Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

Môc lôc
Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ
không gian, lớp 12 THPT
*****
NéI DUNG

TT

Trang

A

MỞ ĐẦU

1
2
3
4

Lý do chọn đề tài
Mục đích nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu

B

NỘI DUNG

I

Dạng 3.Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm .......................

C

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

17
18

Tài liệu tham khảo

19

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

1


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

A.MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài .
Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của môn Toán là hình


B.NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận.
Trong chương trình hình học 12 chương :"Phương pháp tọa độ trong không
gian" tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện
cho trước, lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng. Tuy nhiên các kiến thức trong
sách giáo khoa chỉ ở mức cơ bản song trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học,
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

2


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Cao đẳng, đề thi thử của một số trường lại vẫn có loại bài tập này.Vì vậy việc cung
cấp nội dung phương pháp là hết sức cần thiết.
II .Thực trạng của vấn đề.
Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi, ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi
Đại học, Cao đẳng, tôi nhận thấy phần bài tập liên quan đến các bài toán cực trị
hình học trong hình tọa độ không gian là một phần bài tập khó, học sinh tương đối
gặp khó khăn trong cách tư duy, định hướng cách giải bởi vì sách giáo khoa hầu
như bỏ qua dạng bài tập này, các tài liệu tham khảo cũng có nhắc tới song không có
tính hệ thống.Vì vậy, học sinh lúng túng khi gặp phải tình huống này. Khi chưa cải
tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được vài em tập trung làm bài tập dạng này, tuy
nhiên cũng không có tính hệ thống mà làm thiên về phương pháp đại số. Nếu trang

b
c
1.4.Cho 2 điểm A( x A ; y A ; z A ); B( xB ; yB ; z B ) ,điểm M ( xM ; yM ; zM ) chia AB theo tỷ số k :
x A − kxB

 xM = 1 − k

uuur
uuur
y A − kyB

MA = k MB được xác định bởi công thức sau  yM =
1− k

z A − kz B

 zM = 1 − k


2.Các dạng toán cơ bản.
Để giúp học sinh khá giỏi giải tốt các bài toán cực trị trong hình học không
gian thường gặp trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và thi học sinh giỏi, tôi đã đúc
kết thành những dạng toán cơ bản như sau:
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3


B

+) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
⇔ (MA1 + MB) min = A1 B ⇔ M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B ∩ ( P ) .Tìm toạ độ M.
b) MA − MB lớn nhất.
• Bước 1 : Xét vị trí tương đối của A,B so với mặt phẳng (P).
• Bước 2 :+) Nếu A, B cùng phía đối với (P).
MA − MB max khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ) .
A

A
B
M

M

P)

M

A1

M1

B

P)

y
;
z
)
=
x
+
y
+
z
−
4
Đặt
a. f (1;0;0). f (1; 2;0) = (−3)(−1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P).Khi đó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B .
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
⇔ (MA1 + MB) min = A1 B ⇔ M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B ∩ ( P ) .
r
Đường thẳng ∆ vuông góc với (P) đi qua A(1;0;0) nhận véc tơ pháp tuyến n(1;1;1)
x = 1+ t

của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:  y = t
z = t


Gọi I là giao của đường thẳng ∆ với (P) thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :
x = 1+ t
t = 1
y = t
x = 2

2 2
2 2
z = 2 + t
 x + y + z − 4 = 0
b) f (1; 2; −1). f (0;1; 2) = (−2)(−1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía đối với (P).
Khi đó MA − MB ≤ A B , MA − MB max khi M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P)
uuuu
r
Ta có A B (-1;-1;3)
uuuu
r
Đường thẳng ∆ đi qua A (1;2;-1) nhận véc tơ A B (-1;-1;3) làm vec tơ chỉ phương
x = 1− t

có phương trình là  y = 2 − t
 z = −1 + 3t


Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

5


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

uuuur uuuu
r uuuu
r
Gọi G là điểm thoã mãn : α1 GA1 + α 2 GA2 + ... + α n GAn = 0 với MAk = MG + GAk , k = 1, n .
ur

