/>Mục lục Trang
Mục lục ...1
A. Đặt vấn đề .2
I. Lời nói đầu ....2
II.Thực trạng của vấn đề ...2
1. Thực trạng ...2
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên .....2
B. Giải quyết vấn đề 4
I. Các giải pháp thực hiện .4
Chơng 1: Đại cơng về phép biến hình .4
1. Đại cơng về phép biến hình ..4 2. Phép
chiếu theo phơng

v
lên đờng thẳng .5
3. Phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng ..7
Chơng 2: Các phép dời hình11
1.Khái niệm phép dời hình 11
2.Một số phép dời hình thờng gặp ...11
2.1.Phép đối xứng trục.11
2.2.phép quay16
Phụ lục..20
C. kết luận...21
1. Kết quả nghiên cứu .21
2. Kiến nghị, đề xuất ...24
Tài liệu tham khảo25
1
/>A. đặt vấn đề
I. lời nói đầu
Chủ đề về các phép biến hình trong mặt phẳng là một chủ đề rộng của
hình học, bao gồm: đại cơng về các phép biến hình, các phép dời hình (Phép

phép đối xứng trục đi qua gốc tọa độ, nhng cha nói rõ cách xác định hay giá trị
của cos

và sin

. Ngoài ra trong giáo trình Toán tập 7 của tác giả Jean Marie
Monier (NXBGD-2000) có trình bày biểu thức tọa độ đầy đủ của phép đối xứng
trục, nhng việc áp dụng nó vào trong chơng trình THPT không đơn giản. Cha đề
cập đến biểu thức tọa độ của phép quay.
2. Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:
Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên cha đáp ứng đợc nhu cầu tìm tòi
sáng tạo của học sinh và giáo viên, cha tiếp cận đợc với Hình Học cao cấp và
Toán học hiện đại, một số chỗ còn cha nói lên rõ đợc bản chất (cốt lõi) của vấn
đề (Định lí thì không đợc nêu, còn hệ quả của nó thì đợc phát biểu thành định
2
/>lí), đặc biệt là cha tiếp cận đợc với xu hớng thi trắc nghiệm môn Toán. Chẳng
hạn ta xét một tình huống ''Tìm ảnh d' của đờng thẳng d: 2x + y - 2 = 0 qua
phép tịnh tiến theo véc tơ

v
= (3;-1)''. Thông thờng (theo phơng pháp cũ) để
giải quyết tình huống này ta làm nh sau:
+Lấy M(1;0) thuộc d và xác định ảnh M' = T
v
(M):



=
+=


v
= (a; b) và đờng thẳng

: Ax + By +C = 0. Khi đó T
v
biến

thành đờng thẳng
'

có phơng trình :
'

: (

) -

v
.

n
= 0
(

) - là vế trái của đờng thẳng

.
Về phép đối xứng tâm ta có định lí 2
*định lí 2

phẳng, phù hợp với đối tợng học sinh THPT, chúng ta không tiếp cận dới góc độ
của hình học cao cấp hay toán học hiện đại . Trong đề tài này chúng ta cung cấp
một số kiến thức mới bổ xung về các phép biến hình trong mặt phẳng, đa ra một
số phơng pháp giải toán, rèn luyện t duy lôgic, t duy trừu tợng, tiếp cận với ph-
ơng pháp nghiên cứu khoa học, tìm tòi sáng tạo trong học tập, nghiên cứu của
giáo viên và học sinh trong đó có các ví dụ, các bài tập vận dụng nhằm minh
họa hay rèn luyện những kĩ năng nhất định. Đặc biệt có thể đáp ứng với nhu cầu
đổi mới phơng pháp dạy và học trong xu hớng tiếp cận với hình thức thi trắc
nghiệm môn Toán, đòi hỏi phải giải nhanh, đúng đắn và chính xác các bài toán
với thời gian mỗi câu rất ngắn.
3
/>b. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện
Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng ta cần nắm đợc các kiến thức cơ
bản, tơng đối thành thạo những kĩ năng nhất định trong chơng trình Hình Học
10 (Chơng trình chuẩn và nâng cao- NXBGD 2006). Từ đó chúng ta đa ra các
bài toán nhỏ hay các ví dụ minh họa hay dẫn dắt tới các khái niệm, định nghĩa,
định lí đ ợc trình bày trong các chơng 1 và chơng 2. Trong mỗi chơng có các
bài tập tự giải theo các phơng pháp đã nêu trong đề tài (có thể giải theo phơng
pháp cũ để kiểm chứng).
chơng 1: đại cơng về phép biến hình
1.đại cơng về phép biến hình
1.1.Ví dụ mở đầu
Trong mặt phẳng cho một đờng thẳng

