1. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC
1.1.Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho đường thẳng
∆
. Phép biến
hình biến mỗi điểm M thuộc
∆
thành M, mỗi điểmM
không thuộc
∆
thành M’ sao cho
∆
là trung trực của
MM’ gọi là phép đối xứng qua đường thẳng
∆
(gọi tắt phép đối xứng trục). Kí
hiệu là: Đ
∆
.
*Nhận xét 1: Đ
∆
(M) = M’
⇔
Đ
∆
(M’) = M.
Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Khi đó Đ
AC
biến:
A thành A, C thành C, B thành D, D thành B vì AC
⊥

∆
nếu M
∉

∆
(2).Thật vậy: Xét hai trường hợp
- Nếu M
∈
∆
nghĩa là
∆
(M) = 0 suy ra k = 0. Khi đó từ (IIIa)
⇒
M’
≡
M.
- Nếu M
∉
∆
. Từ (IIIa) suy ra (1). Từ k = -
( )
2
n
∆
⇔
k
2
n
= -(
∆

+=
+=
kByy
kAxx
2'
2'
(IIIb)
trong đó k = -
( )
2
n
∆
, (
∆
)=
∆
(M) = Ax + By +C.
(Từ biểu thức véc tơ dễ dàng suy ra biểu thức tọa độ trên)
*Nhận xét 2
-Nếu
∆
≡
Ox có phương trình : y = 0 thì A = 0, B = 1 và k = - y nên từ
(IIIb)
⇒
x’ = x, y’ = - y. Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng Đ
Ox
.
-Nếu
∆

43
12.41.3
+
−+
= -
5
2
.
Đ
∆
biến M(1; 2) thành M(x’; y’)
⇔





−=−=
−=−=
5
6
4.
5
4
2'
5
7
3.
5
4

+−
= - 1.
Đ
d
biến M(1; 5) thành M(x’; y’)
⇔



=−−−=
=−−=
1)2).(2(5'
31).2(1'
y
x

⇔
M’(3; 1).
*ĐỊNH LÍ 2
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho
n
=( A; B). Khi đó Đ
∆
biến véc tơ
u
thành
'u
xác định bởi:
'u
=

rồi nhân vô hướng của biểu thức nhận được với
→
n
(Để ý định nghĩa
λ
) ta có (
'u
+
u
).
n
= 2
u
.
n
- 2
λ
n
2
= 2
u
.
n
- 2
u
.
n
= 0
suy ra (1) được chứng minh.
-Bình phương vô hướng (IVa) ta có:

2
⇒
(2) đúng (đpcm).
Từ cách chứng minh ý (2) của định lí 2 ta có hệ quả sau
*HỆ QUẢ 2
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
(Phép đối xứng trục là một phép dời hình).
Từ nhận xét 1 và hệ quả 1 ta có nhận xét 3 sau đây
*Nhận xét 3
Đ
∆
(M(x; y)) = M’(x’; y’)
⇔
Đ
∆
(M’) = M
⇔



+=
+=
Bkyy
Akxx
'2'
'2'
(IIIc)
trong đó k’ = -
( )
2

∆
1
(M’)- 2
λ
1
.
∆
(M’).
*ĐỊNH LÍ 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
∆
: Ax + By +C = 0 và
đường thẳng
∆
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0. Khi đó Đ
∆
biến
∆
1
thành
∆
’
1

),
n
=( A; B).
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho d: 3x – y + 2 = 0. Hãy viết phương trình
đường thẳng d’ = Đ
Oy
(d). (Xem BT2 SGK HH11 trang 11 NXBGD 2007)
Giải:Ta có phương trình Oy: x = 0,
n
1
=( 3;- 1) ,
n
=( 1; 0)
⇒
λ
1
=
2
1
.
n
nn
= 3.
Vậy theo định lí 3 phương trình d’ = Đ
Oy
(d) là:
2.3(x) – (3x – y + 2) = 0
⇔
d’: 3x + y – 2 = 0.
Ví dụ 5: Hãy tìm các đường thẳng d’

17
14
và
λ
2
=
2
2
.
n
nn
= 1. Do đó theo định lí 3 ta có các phương trình d’
1
và d’
2
là:
d’
1
: 2.
17
14
.(5x + 3y – 4) – (5x + y – 14) = 0
⇔
d’
1
: 55x + 67y + 126 = 0.
d’
2
: 2.1.(5x + 3y – 4) – (5x + 3y + 10) = 0
⇔

(Đề 84- Bộ đề thi tuyển sinh)
Giải: Phương trình đường thẳng BC đi qua B và
⊥
d
1
là:
4(x - 2) +3(y + 1) = 0
⇔
4x + 3y - 5 =0.
Do CA đối xứng với CB qua d
2
nên có phương trình:
2.
22
21
2.31.4
+
+
( x + 2y - 5) – (4x + 3y - 5) =0
⇔
CA: y – 3 = 0.
Do đó CA

d
1
= A(- 5; 3). Từ đó ta có phương trình AB: 4x +7y – 1 = 0.
1.4.Các hệ quả khác
*HỆ QUẢ 3
Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự thẳng hàng giữa chúng.

do đó D = Đ
a
(C).
1.5.Phương pháp giải toán
Để vận dụng phép đối xứng trục trong giải toán ta phải xác định được trục
của phép đối xứng (Đặc điểm là: có sự xuất hiện hoặc tạo ra đường trung trực
của đoạn thẳng). Giả sử
∆
được xác định và
∆
là trung trực của MM’. Khi đó:
M thuộc (H)
⇔
M’ thuộc (H’) =Đ
∆
(H).