uuuu
r

uuuur

uuuur

uuuu
r

Khi đó w = α1 MA1 + α 2 MA2 + ... + α n MAn = α1 + α 2 + ... + α n MG .
Bước 2. Lập luận tìm vị trí của điểm M.
ur
Do α1 + α 2 + ... + α n ≠ 0 nên w có độ dài nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M
thuộc (P) nên MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P).
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0.Tìm
uuur uuur uuuu
r
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),
B(0;1;2),C(0;0;3).
Định hướng. Xác định các bước làm bài toán này.
Bước 1. Xác định điểm cố định theo hướng dẫn ở phần phương pháp.
Bước 2. Lập luận để tìm vị trí của điểm M.
Giải


Ta cần tìm điểm I sao cho IA + 3IB + 4 IC = 0 ⇔ OI = (OA + 3OB + 4OC ) .
1 5 17
) và I cố định.
8 8 8
uuur uuur uuuu
r
uuu
r
MA + 3MB + 4 MC = 8 MI nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của I lên (P).

Vậy I( ; ;

Phương
trình đường thẳng ∆ đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
r
n(1;1;1) của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:
1
5
17
y−
z−
8=
8=
8
1
1
1
1
5

Vậy M( ; 1; )
Bài toán 3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A1 ; A2 ;...; An .Xét biểu
thức T= α1MA12 + α 2 MA22 + α 3 MA32 + ... + α n MAn2 , trong đó α1 ;α 2 ;...; α n là các số thực cho
trước.Tìm M thuộc (P) sao cho :
a) T có giá trị nhỏ nhất biết α1 + α 2 + ... + α n > 0 .
b) T có giá trị lớn nhất biết α1 + α 2 + ... + α n < 0 .
Phương pháp.
Bước 1.Xác định điểm cố định.
uuur
uuuu
r
uuuu
r r
uuuur uuuu
r uuuu
r
Gọi G là điểm thoã mãn α1 GA1 + α 2 GA2 + ... + α n GAn = 0 .Ta có: MAk = MG + GAk , k = 1; n .
T= α1MA12 + α 2 MA22 + ... + α n MAn2 = α1GA12 + α 2GA22 + ... + α nGAn2 + (α1 + α 2 + ... + α n ) MG 2 .
Bước 2.a) Nếu α1 + α 2 + ... + α n > 0 . Do α1GA12 + α 2GA22 + ... + α nGAn2 không đổi nên T có
giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất.
b) Nếu α1 + α 2 + ... + α n < 0 , T có giá trị lớn nhất khi MG nhỏ nhất.
MG nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của G lên (P).
Ví dụ1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0. Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho: MA2 − 3MB 2 nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),B(-1;0;3)
Định hướng.
uuur uuur
Bước 1 : Xác định điểm cố định .Trước hết cần phân tích các vec tơ MA, MB thành
tổng của 2 vec tơ .
Bước 2: lập luận để MA2 − 3MB 2 lớn nhất. Tìm vị trí của điểm M.
Giải


 z = −2

Do I cố định nên IA2 , IB 2 có độ dài không đổi.Vậy MA2 − 3MB 2 lớn nhất khi IM 2 nhỏ
nhất ⇔ MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I lên (P).
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến
r
x + 2 y +1 z − 5
=
=
n(1;1;1) của (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là :
.
1
1
1

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

7


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
 x + 2 y +1 z − 5
=

r uuu
r uuuu
r uuu
r
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuur
uuuu
r uuur uuuu
r uuu
r
S = MG + GA MG + GB + MG + GB MG + GC + MG + GC MG + GA
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuruuu
r
uuu
r uuu
r uuu
ruuur uuur uuu
r
= 3MG2 + 2MG GA + GB + GC + GAGB + GBGC + GCGA = 3MG2 + GAGB + GBGC + GCGA
uuu
r uuur uuu
r uuur uuur uuu

x − 2 y −1 z − 2
=
=
3
−3
2

 x − 2 y −1 z − 2
=
=

−3
2 .Ta tìm được M(−4;7; −2)
Toạ độ điểm M là nghiệm hệ :  3
3x − 3 y + 2 z + 37 = 0

Nhận xét :Với cách định hướng phân tích bài toán như trên học sinh sẽ thấy vấn
đề của bài toán trở nên đơn giản, dễ giải quyết.

