Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
TIỂU LUẬN VỀ NHÓM CÁC PHÉP
BIẾN HÌNH
*LỜI GIỚI THIỆU
- Ở trung học phổ thông chúng ta được tìm hiểu về một số phép biến hình như:
phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự,
phép đồng dạng.Trong bài tiểu luận này sẽ giúp chúng ta củng cố lại các kiến
thức kĩ năng cơ bản đã được học trong sách giáo khoa lớp 11 và giới thiệu một
số kiến thức về môn hình cao cấp. Đây cũng chính là cơ sở để xây dựng cấu trúc
nhóm các phép biến hình
Nội dung của bài tiểu luận gồm:
Chương I: Cơ sở lý thuyết
-Phần này tóm tắt lại các kiến thức kĩ năng cơ bản cần nhớ về các phép biến
hình .
-Mối liên hệ giữa các phép biến hình thông qua nhóm các bài toán. Từ đó
xây dựng cấu trúc nhóm các phép biến hình
Chương II: Ứng dụng các phép biến hình trong giải toán.
-Hệ thống lại các dạng toán thường gặp trong giải toán và nêu các phương
pháp chủ yếu để giải
-Đối với mỗi dạng có các bài tập điển hình riêng với từng phép biến hình.
Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực tìm tòi, nhưng chắc chắn không thể tránh
khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các bạn để bài tiểu luận
được hoàn thiện hơn.

*MỤC LỤC
Page 1
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Tên mục Trang
Lời giới thiệu 1
Chương I:Cơ sở lý thuyết 3
I.Phép biến hình 3

1:Định nghĩa
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác
định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
- Kí hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M)
Page 2
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
trong đó M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F
- Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng
nhất
2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng
2.1: Phép dời hình
*Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai
điểm bất kì gọi là phép dời hình.
Nhận xét:
-các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay
đều là phép dời hình.
-phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
cũng là một phép dời hình.
* Các tính chất của phép dời hình:
- Phép dời hình biến 3 điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo
toàn thứ tự giữa các điểm.
- Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc
bằng nó.
- Phép biến hình biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

* Một số tính chất riêng khác:
- Nếu phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một
phép đồng nhất.

Phép tịnh tiến biến vecto thành bằng nó =
Phép tịnh tiến ( ≠)
+ Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d’ song song với d
nếu d không song song với
+ Biến một đường thẳng thành chính nó nếu d song song với
Như vậy, qua phép tịnh tiến theo vecto ≠ một đường thẳng là bất động
khi và chỉ khi d song song với
Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có điểm bất động.
*Biểu thức tọa độ
Page 4
V
M
M'
v
r
≠
0
r
v
r
v
T
r
v
T
r
⇔
v
T
r

d
(M) = M’ ( là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’).
*Tính chất
-Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
-Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành
đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng,biến tam giác thành tam giác
bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.biến đường
tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR)
- Phép đối xứng trục có tính chất đối hợp. Tức là phép đảo ngược của phép
đối xứng trục Đ
d
là chính nó Đ
d
-1
= Đ
d
hay Đ
d o
Đ
d
= Đ
d
2
=e.
Trong đó e là phép đồng nhất của mặt phẳng Euclide E
-Trục của phép đối xứng trục Đ
d
là tập hợp các điểm bất động

=

d: Phép đối xứng tâm:
*Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi
điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi
là phép đối xứng tâm I.
I được gọi là tâm đối xứng.
Kí hiệu: Đ
I
.
Vậy: Đ
I
(M) = M’ =-
*Tính chất
-Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp, nếu M’ =
Đ
I
(M) thì M = Đ
I
(M’). với mọi điểm M của mặt phẳng.
-Phép đối xứng tâm: Đ
I
biến vecto thành vecto đối của nó =-
-Phép đối xứng tâm Đ
I
biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành
một đường thẳng song song với d. phép đối xứng tâm Đ
I
biến một đường thẳng
đi qua tâm thành chính nó.

