Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
Mục lục Trang
Mục lục...1
A. Đặt vấn đề .2
I. Lời nói đầu....2
II.Thực trạng của vấn đề...2
1. Thực trạng...2
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên.....2
B. Giải quyết vấn đề4
I. Các giải pháp thực hiện.4
Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình.4
1. Đại cơng về phép biến hình..4 2. Phép chiếu
theo phơng

v
lên đờng thẳng .5
3. Phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng..7
Chơng 2: Các phép dời hình11
1.Khái niệm phép dời hình11
2.Một số phép dời hình thờng gặp...11
2.1.Phép đối xứng trục.11
2.2.phép quay16
Phụ lục..20
C. kết luận...21
1. Kết quả nghiên cứu.21
2. Kiến nghị, đề xuất...24
Tài liệu tham khảo25
1
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
A. đặt vấn đề
I. lời nói đầu

xứng trục (Với trục đối xứng là Ox hoặc Oy), không trình bày biểu thức tọa độ
của phép quay, trong SGV Hình Học nâng cao có nói đến biểu thức tọa độ của
phép đối xứng trục đi qua gốc tọa độ, nhng cha nói rõ cách xác định hay giá trị
của cos

và sin

. Ngoài ra trong giáo trình Toán tập 7 của tác giả Jean Marie
Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ của phép đối xứng
trục, nhng việc áp dụng nó vào trong chơng trình THPT không đơn giản. Cha đề
cập đến biểu thức tọa độ của phép quay.
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên cha đáp ứng đợc nhu cầu tìm tòi
sáng tạo của học sinh và giáo viên, cha tiếp cận đợc với Hình Học cao cấp và
Toán học hiện đại, một số chỗ còn cha nói lên rõ đợc bản chất (cốt lõi) của vấn
đề (Định lí thì không đợc nêu, còn hệ quả của nó thì đợc phát biểu thành định
2
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
lí), đặc biệt là cha tiếp cận đợc với xu hớng thi trắc nghiệm môn Toán. Chẳng
hạn ta xét một tình huống ''Tìm ảnh d' của đờng thẳng d: 2x + y - 2 = 0 qua
phép tịnh tiến theo véc tơ

v
= (3;-1)''. Thông thờng (theo phơng pháp cũ) để
giải quyết tình huống này ta làm nh sau:
+Lấy M(1;0) thuộc d và xác định ảnh M' = T
v
(M):



dạng tổng quát ở định lí 1 nh sau:
*định lí 1
Cho

v
= (a; b) và đờng thẳng

: Ax + By +C = 0. Khi đó T
v
biến

thành đờng thẳng
'

có phơng trình :
'

: (

) -

v
.

n
= 0
(

) - là vế trái của đờng thẳng


Từ thực trạng trên tôi mạnh dạn tìm tòi, nghiên cứu và đa ra sáng kiến với
mục tiêu nghiên cứu sâu hơn về các phép biến hình trong mặt phẳng dới góc độ
của hình học sơ cấp, đặc biệt là hình học giải tích, véc tơ và tọa độ trong mặt
phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dới góc độ
của hình học cao cấp hay toán học hiện đại . Trong đề tài này chúng ta cung cấp
một số kiến thức mới bổ xung về các phép biến hình trong mặt phẳng, đa ra một
số phơng pháp giải toán, rèn luyện t duy lôgic, t duy trừu tợng, tiếp cận với ph-
ơng pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo trong học tập, nghiên cứu của
giáo viên và học sinh trong đó có các ví dụ, các bài tập vận dụng nhằm minh
họa hay rèn luyện những kĩ năng nhất định. Đặc biệt có thể đáp ứng với nhu cầu
đổi mới phơng pháp dạy và học trong xu hớng tiếp cận với hình thức thi trắc
nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đúng đắn và chính xác các bài toán
với thời gian mỗi câu rất ngắn.
3
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
b. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện
Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng ta cần nắm đợc các kiến thức cơ
bản, tơng đối thành thạo những kĩ năng nhất định trong chơng trình Hình Học
10 (Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD 2006). Từ đó chúng ta đa ra các
bài toán nhỏ hay các ví dụ minh họa hay dẫn dắt tới các khái niệm, định nghĩa,
định líđợc trình bày trong các chơng 1 và chơng 2. Trong mỗi chơng có các
bài tập tự giải theo các phơng pháp đã nêu trong đề tài (có thể giải theo phơng
pháp cũ để kiểm chứng).
chơng 1: đại cơng về phép biến hình
1.đại cơng về phép biến hình
1.1.Ví dụ mở đầu
Trong mặt phẳng cho một đờng thẳng

cố định và

lên đờng thẳng

.Ta có thể kí hiệu là:

v
F
(M) = M.
Ví dụ 2
Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu

v
là véc tơ pháp tuyến của

thì ta gọi
phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng

( Còn gọi là
phép chiếu trực giao). Kí hiệu là:

F
M


M'
*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình
Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M=F(M) với M

H} gọi là ảnh
của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H.

lên đờng thẳng
Trong ví dụ mở đầu ta mô tả về phép chiếu theo phơng

v

0
lên đờng
thẳng

. Sau đây ta định nghĩa chính xác về phép biến hình này.
2.1.Định nghĩa 3
Trong mặt phẳng cho đờng thẳng

và véc tơ

v

0
không là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

. Phép biến hình
biến mỗi điểm M thành M sao cho:






=
'

M
), ta ký hiệu

(M) = Ax
M
+ By
M
+ C là số thực
khi thay tọa độ của M vào vế trái

;
-Nếu M
0
(x
0
;y
0
) thì
0

= Ax
0
+ By
0
+ C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (

): =

(M): = Ax + By + C .