Dạng 2.Một số bài toán về viết phương trình mặt phẳng.
Bài toán 1. Cho 2 điểm phân biệt A, B.Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và
cách B một khoảng lớn nhất.
Phương pháp.
Bước 1.Gọi H là hình chiếu của B lên (P).Tam giác ABH vuông tại H

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

tuyến.Vậy (P) : .
(P)

Nhận xét : Như vậy, khi định hướng rõ ràng phương pháp thì học sinh có tư duy
trực quan hơn, làm bài nhanh hơn, cảm thấy tự tin hơn với bài làm của mình.
Bài toán 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A không thuộc đường
thẳng d. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P)
lớn nhất .
Phương pháp:Bước 1.Gọi H là hình chiếu của A trên (P), K
là hình chiếu của A lên đường thẳng d.
Bước 2. Ta có d(A;(P)) =AH ≤ AK.
Vậy d(A;(P)) lớn nhất khi và chỉ khi AH =AK. Hay H ≡ K.
A

H

d

uuur

K

P)

Bước 3.Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và nhận AK làm vectơ pháp tuyến.
Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học, khối A năm 2008).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d:

x −1 y z − 2
= =

uuur
Vậy ( α ) chứa đường thẳng d và nhận
làm vec tơ pháp tuyến.
uuur AK
∈
Ta có K d nên K(1+2t;t;2+2t) và AK (2t − 1; t − 5; 2t − 1) .
uur
uuur uur
Đường thẳng d có vtcp u (2;1;2) đi qua (1;0;2)Theo giả thiết ta có: AK .u = 0 ⇔ t = 1
d

d

A

Véc tơ pháp tuyến của () là .
Phương trình mặt phẳng () : 1(x-1)-4y +1(z-2)=0
Vậy mặt phẳng (): x-4y+z-3=0

H
d

K

P)

Cách 2. Đường thẳng d đi qua 2 điểm ulà
M(1;0;2) và N(-1;-1;0). Do ( α ) chứa
ur
đường thẳng d nên M, N thuộc ( α ). Gọi nα = ( A; B; C ) là vec tơ pháp tuyến ( α ).

=
=9
=
9
f
(
t
),
với
5t 2 + 8t + 5
(5t 2 + 8t + 5) 2
5t 2 + 8t + 5
5 A2 + 8 AC + 5C 2
1
2
f / (t ) = 0 ⇔ t = ±1 ; lim f (t ) = ; f (−1) = 0; f (1) = ;Sử dụng bảng biến thiên ta có
x →±∞
5
9
2
Max f (t ) = f (1) = ⇒ d(A;( α ))= 3 2 ⇔ t=1 hay A=C. Chọn A=C=1 .Vậy B=-4
9
Phương trình mặt phẳng ( α ): 1(x-1)-4y +1(z-2)=0.Hay mặt phẳng ( α ): x-4y+z-3=0

d(A;( α ))=

Nhận xét:Cách 1dễ làm, ít phải tính toán, thiên về hình học, cách 2 nặng về đại số.
Bài toán 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), đường thẳng
d.Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d sao cho góc giữa (Q) và (P) nhỏ nhất (d
và (P) không vuông góc với nhau).

