PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ
TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Giải bài toán bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9
Môn: Toán học
Người viết: Bùi Nhật Tuynh
Phó hiệu trưởng – THCS Đình Cao

Năm học: 2013 - 2014

3


XÁC NHẬN CỦA ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG: THCS ĐÌNH CAO
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
HIỆU TRƯỞNG

Nguyễn Văn Hạnh

................................................................................................................................

XÁC NHẬN CỦA ĐỒNG KHOA HỌC
PHÒNG GD&ĐT PHÙ CỪ
Tổng điểm:.................. Xếp loại:....................
TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC

4

giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình là 6 tiết nên bản thân giáo
viên và học sinh cũng chưa có sự tìm hiểu một cách thấu đáo, sách vở tài liệu tham
khảo ở các trường về dạng bài tập này cũng còn thiếu.
Từ một vài kinh nghiệm của bản thân khi giảng dạy “Giải bài toán bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán lớp 9” đã thôi
thúc tôi ý tưởng trình bày sáng kiến của mình để cùng trao đổi kinh nghiệm với các
đồng nghiệp trong quá trình dạy học môn Toán.
b, Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
- Là giáo viên giảng dạy nhiều năm môn Toán và hiện nay là hiệu phó phụ trách
chuyên môn tôi nhận thấy học sinh thực sự lúng túng khi giải bài toán đố bằng cách
lập phương trình và hệ phương trình . Nếu cho sẵn một phương trình (phương trình
bậc nhất thông thường , phương trình chứa ẩn ở mẫu , phương trình tích …) để các
6


em giải , hầu hết học sinh đều thực hiện được, nhưng khi phải giải bài toán đố bằng
cách lập phương trình và hệ phương trình các em phải đứng trước khá nhiều đại lượng
ẩn giấu sau các cách biểu hiện bằng các khái niệm ngoài toán học của đề bài nên các
em thường bị bối rối không giải được . Loại toán này có nhiều dạng khác nhau và sau
khi đọc đề một bài toán đố – với cách diễn đạt thường là rối rắm – cho đến khi lập
được một phương trình của bài toán là một vấn đề rất khó khăn đối với học sinh
trường chúng tôi .
- Với sự hỗ trợ của SGK - SBT và thầy cô, bằng những phương pháp hướng
dẫn , gợi ý thông thường HS không thể nào nắm được mối liên hệ bản chất toán học
của bài toán . Do đó , sau khi đặt ẩn số những đại lượng liên quan đến ẩn số thường
bị các em diễn đạt không chính xác hoặc sai hoàn toàn. Phải chăng, các em thiếu một
cơ sở lý luận để nhìn vào là nhận ra ngay , thiếu một chỗ dựa vững chắc để giúp mình
tự suy luận .
- Vấn đề tiếp theo là cách sắp xếp các bước trong bài giải . Khi đã đặt xong ẩn
số , các em rất lúng túng không biết đại lượng nào cần biểu thị trước , đại lượng nào

thể không liên hệ gì với vật lí cả.”. Sự phát triển của các khoa học đã chứng minh lời
tiên đoán của C.Mac (K. Marx): “Một khoa học chỉ thực sự phát triển nếu nó sử dụng
được phương pháp của toán học.”.
Mục tiêu cơ bản của Giáo dục nói chung, của Nhà trường nói riêng là đào tạo
và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay.
Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy
học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết
vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các
phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh.
Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự giác, tích cực tìm ra những
phương pháp dạy học mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực,
tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn học có
tính đặc thù cao là môn Toán.
Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa
học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc
biệt là môn Toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu
kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập
môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy
nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một
cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất.
Chương trình môn Toán ở bậc THCS rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội
nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình
học tập là phương trình. Ngay từ những ngày mới cắp sách đến trường, học sinh đã
8


được giải phương trình. Đó là những phương trình rất đơn giản dưới dạng điền số
thích hợp vào ô trống và dần dần cao hơn là tìm số chưa biết trong một đẳng thức và

với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các em mới được
học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình, hệ phương trình. Xuất
phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao. Nhiều em nắm được lý
thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được. Do vậy
việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm
lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy,
đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy
cần phải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu
hỏi và tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung
tư tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó
khăn và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Giải bài toán bằng cách lập phương
trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh cách lập
phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách kỹ
càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận.
Việc hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải toán phù hợp với từng dạng
bài là một vấn đề quan trọng, chúng ta phải tích cực quan tâm thường xuyên, không
chỉ giúp các em nắm được lý thuyết mà còn phải tạo ra cho các em có một phương
pháp học tập cho bản thân, rèn cho các em có khả năng thực hành. Nếu làm được điều
đó chắc chắn kết quả học tập của các em sẽ đạt được như mong muốn.
b, Các biện pháp tiến hành và thời gian tạo giải pháp.
- Điều tra, theo dõi thực tế lớp học.
- Nghiên cứu tài liệu (SGK-Sách tham khảo – các đề thi…).
- Vận dụng thực hành trong giảng dạy.
- So sánh, tổng kết, rút kinh nghiệm.
Nhằm giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán “giải bài toán bằng cách
lập phương trình” để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán THCS đều
phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng.
Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng
lẻ. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được