0
+ at) +B(y
0
+ bt) + C =0

(aa +Bb)t
0
+ (Ax
0
+ By
0
+ C) = 0

t
0
= -
bBaA
CByAx
+
++
00
= -
nv.
0

.
Thay giá trị t
0
vào phơng trình d ta xác định đợc tọa độ giao điểm:
x


n
= aa +Bb

0. Khi đó

v
F
có biểu thức véc tơ là:
vkMM
=
'

(Ia)
trong đó k = -
( )
nv.

, (

) = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định

n
= (A;B) theo phơng trình của

và giữ nguyên nó trong
mệnh đề 1. Chẳng hạn :

: 6x 9y +2 = 0 thì ta lấy

+=
+=
kbyy
kaxx
'
'
(Ib)
trong đó k = -
( )
nv.

, (

) = Ax + By +C và

v
= (a;b).
Ví dụ 1
Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đờng thẳng có phơng trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và

: 2x y + 3 = 0.
Giải
Kí hiệu

v
=
d
u
=(1;-2) và



==
==
2)2(
2
1
1'
2
1
1.
2
1
0'
0
0
y
x
hay d


= (-
2
1
; 2).
*ý nghĩa
Từ nay ta có thêm một phơng pháp mới để giải hệ hai phơng trình bậc
nhất hai ẩn. Nó khác với các phơng pháp đã biết nh: phơng pháp cộng đại số,
(phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp
thế, phơng pháp đồ thị Hiển nhiên mỗi phơng pháp có u điểm và nhợc điểm



0 thì hai đờng thẳng song song tức là hệ
vô nghiệm ; Nếu

v
.

n
= aa +Bb = 0 và
0

= 0 thì hai đờng thẳng trùng nhau,
tức là hệ có vô số nghiệm.
Ngoài ra phần sau ta sẽ có một ứng dụng quan trọng của phép chiếu theo
phơng

v
.
6
Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Xuân Chung
Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đờng thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và

: 4x+5 y -6 = 0.
Giải
Xét

v
=

=
2
7
.Vậy





=+=
=+=
8)2(
2
7
1'
2
23
3.
2
7
1'
0
0
y
x
hay d


= (
2

M
nkMM
(II)
gọi là phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng

. Kí hiệu là:

F
.
*Lu ý : ta thờng vẫn sử dụng H thay cho M
3.2.Biểu thức véc tơ
*Định lí 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

: Ax + By +C = 0. Khi đó

F
biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi:
nkMH
=
(IIa)
trong đó k = -
( )
2
n

, (

) = Ax + By +C.
Chứng minh

= - (

) (3). Nhân vô hớng hai vế của (IIa) với
n
và
so sánh với (3) ta có :
MH
.
n
= - (

)

A(x
H
- x) +B(y
H
- y) = - ( Ax + By +C)

Ax
H
+ By
H
+C=0 suy ra (2) đúng (đpcm).
*Chú ý : Trong định lí 3 chọn

v
=

n


) = Ax + By +C.
Ví dụ 1
Cho điểm M(1;2) và

: 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông
góc H của M trên

.
Giải: Tính giá trị k
0
=-
( )
2
0
n

=-
22
43
12.41.3
+
+
=-
5
2
.

F
biến M(x;y) thành H(x

H(-
5
1
;
5
2
).
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân
đờng cao AH của tam giác.
Giải
Phơng trình đờng thẳng BC:
59
5
24
2


=
+
+
yx



: 2x-3y+19 =0.
M
0



)3.(
13
16
1
13
32
2.
13
16
0
H
H
y
x


H(
13
61
;
13
32

).
3.4.Các hệ quả khác
*hệ quả 2
Hai điểm M
1
và M
2

minh đợc định lí 5 sau đây. Nội dung và ý nghĩa của định lí 5 là : khi biết phơng
trình ba cạnh của tam giác, ta dựa vào véc tơ pháp tuyến để viết đợc phơng trình
đờng phân giác trong của một góc trong tam giác mà không cần giải tìm tọa độ
ba đỉnh để xét dấu.
ký hiệu
Với
a
= (a
1
, a
2
) và
b
= (b
1
, b
2
) ta ký hiệu T =
b
a
=
21
21
bb
aa
= a
1
b
2
-

3
: A
3
x +B
3
y +C
3
=0. Gọi d
1
là đ-
ờng phân giác trong của góc đối diện cạnh

1
. Khi đó
a)Nếu T
1
=
2
1
n
n
.
3
1
n
n
< 0 thì phơng trình d
1
là :
( ) ( )

n
D
n
D
=
.
Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:
Cho D
1
: 3x + 4y 6 = 0 ; D
2
: 4x +3y 1 = 0 ; D
3
: y = 0 . Gọi A = D
1


D
2
;
B = D
2


D
3
; C = D
3



2222
43
643
34
134
+
+
=
+
+
yxyx


d
3
: x + y 1 = 0.
(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phơng trình d
3
theo phơng pháp cũ).

Bây giờ ta chứng minh định lí 5
Gọi A, B, C lần lợt là các đỉnh của tam giác đối diện
với các cạnh D
1
, D
2
, D
3
và d
1

2
A
nu
BD
yy
B
nu
BD
xx
BA
BA
nhân các vế lần lợt với A
1
, B
1
cộng
lại và cộng thêm C
1
, và do B thuộc D
1
ta có:
D
1
(A) = -
)(
.
2
23
1331
BD

.. unun
=
thì khi nhân các vế (a) và (b) ta có:
(D
1
(A))
2
= -
)()(
).(
).).(.(
32
2
32
2131
CDBD
un
unun
> 0

T
1
.D
2
(B)D
3
(C) < 0. (c)
- Ta giả thiết M thuộc d
1
và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng),


D
2
(M)D
3
(M)D
2
(B)D
3
(C) > 0 (e)
9