CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.
Cho hai hàm số y = f ( x) và y = g( x) có tập xác định lần lượt là D f và D g . Đặt
D = D f Ç Dg . Mệnh đề chứa biến " f ( x) = g( x) " được gọi là phương trình một
ẩn ; x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D gọi là tập xác định của phương trình.
x0 Î D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) nếu " f ( x0) = g( x0 ) " là
mệnh đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình f ( x) = g( x) là các hoành độ giao điểm
đồ thị hai hàm số y = f ( x) và y = g( x) .
2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả.
a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x) = g1 ( x) và
f2 ( x) = g2 ( x) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu
là f1 ( x) = g1 ( x) Û f2 ( x) = g2 ( x) .
• Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm của phương trình gọi là
phép biến đổi tương đương.
b) Phương trình hệ quả: f2 ( x) = g2 ( x) gọi là phương trình hệ quả của
phương trình f1 ( x) = g1 ( x) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của
phương trình f1 ( x) = g1 ( x) .
Kí hiệu là f1 ( x) = g1 ( x) Þ f2 ( x) = g2 ( x)
c) Các định lý:
Định lý 1: Cho phương trình f ( x) = g( x) có tập xác định D ; y = h( x) là hàm
số xác định trên D . Khi đó trên D , phương trình đã cho tương đương với
phương trình sau


1) f ( x) + h( x) = g( x) + h( x)
2) f ( x) .h( x) = g( x) .h( x) nếu h( x) ¹ 0 với mọi x Î D
Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương
trình hệ quả của phương trình đã cho.


1
xác định là f ( x) ¹ 0
f ( x)

•

1

•

f ( x)

xác định là f ( x) > 0

2. Các ví dụ điển hình.
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a) x +

5
=1
x - 4
2

A. x¹ 0

B. x ¹ ±2

C. x¹ - 2



C. x³

5
2

x +1
x - 3x + 2
3

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS


ìï x < 2
A. ïí
ïïî x ¹ - 1

ìï x < 4
B. ïí
ïïî x ¹ 1

ìï x < 2
C. ïí

ìï 4- 2x ³ 0
ïí
Û
ïïî x3 - 3x + 2 ¹ 0

x£ 2
ïì
ïí
ïï ( x- 1) ( x2 + x- 2) ¹ 0
ïî

ìï
x£ 2
ï
Û í
Û
2
ïï ( x- 1) ( x- 2) ¹ 0
ïî

ïìï x £ 2
ïíï x ¹ 1 Û
ïï
ïïî x ¹ 2

ì
ïíï x < 2
ïïî x ¹ 1

Soạn tin nhắn

C. S= Æ

ïì
D. S = ïí
ïîï

5ü
ïï
ý
3ïþ
ï

B. S = { 3}

C. S= Æ

ïì
D. S = ïí
ïîï

5ü
ïï
ý
3ïþ
ï

C. S= Æ

ïì
D. S = ïí

( x- 3) ( 5ïì 3ïü
A. S = ïí ïý
ïîï 4ïþ
ï

3x) + 2x = 3x- 5 + 4
B. S = { 3}

Lời giải:
ìï
ï
ïìï 4x - 3³ 0 ïï x ³
Û í
a) Điều kiện xác định của phương trình là í
ïîï 3- 4x ³ 0 ïï
ïï x £
ïî
Thử vào phương trình thấy x=

3
4 Û x= 3
3
4
4

3
thỏa mãn
4

ïì 3ïü


Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện
Vậy tập nghiệm của phương trình là S= Æ
2
ìï
ï ( x- 3) ( 5- 3x) ³ 0
d) Điều kiện xác định của phương trình là í
(*)
ïï
3
x
5
³
0
ïî

Dễ thấy x= 3 thỏa mãn điều kiện (*).
ìï
ï
ìï 5- 3x ³ 0 ïï x £
ï
Û í
Nếu x ¹ 3 thì (*) Û í
ïïî 3x- 5³ 0 ïï
ïï x ³
ïî