2. Giải pháp của đề tài.
2.1 Phân tích, tìm hiểu dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình và
hệ phương trình”
Từ những khó khăn cơ bản của học sinh cũng như những yếu tố khách quan
khác, tôi đã cố gắng tìm ra những giải pháp khắc phục nhằm đạt được hiệu quả cao
trong công tác. Nắm bắt được tình hình học sinh ngại khó khi giải bài toán bằng cách
lập phương trình nên tôi đã đưa ra các dạng bài tập khác nhau để phân loại cho phù
hợp với khả năng nhận thức của từng đối tượng. Các bài tập ở dạng từ thấp đến cao để
11


các em nhận thức chậm có thể làm tốt những bài toán ở mức độ trung bình, đồng thời
kích thích sự tìm tòi và sáng tạo của những học sinh khá, giỏi.
Bên cạnh đó tôi thường xuyên hướng dẫn, sửa chữa chỗ sai cho học sinh, lắng
nghe ý kiến của các em. Cho học sinh ngoài làm việc cá nhân còn phải tham gia trao
đổi nhóm khi cần thiết. Tôi yêu cầu học sinh phải tự giác, tích cực, chủ động, có trách
nhiệm với bản thân và tập thể.
Mặc dù khả năng nhận thức và suy luận của học sinh trong mỗi lớp chưa đồng
bộ nhưng khi giải bài toán bằng cách lập phương trình tất cả đều phải dựa vào một
quy tắc chung: Đó là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình. Cụ thể như
sau :
Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau
- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)
- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn
và phù hợp.
Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm
của hệ phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi

một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0.
Giải :
Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x (ĐK : x ∈ N , 0 < x ≤ 9 )
chữ số hàng đơn vị của số cần tìm là y (ĐK : y ∈ N , 0 < y ≤ 9 )
Theo đề bài ta có :
Số ban đầu cần tìm là : xy = 10 x + y
Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx = 10 y + x
Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :
− x + y = 7
( 10 y + x ) − ( 10 x + y ) = 63
⇔

x + y = 9
( 10 x + y ) + ( 10 y + x ) = 99

13


x = 1

Giải hệ ta được : 
y = 8
Vậy số ban đầu cần tìm là : 18
x = 1

Sau khi tìm ra 
, giáo viên lưu ý học sinh đối chiếu với điều kiện ban đầu
y = 8
của đề bài xem đã thỏa mãn các điều kiện chưa.
Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.

+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc
Ta có bảng sau :
Công việc
Đội A

1

Đội B

1

Cả hai
đội

Năng suất
1
x
1
y

Thời gian
x ngày (x > 0)
y ngày (y > 0)

1 1 1
+ =
x y 24

1



Cả hai đội

1

Hệ PT

x+ y=

Thời gian
1
ngày (x > 0)
x
1
ngày (y > 0)
y

1
24

24 ngày

1

 x + y = 24

x = 3 .y

2


Vận tốc (km/h)
-

Đi chậm

x

35 km/h

Đi nhanh

x

50 km/h

Thời gian (giờ)
y (y > 0)
x
giờ
35
x
giờ
50

x
 35 + 2 = y

 x −1 = y
 50


Nhưng nếu ta chọn ẩn số như sau :
Gọi số chân gà là x ( x ∈ Z + ,0 < x < 100 ) và số chân chó là y ( y ∈ Z + ,0 < y < 100 )
 x + y = 100

Theo đề ra ta có hệ phương trình :  x y
 2 + 4 = 36

Nếu ta giải quyết bài toán theo hướng trên thì việc giải hệ phức tạp hơn, dễ có sai
lầm hơn.
Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học.
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lập
luận dựa vào các dữ kiện của đề bài. Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải
có thứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau. Giữa các bước
lập luận biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau,

17


bước sau là sự kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau
tiếp nối. Không nên diễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước.
Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập
phương trình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh. Ngoài việc
nhắc nhở học sinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình,
phương trình, nắm vững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng
để giải tốt các bài tập, nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do
người giáo viên. Để học sinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để
giải bài tập thì trước hết giáo viên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các
câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắc nghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối
tượng học sinh. Phân tích thật rõ ràng và tỉ mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các
tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tập mẫu cho học sinh qua các giờ học tự

S
t

vận tốc = quãng đường : thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;
Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;
Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;
Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.
Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.
- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa
+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :
Ví dụ 5: Bài 47/Trang 59 (SGK)
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km,
khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3
km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.
Đk: x > 0

S(km)

v(km/h)

Bác Hiệp (nhanh)

30

x

Cô Liên (chậm)




hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc
của nước chảy là 3 km/h.
Đk: x > 3

S(km)

v(km/h)

t(h)

x

Ca nô đi khi nước đứng yên
Khi xuôi dòng

30

x+3

30
x+3

Khi ngược dòng

30

x−3



Lúc về (chậm)

