số nữa mà trở nên hứng thú
học và tìm hiểu nhiều hơn.
Đa số các em nắm được các phương pháp tìm GTLN và GTNN, biết sủ
dụng các pháp này vào giải từng bài toán cụ thể .
Học sinh đã từng bước khai thác các bài toán khó dựa vào kiến thức đã học
để mở rộng kiến thức và rèn luyện kĩ năng giải toán tìm GTLN và GTNN .

17

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nam Ngạn, ngày 8 tháng 4 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN
của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác

Mai Thị Tâm
18


TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT

TÊN TÀI LIỆU

TÊN TÁC GIẢ

NHÀ XUẤT BẢN

1

SGK ,SGV Toán 8

Phan Đức Chính

NXB Giáo dục

2


Nguyễn Ngọc Đạm-

NXB Hà Nội

nâng cao toán 9

Hàn Hải Liên-

Nguyễn Ngọc Đạm

NXB Giáo dục

Ngô Long Hậu
7

Các dạng toán điển hình

Lê Đức

NXB Đại học quốc
gia Hà Nội

Ý KIẾN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ

19


VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………



……………………………………………………………………………………………….....................................
……………………………………………………………………………………………….....................................

21