5
3 Û x= 5
5

x - x- 1
2

A. x³ 2

B. xÎ Æ

ïìï x ³ 3
ï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

B. xÎ Æ

ïìï x ³ 3
ï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

D. x ¹

B. xÎ Æ

ìï x ³ 3
ïï
C. ïí x ¹ 1

2


Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS

A. x³ 2

ïìï x ³ 3
ï
C. ïí x ¹ 1
ïï
ïïî x ¹ 2

B. xÎ Æ

D. x ¹

1± 5
2

Lời giải:
Bài 3.0: a) ĐKXĐ: x2 - x- 1¹ 0 Û x ¹



C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë


b)

- x2 + x- 1+ x = 1
A. x³

c)

B. xÎ Æ

C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2
ë

C. x= 2

éx = 1
D. ê
êx = 2

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
Lời giải:
Bài 3.1: a) ĐKXĐ: x³

3
3
. Dễ thấy x= là nghiệm của phương trình
4
4
2

æ 1ö
3
b) ĐKXĐ: - x + x- 1³ 0 Û - ç
x- ÷
- ³ 0 Û xÎ Æ
÷
ç
÷
ç 2ø 4
è
2


1. Phương pháp giải.

Soạn tin nhắn
“Tôi muốn đăng ký tài liệu, đề thi file word môn
Hóa”
Rồi gửi đến số điện thoại

Sau khi nhận được tin nhắn chúng tôi sẽ tiến hành
liên lạc lại để hỗ trợ và hướng dẫn
GDSGDSGDSGFSDFGDSGSDGSDGDS
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình
tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số
phép biến đổi thường sử dụng
• Cộng (trừ) cả hai vế của phương trình mà không làm thay đổi điều kiện
xác định của phương trình ta thu được phương trình tương đương
phương trình đã cho.
• Nhân (chia) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm thay
đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được phương trình tương
đương với phương trình đã cho.
• Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả
của phương trình đã cho.


• Bình phương hai vế của phương trình(hai vế luôn cùng dấu) ta thu được
phương trình tương đương với phương trình đã cho.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) 1+

1

x + 3(x4 - 3x2 + 2) = 0
A.1 nghiệm duy nhất
C. 3 nghiệm

d)

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm

x - 1(x2 - x- 2) = 0
A.1 nghiệm duy nhất
C. 2 nghiệm

B. vô nghiệm.
D. 5 nghiệm
Lời giải:

ìï
x¹ 3
Û
a) ĐKXĐ : ïí 2
ïîï x - x- 6 ¹ 0

ìï x ¹ 3
ïí
ïîï x ¹ - 2

Với điều kiện đó phương trình tương đương với
1+


)
ê
ë(

é x =- 3
ê
êx2 - 1= 0 Û
ê
ê2
ê
ëx - 2 = 0

éx =- 3
ê
êx = ±1
ê
ê
ê
ëx = ± 2

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là
x =- 3, x = ±1 và x= ± 2 .
ïì x ³ 0
Û
d) ĐKXĐ: ïí
ïï x - 1³ 0
î

ìï x ³ 0
Û x³ 1

b) . x2 - 3x + 4 = 8- 3x .
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 5 nghiệm

c) 2x + 1 = x- 2
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 2 nghiệm

D. 5 nghiệm

d) 2x +1 = x- 1
A.1 nghiệm duy nhất

B. vô nghiệm.

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm
Lời giải:

ìï 2x - 3³ 0
a) ĐKXĐ: ïí 2

æ 3ö
7
b) ĐKXĐ: x - 3x + 4³ 0 Û ç
x- ÷
÷ + ³ 0 (luôn đúng với mọi x )
ç
ç
÷ 4
è 2ø
2

Bình phương hai vế của phương trình ta được
2

x2 - 3x + 4 = ( 8- 3x) Û x2 - 3x + 4 = 9x2 - 48x + 64


8x2 - 45x + 60 = 0 Û x =

45± 105
16

Thay vào phương trình ta thấy chỉ có x =

45-

105
và đó là nghiệm duy nhất
16


Thử vào phương trình ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x; y) với x là số nguyên dương của phương trình sau
20- 8x + 6x2 - y2 = y 7- 4x
æ 3+ 2 3ö
÷
ç2;
÷
A. ç
÷
ç
÷
ç
2
÷
è
ø