125

x−5

Phương trình

120
125
+1 =
x
x −5

t(h)
120
x
125
x −5

2.3.2 Loại toán “lao động sản xuất”
- Phương pháp giải
Tổng số lượng công việc = số đối tượng × lượng c.việc của mỗi đối tượng
Lượng c.việc của mỗi đối tượng = (Tổng số lượng c. việc) : (số đối tượng)
Lượng công việc : số tấn hàng, số cây, số m2, số bàn ghế,…

20




x



56
x



x −1



56
x −1



56 56
−
=1
x −1 x

2.3.3 Loại toán “công việc”
- Phương pháp giải
Năng suất lao động : là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian.
Lượng công việc = thời gian ´ năng suất
⇒ Năng suất = lượng công việc : thời gian



x



Đội II (chậm)

1

x+6



Cả hai đội

1

4

Phương trình

1
x
1
x+6
1
4




;

Rộng =

chu vi
2

- dài

Nếu chọn chiều rộng là ẩn thì điều kiện là: 0 < rộng

2x

Vì thể tích của thùng = dài ´ rộng ´ cao nên ta có phương trình:
1500 = (2x – 10).(x – 10). 5
(ĐS: rộng= 20dm và dài =40 cm).
23


2.3.5 Loi toỏn liờn quan vt lớ, húa hc
- Phng phỏp gii
Cn nm vng cỏc cụng thc vt lý, húa hc cng nh cỏc cụng thc suy
ra vn dng vo bi toỏn.
D=

M
V

ỡù D: laứ khoỏ
i lửụùng rieõ
ng (kg/m3)
ùù
ùớ M : laứkhoỏ
ị
i lửụùng (kg)
ùù
ùù V : laứtheồtớch (m3) :
ợ

V=


Ming th nht

880

Ming th hai

858

Phng trỡnh

858 880

= 10
x 1
x

Th tớch (V)

Khi lng riờng (D)

(cm3)

(g/cm3)

880
x

x

858


40

40
40
=
x + 200 + 40 x + 240
40
40
10
−
=
x + 40 x + 240 100

40

2.3.6 Loại toán “Quan hệ giữa các số”
- Phương pháp giải
Cần phân biệt tổng các bình phương với bình phương của tổng.
+ Tổng các bình phương của hai số a và b là a2 + b2
+ Bình phương của tổng hai số a và b là (a + b)2.
a
b
1
và là nghịch đảo của nhau. Số x có nghịch đảo là .
b
a
x

Phân tích một số ra hai thừa số là biến đổi số đó thành hai số khác nhân với nhau.


Một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là

x 1
2 2

æx 1ö
x 1
÷
.
÷
Theo bài ra ta có phương trình çççè - ø
÷ =
2 2 2 2

Ví dụ 16 : Bài 45/Trang 58 (SGK)
Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109.
Tìm hai số đó. (ĐS: 11 và 12).
Giải
Gọi số tự nhiên bé là x , (x Î N, x > 0)
Số tự nhiên liền sau là: x + 1
Tích của chúng là: x.(x + 1) = x2 + x
Tổng của chúng là: x + (x + 1) = 2x + 1
Theo bài ra ta có phương trình (x2 + x) – (2x + 1) = 109..........
Với những giải pháp đã nêu trên tôi đã vận dụng vào trong quá trình hướng dẫn
cho học sinh giải các bài toán dạng này thì nhận thấy các em đã nắm được quy tắc
giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại được các dạng toán, làm sáng tỏ
mối quan hệ giữa các đại lượng dẫn đến lập được phương trình (hệ phương trình) dễ
dàng, từ đó việc giải phương trình (hệ phương trình) tìm ra đáp số của bài toán chính
xác không gặp phải những khó khăn và sai lầm khi gặp dạng bài toán này, kích thích

SL
25
Khá
SL
39

%
23,6

%
36,8

Trung bình
SL
%

Yếu, kém
SL

65

11

61,3

Trung bình
SL
%

Yếu, kém

Việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào thực tế giảng dạy 2 năm nay ở
trường tôi thật sự đã để lại những ý nghĩa hết sức rõ rệt, cụ thể:
- Giúp học sinh thực sự hứng thú , say mê giải toán bằng cách lập phương trình bằng
chính khả năng của mình .
- Nắm được yêu cầu của đề bài , hiểu và thực hiện được cách giải nên tham gia đóng
góp ý kiến xây dựng , khai thác kiến thức xung quanh đề bài một cách tích cực hơn .
- Học sinh cảm thấy tự tin hơn khi giải toán bằng cách lập phương trình , có đủ cơ sở
lý luận để bảo vệ lập luận của mình khi gặp phải ý kiến phản bác của bạn .
- Biết tìm tòi và phát hiện một số dạng bài tập liên quan đến các kiến thức đã học .
- Biết thực hiện nhiều hướng giải toán khác nhau sau khi tóm tắt đề toán, để từ đó các
em có thể chọn một hướng giải bài toán hợp lý và ngắn gọn nhất .
27