là phép quay tâm O, góc quay .
Nếu = π thì Q
(O, )
là phép đối xứng tâm O
Vậy: Q
(O, )
(M)=M
*Tính chất:
- Phép quay bảo toàn khoảng cách giũa 2 điểm bất kì
- Phép quay có điểm bất động di động duy nhất là tâm quay
-Phép quay Q
(O;α)
biến một đường thẳng d bất kì thành đường d’ và góc
định hướng giữa d và d’ bằng góc quay ; (d;d’) = +k2
-Phèp đảo ngược Q
-1
(O;α)
của phép quay Q
(O;α)
là một phèp quay có cùng tâm
quay,có góc quay bằng –α
2.2 .Các phép đồng dạng
a: Phép vị tự
Page 7
α
α
α
α
α
α

với d
-Phép vị tự V
(O,k) biến
mọi đường thẳng đi qua tâm O thanh chính nó. Hay
mọi đường thẳng qua O đều bất động. Nói cách khác qua phép vị tự V
(O,k)
dường
thẳng d là đường thẳng bất động khi và chỉ khi d đi qua O
-Cho hai đoạn thẳng song song với các độ dài khác nhau AB song song
A’B’và AB≠A’B’duy nhất phép vị tự V
(O,k)
biến A,B thành A’,B’
Page 8
≠
'OM kOM=
uuuuur uuuur
⇔
'OM kOM=
uuuuur uuuur
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
-Phép vị tự V
(O,k)
có tâm O là điểm bất động duy nhất.
b: Phép đồng dạng:
*Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0)
nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có
M’N’=kMN.
B
A
C

trận trực giao A=
Tức là A
t
. A = I
2
, det A = 1
II.Mối liên hệ giữa các phép biến hình và xây dựng cấu trúc nhóm
các phép biến hình
*Nhóm các phép biến hình.
Nhóm các phép biền hình. Mỗi phép biến hình f của E là song ánh
nên tồn tại phép đảo ngược f
-1,
đó cũng là một song ánh của E, và gọi f
-1
là
song ánh đảo ngược của f, từ đó ta có:
f
o
f
-1
=f
-1
o
f=e
 Tích 2 song ánh là song ánh tích 2 phép biến hình lá một phép
biến hình
Vì vậy tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng cùng với phép lấy
tích lập thành một nhóm gọi là phép biến hình
Dựa vào mối liên hệ giữa các phép biến hình hay các nhóm bài toán
xây dựng ta có thể xây dựng nhóm các phép biến hình sau:

 IJ là đường trung bình của tam giác MM’M”.
 IJ //= MM” => tịnh tiến theo vectơ 2 biến M thành M”.
 Đ
Jo
Đ
I
là phép tịnh tiến theo vectơ 2
Bài toán 1.3: Tích của phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến là phép đối xứng
tâm.
Chứng minh
Page
11
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
V
I
J
M'
M
M"
Giả sử ; Đ
I
: (M) = M’ =>=
 I là trung điểm của MM’
T : (M’) = M” => =
Gọi J là trung điểm MM” => = ”
IJ//= M’M”
Hay Đ
J
: (M) = M”
Vậy: T

Page
12
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
*.Tập hợp phép tịnh tiến cùng với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập thành
một nhóm aben.
Chứng minh;
+Theo chứng minh trên: tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến => phép toán
đóng kín
+ Phép tịnh tiến là phép biến hình nên có tình chất kết hợp.
+ T+T = T
+
= T
+
= T + T
 Phéo toán có tính chất giao hoán
+ Phần tử đơn vị e là phép tịnh tiến theo vecto
+ Phần tử nghịch đảo là phép tịnh tiến theo vecto
Vậy (T,
o
) là nhóm aben
*Tập hợp phép tịnh tiến với đối xứng tâm phép toán lấy tích 2 phép biến
hình lập thành một nhóm.
Chứng minh:
+ Theo chứng minh trên:tích 2 phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến
Đ
Jo
Đ
I
là phép tịnh tiến theo vectơ 2
Đ