A

·
.Ta có sin MAH
=

H
K
d

M

Q)

Bước 3. Mặt phẳng (Q) cần tìm là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc
uu
r r

u
với mặt phẳng (AMK). Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến  d ; n  .
( P)

r
uu
r r
uu
r r
r
uu
r uu

CB
·
nhỏ nhất, hay H ≡ K .
BCH

Mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông
góc với mặt phẳng (CBK).
r

r

K
A
Q

B

r

uuur r
⊥ AB; n ( Q ) ⊥ (CBK ) nên (Q) có 1
uuur uuu
r r
r
uuur
=  AB;  AB; n ( P )   =(-6;-6;6) với AB(−1; 2;1) ; n ( P ) (2;-1;-2).



Gọi n , n là véc tơ pháp tuyến của (P), (Q) thì: n

Mà điểm A cũng thuộc ( Q ) nên a.1 + b ( 2 − 4 ) + c ( −1) = 0 ⇔ a = 2b + c ( 1) .
uur
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : nP = ( 2; −1; −2 ) .
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

11


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
uur uur
nP .nQ
2a − b − 2c
Gọi α là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) .Ta có: cosα = uur uur =
nP . nQ 3. a 2 + b 2 + c 2

Thế a = 2b + c ( 1) vào ( 2 ) ta được : cosα =

3b
3. 5b 2 + 4bc + 2c 2

=

( 2)


1
3

c
c
c 
2  ÷ + 4  ÷+ 5
2  + 1÷ + 3
b
b
b 
1
c
⇔ = −1 ⇔ c = −b, a = b .
Vậy góc α nhỏ nhất khi cos α lớn nhất ⇔ cosα =
3
b
Chọn a=1 thì b=1;c=-1. Do đó phương trình mặt phẳng ( Q ) là : x + y − z − 4 = 0 .

Nhận xét: Rõ ràng là cách 1cho ta kết quả nhanh, dễ nhớ hơn, tiết kiệm được thời
gian, ít phải tính toán do vậy kết quả chính xác hơn.
Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d và d / .
Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho góc giữa (P) và đường thẳng d /
lớn nhất (d và d / chéo nhau).
Phương pháp.
d/
Bước 1. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d. Dựng đường
A
thẳng qua M và song song với đường thẳng d. Lấy điểm A cố
định trên đường thẳng đó . Hạ ,.

=
=
Ví dụ. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d:
và
1
2
−1
x + 2 y −1 z
=
= . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho
đường thẳng d / :
2
−1 2

góc giữa (P) và đường thẳng d / lớn nhất.
Định hướng. Hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 cách từ đó rút ra nhận xét .
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích.
Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

12


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian

mặt phẳng (P) là : A(x-1)+B(y+2)+Cz=0, A2 + B 2 + C 2 > 0 .
r uu
r
Ta có n ud = 0 nên C=A+2B.
Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d là góc ϕ thoã mãn :
d/

(P)

d/

(P)

r uur
ϕ
=
cos(
n
( P ) , ud / ) =
sin

4 A + 3B
3 A2 + B 2 + ( A + 2 B ) 2

+) Nếu B=0 thì A ≠ 0 nên

sin ϕ =

=


3
/
f (t ) = 8; f (−7) = ; f (− ) = 0 . Lập bảng biến thiên .
Vì f (t ) = (2t 2 + 4t + 5)2 ; xlim
→±∞
3
4
25
Ta tìm được max f (t ) = . Do góc ϕ lớn nhất thì sin ϕ lớn nhất.
3
ϕ
Vậy sin lớn nhất khi t=- 7 hay A = −7 B .

+) Nếu B ≠ 0 thì đặt t =

Chọn B=-1 thì A=7 và C=5 khi đó (P) là : 7x-y+5z -9=0.
Nhận xét: Trong 2 cách làm ta thấy cách thứ nhất tiện lợi hơn rất nhiều và ít phải
tính toán dẫn đến ít mắc sai lầm trong bài làm hơn.Cách 2 nặng về đại số, giải tích

Dạng 3.Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng.