æ 1+ 3ö
÷
ç3;
÷
B. ç
÷
ç
÷
ç
2
÷
è



Nu phng trỡnh cú nghim ( x; y) thỡ x phi tha món
ỡù
20
ù
ùỡù 20- 8x 0 ùù x Ê 8
7
ớ
xÊ
ớ
ùợù 7- 4x 0 ùù
7
4
ùù x Ê
4
ùợ
Vỡ x l s nguyờn dng nờn x= 1
Thay x = 1 vo phng trỡnh ta c

12 + 6- y2 = y 3 (*)

iu kin xỏc nh ca phng trỡnh (*) l 6- y2 0
(*) ị

6- y2 = 3( y - 2) ị 6- y2 = 3( y - 2)

ị 4y2 - 12y + 6 = 0 ị y =

2


B. m= 4

C. m= 2

D. m= 3

3
2
b) 2x2 + mx- 2 = 0 (3) v 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x- 4 = 0 (4)

A. m= 1

B. m= 4

C. m= 2
Li gii:

a) Gi s hai phng trỡnh (1) v (2) tng ng
ộ
x=1
Ta cú ( 1) ( x- 1) ( mx- m+ 2) = 0 ờ
ờmx- m+ 2 = 0
ở

D. m= 3


Do hai phương trình tương đương nên x= 1 là nghiệm của phương trình (2)
Thay x= 1 vào phương trình (2) ta được

ê
ëx = 1
2

éx = 1
ê
Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + 1= 0 Û ê 1
êx =
ê
ë 2
2

Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy m= 4 thì hai phương trình tương đương.
b) Giả sử hai phương trình (3) và (4) tương đương
3
2
2
Ta có 2x +( m+ 4) x + 2( m- 1) x- 4 = 0 Û ( x + 2) ( 2x + mx- 2) = 0

é
x =- 2
Û ê 2
ê2x + mx- 2 = 0
ë
Do hai phương trình tương đương nên x=- 2 cũng là nghiệm của phương
trình (3)
2

Thay x=- 2 vào phương trình (3) ta được 2( - 2) + m( - 2) - 2 = 0 Û m= 3

=
2- x 4- x2

A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm
b)

2x
3- x

=

1
3- x

-

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

B.2 nghiệm

C.3 nghiệm D.Vô

x + 1(x2 - 16) = 0
A.1 nghiệm duy nhất
nghiệm

d)

ïïî x - 4 ¹ 0
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
éx = 0
4- x2 + x + 2 = 6 Û x2 - x = 0 Û ê
êx = 1(thỏa mãn)
ë
b) ĐKXĐ: x< 3
pt Û 2x = 1- ( 3- x) Û x =- 2 (thỏa mãn)
c) ĐKXĐ: x³ - 1
é x +1 = 0
Phương trình tương đương với ê
êx2 - 16 = 0 Û
ê
ë

éx =- 1
ê
êx = ±4
ë

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x =- 1 và x = 4 .
ïì x < 3
d) ĐKXĐ: ïí
. PT Û x = 3 (không thỏ mãn điều kiện)
ïïî x ¹ - 1
Bài 3.3: Tìm số nghiệm của phương trình
a)

x- 2 = x2 - 8
A.1 nghiệm duy nhất

D.Vô


nghiệm
Lời giải:
Bài 3.3: a) x = 3 b) x = 2 c) x = 0 d) x = 3
Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương
2
a) x2 + mx- 1= 0 (1) và ( m- 1) x + 2( m- 2) x + m- 3= 0 (2)

A. m= 1

B. m=- 1

C. m= 2

D. m= Æ

2
2
2
2
b) ( 2m- 2) x - ( 2m+ 1) x + m + m- 17 = 0 (3) và ( 2- m) x + 3x + 15- m = 0 (4)

A. m= 4

B. m=- 4

C. m= 2


trình (1)
Thay x=- 1 vào phương trình (1) ta được m= 0
Với m= 0 thay vào hai phương trình ta thấy không tương đương.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.
b) Cộng vế với vế để khử m2 ta thu được phương trình mới có thể nhẩm
nghiệm
Kết quả m= 4 thì hai phương trình tương đương.
§2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa.


• Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b= 0 với a, b
là số thực và a¹ 0
• Phương trình bậc hai một ẩn phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 với
a, b, c là số thực và a¹ 0
2. Giải và biện luận phương trình ax + b= 0 (1).
b
b
do đó phương trình có nghiệm duy nhất x =a
a
• Nếu a= 0 : phương trình (1) trở thành 0x + b= 0
Th1: Với b= 0 phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
• Nếu a¹ 0 : ( 1) Û x =-

Th2: Với b¹ 0 phương trình vô nghiệm
3. Giải và biện luận phương trình ax2 + bx + c = 0
• Nếu a= 0 : trở về giải và biện luận phương trình dạng (1)
• Nếu a¹ 0 : D = b2 - 4ac



Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S =-

b
c
,P=
khi đó
a
a

+ Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïî S > 0
ïìï D ³ 0
ï
+ Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ïí P > 0
ïï
ïïî S < 0
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG
ax + b= 0 .
1. Phương pháp giải.
Để giải và biện luận phương trình dạng ax + b= 0 ta dựa vào kết quả đã nêu ở
trên.
Lưu ý:
é a¹ 0

A. m= 3 : Phương trình vô nghiệm
B. m=- 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
C. m¹ 3 và m¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3

D.Cả A, B, C đều đúng
Lời giải:
a) Phương trình tương đương với ( m- 1) x = m- 2
+ Với m- 1= 0 Û m= 1: Phương trình trở thành 0x=- 1
Suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với m- 1¹ 0 Û m¹ 1 : Phương trình tương đương với x =
Kết luận
m= 1 : Phương trình vô nghiệm

m¹ 1 : Phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
b) Ta có m( mx- 1) = 9x + 3 Û ( m - 9) x = m+ 3

m- 2
m- 1

m- 2
m- 1


+ Với m2 - 9 = 0 Û m= ±3 :
•


•

Khi m= 3: Phương trình trở thành 0x= 5 suy ra phương trình vô
nghiệm
• Khi m=- 2 : Phương trình trở thành 0x= 0 suy ra phương trình
nghiệm đúng với mọi x Î R
ém¹ 3
2
+ Với m - m- 6 ¹ 0 Û ê
êm¹ - 2: Phương trình tương đương với
ë
x=

m+ 2
1
=
.
m - m- 6 m- 3
2

Kết luận:
m= 3 : Phương trình vô nghiệm
m=- 2 : Phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R

m¹ 3 và m¹ - 2 : Phương trình có nghiệm x =

1
m- 3



Khi a= b : Phương trình trở thành 0x= 0 suy ra phương trình nghiệm
đúng với mọi x Î R
• Khi a=- b và b¹ 0 : Phương trình trở thành 0x =- 2b3 suy ra phương
trình vô nghiệm
(Trường hợp a=- b,b= 0 Þ a= b= 0 thì rơi vào trường hợp a= b )
+ Với a2 - b2 ¹ 0 Û a¹ ±b: Phương trình tương đương với x =
Kết luận
a= b: phương trình nghiệm đúng với mọi x Î R
a=- b và b¹ 0 : phương trình vô nghiệm

a3 - b3 a2 + ab+ b2
=
a+ b
a2 - b2


a¹ ±b: Phương trình có nghiệm là x =

a2 + ab+ b2
a+ b

2
b) Ta có b( ax- b+ 2) = 2( ax + 1) Û a( b- 2) x = b - 2b+ 2

éa= 0
+ Với a( b- 2) = 0 Û ê
êb= 2
ë
• Khi a= 0 : Phương trình trở thành 0x = b2 - 2b+ 2 , do
2


1± 7
8

B. m¹

1± 17
2

C. m¹

1± 17
8

D. m¹

2± 17
8

Lời giải:
a) Ta có (m2 - m)x = 2x + m2 - 1Û (m2 - m- 2)x = m2 - 1
ìï m¹ - 1
2
Phương trình có nghiệm duy nhất Û a¹ 0 hay m - m- 2 ¹ 0 Û ïí
ïïî m¹ 2