: (M’) = M” => = k’ (2)
Thay (1) vào (2) ta được :
 V
(I;k.k’)
: (M) = M”
Page
13
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Vậy V
(I;k’)o
V
(I;k)
= V
(I;k.k’)
KL:Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự.
TH2: Vị tự khác tâm.
Xét phép V
(I;k)
và V
(J;k’)
(k,k’0,1)
+ Nếu k.k’1
M"
M
I
J
O
M'
Xét V
(I;k)


v
T
r
( = .)
KL: tích 2 phép vị tự khác tâm là một phếp vị tự hoặc một phép tịnh tiến.
Bài toán 2.2: Tích của phép vị tự và phép tịnh tiến là phép vị tự
Chứng minh:
Page
14
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
V
M'
M
M"
O
O'
Xét V
(O,k)
: (M)=M’ => =k

v
T
r
(M’)=M” => =
Qua O kẻ d song song với M”M’, d MM”=O’
 OO’ song song với M’M”. theo talet ta có ==k => = k
Hay V
(O’,k)
(M)= M”

= V
(I;k.k’)o
V
(I;k’’)
= V
(I;(k.k’).k”)

= V
(I;k)o
(V
(I;k’)o
V
(I;k’’)
)
+ V
(I;k)o
V
(I;k’)
= V
(I;k.k’)
=V
(I,k’.k)
=V
(I,k’)o
V
(I,k)
=> phép toán có tính chất giao hoán
+ Phần tử đơn vị e = V
(I;1)
=> V

(O,k)
= V
(O’,k)

V
(I;k’)o
V
(I;k)
= V
(I;k.k’)
Page
15
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
T+T = T
+
 Phép toán đóng kín
+ Phép toán có tính chất kết hợp
+Phần tử đơn vị: V
(I,k)o
T = V
(I,k)
=> e = T
+ Phần tử ngịch đảo:
Phần tử ngịch đảo cua V
(I.k)
là V
(I,)
Phần tử ngịch đảo của T là T-
Vậy (
v

16
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
Vậy Đ
bo
Đ
a
là phép tịnh tiến theo vectơ 2
Tích hai phép đối xứng truc có trục song song là phép tịnh tiến.
TH2: a cắt b
a
b
M
O
M'
M"
Giả sử a b = O
Đ
a
: M = M’
 a là đường trung trực của MM’ => OM =
 OM’(1)
Đ
b
:M’ =M”(2)
 b là đường trung trực của M’M” =>OM”=OM’
Từ (1) và (2) suy ra OM = OM” và góc giữa (OM,OM”) = (OM,OM’)+
(OM’,OM”)= 2(a,b)
KL:Tích hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau là phép quay tâm là giao của hai
trục và góc quay bằng 2 lần góc giữa hai hai trục
TH3: a vuông góc b

Mỗi phép tịnh tiến đều có thể bằng vô số cách phân tích thành tích
của 2 phép đối xứng trục có các trục song song (2 trục đối xứng của 2 phép
tịnh tiến và cách nhau một đoạn bằng nửa độ dài tịnh tiến )
Chứng minh
Page
18
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
d
d'
I'
I
M'
M
M"
Giả sử: tịnh tiến theo vectơ ,và hai phép đối xứng qua hai trục song song
d ,d’(Đ
d
,Đ
d’
)
Lấy đường thẳng d nhận là vectơ pháp tuyến
Gọi d’ là ảnh của d qua phếp tịnh tiến theo vectơ
Lẩy M’ tùy ý.Gọi M
1
= Đ
d
(M) , M’ = Đ
d’
(M
d’