Bài toán 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm A ∈ ( P),
điểm B ≠ A . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn điều kiện
đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Phương pháp.
Bước1.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên (P) và đường thẳng d.
Bước 2.Ta có d ( B, d ) = BK ≤ BA nên khoảng cách đó lớn nhất
khi và chỉ khi K ≡ A ,tức là đường thẳng d nằm trong (P), d đi
qua A và vuông góc với AB.
r

Mặt khác d ( B, d ) = BK ≥ BH nên khoảng cách đó nhỏ nhất khi và chỉ khi K ≡ H tức
là đường thẳng d nằm trong (P), d đi qua A và hình chiếu vuông góc H của điểm B
lên (P), nói cách khác đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q)
r uuur

n
trong đó (Q) chứa AB và vuông góc với (P), (Q) có vec tơ pháp tuyến  ; AB  .
(P)

r
r
r uuur
Đường thẳng d nhận một véc tơ chỉ phương là u d =  n ( P ) ;  n ( P ) ; AB   .

Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.
Ví dụ.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y-z-1=0, điểm A(1;0;0), điểm
B (0; 2; −3) . Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn điều kiện:
a) Đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
b) Đường thẳng d đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất.
Định hướng.Hướng dẫn học sinh thực hiện theo 2 cách từ đó rút ra nhận xét .
Cách 1 : làm theo ba bước như ở phần phương pháp.
Cách 2 : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên về đại số và gải tích.
Giải
Cách 1.Lập luận tương tự như phần phương pháp.
a)Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d đi qua A và cách B một
r
r uuur
khoảng lớn nhất là đường thẳng có véc tơ chỉ phương u =  n ; AB  với :
r
n ( P ) = (1; 2; −1) ;

uuur

khoảng nhỏ nhất là đường thẳng có véc tơ chỉ phương u =  n ;  n ; AB   với
d

(P)

( P)

r
r uuur
r
r
r uuur
u d =  n ( P ) ; AB  =(-4;4;4); u d =  n ( P ) ;  n ( P ) ; AB   =(12;0;12)


r
Vậy đường thẳng d đi qua A có vec tơ chỉ phương u d có phương trình là :
x = 1+ t

y = 0
z = t

r
Cách 2. Gọi véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u d (a;b;c) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ).
r
r r
(P) có véc tơ pháp tuyến n ( P ) = (1; 2; −1) .Vì d ⊂ ( P) nên u d n ( P ) = 0 ⇔ c = a + 2b
r uuu


-

Trường THPT Hậu Lộc 3

14


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
a
, t ∈ ¡ ta có :
b
12t 2 + 24t + 54
12t 2 + 24t + 54
24
d ( B; d ) =
=
f
(
t
),
f
(
t
)
=
= 6+ 2
2
2
2t + 4t + 5


Nhận xét: lựa chọn cách thứ nhất cho lời giải đẹp, tiết kiệm được thời gian và cho
độ chính xác cao hơn vì học sinh ít phải tính toán.
Bài toán 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm A ∈ ( P) .
Đường thẳng d / cắt (P). Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) thoã mãn
điều kiện đường thẳng d đi qua A và khoảng cách giữa d và d / lớn nhất (đường
thẳng d / không đi qua A )
Phương pháp.
Bước 1. Gọi B là giao điểm của đường thẳng d / và (P),d / / là đường thẳng đi qua
Avà song song với đường thẳng d / ,(Q) là mặt phẳng chứa A và d / / .
Vậy đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q).
Bước 2. Gọi H, Klà hình chiếu của B lên (Q), d / / .
Ta có: d(d;d / )=d(d / ;(Q))=d(B,(Q))=BH ≤ BK .
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng lớn nhất khi và chỉ khi H ≡ K
Bước 3. Khi đó đường thẳng d đi qua A nhận véc tơ chỉ phương
d/

K

B

P)

H

A

r
uu
r


Trường THPT Hậu Lộc 3

15

d//


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
Giải

∆ .Vậy véc tơ pháp tuyến
Cách 1.Như vậy d ⊂ ( P) với (P) đi qua O và vuông góc
r
uu
r
của (P) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng ∆ .Vậy n ( P ) (1;-2;1)= uV . Ta có O∉ d /