cố định và
một véc tơ
v




v
F
(M) = M.
Ví dụ 2
Đặc biệt trong ví dụ mở đầu, nếu

v
là véc tơ pháp tuyến của

thì ta gọi
phép biến hình này là: phép chiếu vuông góc lên đờng thẳng

( Còn gọi là
phép chiếu trực giao). Kí hiệu là:

F
M


M'
*Chú ý: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M gọi là phép đồng nhất.
1.3.ảnh của một hình qua một phép biến hình
Cho một hình H. Tập hợp các điểm {M=F(M) với M

H} gọi là ảnh
của hình H qua phép biến hình F. Kí hiệu F(H) = H.
1.4.Tích của hai phép biến hình
4
/>Cho hai phép biến hình f và g, g(M) = M và f(M) = M. Khi đó phép


0
lên đờng
thẳng

. Sau đây ta định nghĩa chính xác về phép biến hình này.
2.1.Định nghĩa 3
Trong mặt phẳng cho đờng thẳng

và véc tơ

v

0

không là véc tơ chỉ phơng của đờng thẳng

. Phép biến hình
biến mỗi điểm M thành M sao cho:






=
'
'
M
vkMM

(M) = Ax
M
+ By
M
+ C là số thực
khi thay tọa độ của M vào vế trái

;
-Nếu M
0
(x
0
;y
0
) thì
0

= Ax
0
+ By
0
+ C;
-Nếu M(x; y) bất kì thì (

): =

(M): = Ax + By + C .
Bài toán 1
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng d: x = x
0

+ bt) + C =0

(aa +Bb)t
0
+ (Ax
0
+ By
0
+ C) = 0

t
0
= -
bBaA
CByAx
+
++
00
= -
nv.
0

.
Thay giá trị t
0
vào phơng trình d ta xác định đợc tọa độ giao điểm:
x
0
= x
0

0. Khi đó

v
F
có biểu thức véc tơ là:
vkMM
=
'

(Ia)
trong đó k = -
( )
nv.

, (

) = Ax + By +C.
*Chú ý: Ta xác định

n
= (A;B) theo phơng trình của

và giữ nguyên nó trong
mệnh đề 1. Chẳng hạn :

: 6x 9y +2 = 0 thì ta lấy

n
=(6; - 9) mà không lấy


'
'
(Ib)
trong đó k = -
( )
nv.

, (

) = Ax + By +C và

v
= (a;b).
Ví dụ 1
Hãy tìm tọa độ giao điểm của hai đờng thẳng có phơng trình :
d: 2x + y - 1 = 0 và

: 2x y + 3 = 0.
Giải
Kí hiệu

v
=
d
u
=(1;-2) và
n
=(2; - 1) ta có:

v

2)2(
2
1
1'
2
1
1.
2
1
0'
0
0
y
x
hay d


= (-
2
1
; 2).
*ý nghĩa
Từ nay ta có thêm một phơng pháp mới để giải hệ hai phơng trình bậc
nhất hai ẩn. Nó khác với các phơng pháp đã biết nh: phơng pháp cộng đại số,
(phơng pháp Gauss), phơng pháp định thức (phơng pháp Cramer), phơng pháp
thế, phơng pháp đồ thị Hiển nhiên mỗi ph ơng pháp có u điểm và nhợc điểm
riêng và đều phải cho cùng một kết quả, vì về bản chất chúng phải tơng đơng
nhau.
Ưu điểm của phép chiếu theo phơng



v
.