(I,α)
(M) .Gọi M” là ảnh của M qua phép đối
xứng trục d ,M
1
là ảnh của M” qua phép đối xứng trục d’.
Gọi J = MM” d ,H = M”M
1
d’ .
Khi đó ta có đẳng thức giữa các góc lượng giác sau:
(IM,IM
1
) = (IM ,IM”) + (IM”, IM
1
)
= 2(IJ,IM”) + (IM”, IH)
= 2(IJ,IH)
= 2 = α = (IM,IM’).
Từ đó suy ra: M’ M
1
.Như vậy M’ có thể xem là ảnh cua M qua sau khi
thực hiện liên tiêp hai phép đối xứng trục qua hai trục d va d’.
Bài toán 3.4:Tích một phép đối xứng tâm và phép đối xứng trục là một phép
đối xứng tâm
Chứng minh
Page
20
Nhóm 1: Tuyền, Ánh, Sen, Phương.
I
d
J

U
W
M1
M"
M
M'
Giả sử: T :(M) = M’
Đ
I :(
(M’)=M”
Thật vậy ;giả sử +,với // d và vuông góc với d.Gọi T và T là phép tịnh tiến theo
vecto :
T = T + T
Ta có ;f = Đ
do
(T + T) =( Đ
do
T + T= Đ
d’o
T) là một phép đối xứng trượt
Ngược lại ;tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến là phép đối xứng trượt
Bài toán 3.6: Tích của một phép đối xứng trục và phép quay là phép đối xứng
trượt
Chứng minh:
d
1
d
2
d
3

f = Đ
o
(Đ
1o
Đ
2
) = (Đ
o
Đ1)
o
Đ
2
= T
o
Đ
2
Vậy f là một phép đối xứng trượt .
Ngược lại: Tích phép quay và phép đối xứng trục là phépđối xứng trượt.
4.Nhóm bài toán 4
Bài toán4.1: Tìm tích hai phép quay
Chứng minh:
Xét các trường hợp sau:
TH1/Quay cùng tâm
β
γ
O
M
M'
M"
Giả sử :Q

3
d
2
β
γ
2
O
1
O
M''
M'
M
M'''
O
2
Phân tích phép quay Q
(O1:
) thành tích hai phép đối xứng trục có trục d
1
và d
2
=>
(d
1
;d
2
) =
Còn phép quay Q
(O2;)
thành tích hai phép đối xứng trục có trục d

1
d
3
=> .=>
Gọi O=d
13

Thì f= Đ
d3o
Đ
d1
là phép quay tâm Ogóc quay 2(d
1
,d
3
)=2((d
1;
d
2
)+(d
2
,d
3
))=2()= +
*= 2k
d
1
d
3
d

2
có trục
d
1
//d
2
(theo chứng minh trên)
Tương tự ta phân tích phép quay thành 2 phép đối xứng trục Đ
2
và Đ
3
có
trục d
2
cắt

d
3
(theo chứng minh trên)
Ta có : Q
o
T = (Đ
2o
Đ
1
)
o
(Đ
3o
Đ

là tâm quay J của Q
(J;α)
= Q
(I,α)o
T
Ngược lại ; Tích của một phép quay và môt phép tịnh tiến là một phép quay.
Từ nhóm bài toán 4 ta xây dựng được cấu trúc nhóm sau:
*Tập hợp phép quay cùng tâm với phép toán lấy tích 2 phép biến hình lập
thành một nhóm.
Chứng minh:
+ Theo chứng minh trên ta có: Q
(O;α) o
Q
(O;β)
= Q
(O;α +β)
=> phép toán đóng kín
+ Tính chất kết hợp: (Q
(O;α) o
Q
(O;β)
)
o
Q
(O;)
= Q
(O;α +β)o
Q
(O;)
= Q

=> Q
(O;α)o
Q
(O;0 )
= Q
(O;α)
+ Phần tử nghịch đảo:
(O,α)
đềungịch dảo Q
(O;-α)
=> Q
(O;α)o
Q
(O;-α)
= Q
(O;0)
= e
Vậy (Q
(O,) ,
o) là nhóm aben
Page
25