Theo kết quả đã chứng minh, đường thẳng d đi qua O có 1 vec tơ chỉ phương là :
uu
r
r uur
ud =  n ; OI  ,với I là hình chiếu của O trên đường thẳng d / .
(P)

uur

Tọa độ điểm I(2t;-1-2t;1-t) ⇒ OI (2t ; −1 − 2t;1 − t )

uu

9 9 9

/

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (13;12;11).
Vậy phương trình đường thẳng d là :

x
y
z
=
=
13 12 11

r

Cách 2. Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u (a;b;c) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ).
r
Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương lần lượt là u (1;-2;1).
r r
Vì d ⊥ ∆ nên u u V = 0 ⇔ c = − a + 2b . Đường thẳng d / đi qua M(0;-1;1) có vtcp
d

∆

d

r r
r
u d / (2;-2;-1) ta có u d / ; u d  = (2a − 3b; a − 4b; 2a + 2b)

Ta có f (t ) = (9t 2 − 12t + 29) 2 , f (t ) = 0 ⇔ t = −6; t = 12 .
13 17
1
17
13
f (t ) = nên maxf(t)= ⇔ t = .
Vì f(-6)=0;f( )= ; xlim
12
9 →±∞
9
9
12

(t + 6) 2
f (t ) = 2
9t − 12t + 29

Vậy d(d / ;d) lớn nhất khi t=13/12, chọn a=13;b=12;c=11.
Vậy phương trình đường thẳng d qua O có phương trình là:

x
y
z
=
= .
13 12 11

Nhận xét: Rõ ràng là cách làm thứ nhất cho hiệu quả tốt hơn cách làm thứ hai.
Bài toán 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P),điểm A ∈ (P)
Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A, đồng thời d tạo với đường

d

(P)

+) Đôí với trường hợp góc bé nhất
Bước 1. Gọi d / / là đường thẳng đi qua Avà song song với đường thẳng d / .Lấy M
cố định thuộc đường thẳng d / / . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên (P),
đường thẳng d.
MK MH
·
·
≥
Bước 2. Góc giữa hai đường thẳng là MAK
.Ta có sin MAK
=
.
MA

MA

·
·
·
Góc MAK
nhỏ nhất khi sin MAK
nhỏ nhất.Vậy MAK
nhỏ nhất khi K trùng H hay d là
đường thẳng đi qua A,H hay d chính là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) trong
đó (Q) là mặt phẳng chứa Avuông góc với (P) và song song với đường thẳng d / .
Bước 3. Viết phương trình đường thẳng d.

2

Định hướng: Bài toán này bản chất cũng là bài toán tổng quát ở trên tuy nhiên cần
cho học sinh biết phát hiện vậy thì mặt phẳng (P) trong bài toán này là gì?Thực
chất (P) là mặt phẳng đi qua A và song song (Q) như vậy (P) có cùng vec tơ pháp
tuyến với (Q). Đối với trường hợp góc lớn nhất ta thấy luôn tồn tại. Đối với trường
hợp góc bé nhất ta thực hiện theo các bước phân tích ở bài toán tổng quát để đi tìm
vectơ chỉ phương của đường thẳng. Bài toán này có thể giải theo 2 cách như các bài
toán trên.
Giải.
Cách 1.Lập luận như phần lý thuyết ta có
Đường thẳng d đi qua A và song
song với (Q) tức là d nằm trong mặt phẳng (P) :
r
Véc tơ pháp tuyến của (P) là n (2;-1;-1) đi qua A có phương trình: 2x-y-z-1=0.
+) Góc giữa d và d / lớn nhất bằng 90 0 , khi đó d có một véc tơ chỉ phương là
(P)

uu
r
r r
x −1 y +1 z − 2
ud = u d / ; n ( P )  = (4;5;3) . Phương trình đường thẳng d là :
=
=
.
4
5
3