n
= aa +Bb = 0 và
0

= 0 thì hai đờng thẳng trùng nhau,
tức là hệ có vô số nghiệm.
Ngoài ra phần sau ta sẽ có một ứng dụng quan trọng của phép chiếu theo
phơng

v
.
6
/>Ví dụ 2
Tìm giao điểm của hai đờng thẳng : d: 2x +3 y +1 = 0 và

: 4x+5 y -6 = 0.
Giải
Xét

v
=
d
u
=(3;-2) và

n





=+=
=+=
8)2(
2
7
1'
2
23
3.
2
7
1'
0
0
y
x
hay d


= (
2
23
;-8).
*nhận xét
Từ phép chiếu theo phơng


. Kí hiệu là:

F
.
*Lu ý : ta thờng vẫn sử dụng H thay cho M
3.2.Biểu thức véc tơ
*Định lí 4
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho

: Ax + By +C = 0. Khi đó

F

biến M(x;y) thành H có biểu thức véc tơ xác định bởi:
nkMH
=
(IIa)
trong đó k = -
( )
2
n

, (

) = Ax + By +C.
Chứng minh
Ta cần chứng minh hai điều:
MH
cùng phơng với
n

n
và
so sánh với (3) ta có :
MH
.
n
= - (

)

A(x
H
- x) +B(y
H
- y) = - ( Ax + By
+C)

Ax
H
+ By
H
+C=0 suy ra (2) đúng (đpcm).
*Chú ý : Trong định lí 3 chọn

v
=

n
ta có ngay định lí 4.
3.3.Biểu thức tọa độ

Cho điểm M(1;2) và

: 3x + 4y -1 =0. Hãy tìm tọa độ hình chiếu vuông
góc H của M trên

.
Giải: Tính giá trị k
0
=-
( )
2
0
n

=-
22
43
12.41.3
+
+
=-
5
2
.

F
biến M(x;y) thành H(x
H
;y
H

;
5
2
).
Ví dụ 2
Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2;5), C(4;9). Hãy xác định tọa độ chân
đờng cao AH của tam giác.
Giải
Phơng trình đờng thẳng BC:
59
5
24
2


=
+
+
yx



: 2x-3y+19 =0.
M
0


A(0;1) suy ra k
0
=-

1
13
32
2.
13
16
0
H
H
y
x


H(
13
61
;
13
32

).
3.4.Các hệ quả khác
*hệ quả 2
Hai điểm M
1
và M
2
cùng phía đối với đờng thẳng

:

ba đỉnh để xét dấu.
ký hiệu
Với
a
= (a
1
, a
2
) và
b
= (b
1
, b
2
) ta ký hiệu T =
b
a
=
21
21
bb
aa
= a
1
b
2
-
a
2
b

3
y +C
3
=0. Gọi d
1
là đ-
ờng phân giác trong của góc đối diện cạnh

1
. Khi đó
a)Nếu T
1
=
2
1
n
n
.
3
1
n
n
< 0 thì phơng trình d
1
là :
( ) ( )
3
3
2
2

=
.
Chẳng hạn ta xét ví dụ 3 sau đây:
Cho D
1
: 3x + 4y 6 = 0 ; D
2
: 4x +3y 1 = 0 ; D
3
: y = 0 . Gọi A = D
1


D
2
;
B = D
2


D
3
; C = D
3


D
1
. Hãy viết phơng trình đờng phân giác trong của góc
A. (Đề 16 Bộ đề thi tuyển sinh)

134
+
+
=
+
+
yxyx


d
3
: x + y 1 = 0.
(Ta có thể giải tìm tọa độ của B, C rồi viết phơng trình d
3
theo phơng pháp cũ).

Bây giờ ta chứng minh định lí 5
Gọi A, B, C lần lợt là các đỉnh của tam giác đối diện
với các cạnh D
1
, D
2
, D
3
và d
1
là đờng phân giác trong của
góc A.
- Phép chiếu theo phơng
);(

yy
B
nu
BD
xx
BA
BA
nhân các vế lần lợt với A
1
, B
1
cộng
lại và cộng thêm C
1
, và do B thuộc D
1
ta có:
D
1
(A) = -
)(
.
2
23
1331
BD
nu
BABA

= -

1
(A))
2
= -
)()(
).(
).).(.(
32
2
32
2131
CDBD
un
unun
> 0

T
1
.D
2
(B)D
3
(C) < 0. (c)
- Ta giả thiết M thuộc d
1
và khác A (M trùng A thì hiển nhiên mệnh đề đúng),
khi đó: d(M, D
2
) = d(M, D
3