( p)

Phương trình đường thẳng d là :

x −1 y + 1 z − 2
=
=
.
1
−5
7

/

(P)

r

Cách 2. Gọi vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u (a;b;c) ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ).
r r
Vì d / /(Q) nên u n = 0 ⇔ c = 2a − b .
r
Đường thẳng d / có vectơ chỉ phương u (1;-2;2) nên góc ϕ của 2 đường thẳng
d

d

(Q )

d/

2(5t − 4)(10t + 2)
lim f (t ) = 5 .Ta có Maxf(t)=f( −1 )= 25 ; Min f(t)= f( 4 )=0
f / (t ) =
;
2
2
x →±∞
(5t − 4t + 2)
5
3
5
4
+)Góc ϕ lớn nhất khi cos ϕ nhỏ nhất ⇔ cos ϕ =0 ⇔ ϕ =90 0 khi t= hay b=5;a=4;c=3
5
uu
r
x −1 y +1 z − 2
=
=
Vậy phương trình đường thẳng d qua A có vectơ ud (4;5;3) là:
.
4
5
3
5
−1
+)Góc ϕ bé nhất khi cos ϕ lớn nhất ⇔ cos ϕ =
khi t= hay b=-5;a=1;c=7
3 3
5

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

18


Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình toạ độ không gian
giảng dạy bộ môn Toán ở trường THPT Hậu Lộc 3 hiện nay. Với cách làm này học
sinh có cách nhìn bài toán cực trị trong hình học giải tích gần với tư duy hình học
không gian hơn không nặng về tính toán nhưng đòi hỏi ở các em tư duy trừu tượng
hơn một chút, định hướng cho các em thấy được dạng quen thuộc, những kỹ năng
cần thiết. Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì nhìn vào bài toán
như vậy các em sẽ định hướng được cách giải, giải nhanh và thành thạo .
Trong năm học 2012 -2013, 2013 -2014, 2014 -2015, 2015-2016 tôi đã thực
nghiệm đề tài của mình ở các lớp 12A6,12B3 và 12C2, 12A1 kết quả cụ thể như
sau :
Loại
Loại
Loại
Loại
Loại
trung
giỏi
khá
yếu
Đối tượng
bình

C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Trên đây là một số kinh nghiệm thực tiễn của bản thân qua nhiều năm giảng dạy
môn toán phần cực trị trong hình toạ độ không gian. Với đề tài này tôi hy vọng sẽ
giúp cho các em học sinh biết cách áp dụng và giải quyết các bài toán có liên quan
đến cực trị hình học trong hình toạ độ không gian và cải tiến phương pháp học tập.
Trong quá trình thực hiện đề tài chắc chắn chưa được hoàn hảo, không thể tránh
khỏi những thiếu sót về cấu trúc, về ngôn ngữ và cả về hình thức khoa học. Tôi rất
mong được sự góp ý chân tình của các bạn đồng nghiệp, của hội đồng khoa học để
đề tài những năm học tới được tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi mới giáo dục.
Vì vậy để đề tài thu được kết quả tốt và triển khai sâu rộng cho các em HS thì
Tôi có một vài kiến nghị đề xuất như sau:
Đối với cán bộ quản lý nhà trường cần đầu tư thêm nhiều tài liệu tham khảo cho
giáo viên, có thư viện phong phú để HS tham gia nghiên cứu tài liệu, có kinh phí hỗ
trợ khuyến khích động viên giáo viên.
Mở rộng hội nghị khoa học để trao đổi kinh nghiệm dạy và học, tìm cách áp
dụng đề tài nghiên cứu một cách có hiệu quả.
Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về chuyên
môn, xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải xem sinh
hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự học tập lẫn
nhau giúp nhau cùng tiến bộ.

Giáo viên :

Lê Thị Hạnh

-

Trường THPT Hậu Lộc 3

19