ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
–––––––––––––––––––––

PHẠM VIỆT HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------

PHẠM VIỆT HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
CÁC BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ
THÔNG QUA DẠY HỌC NỘI DUNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên ngành: LL và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC


Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng đề tài không tránh khỏi những sai sót, tôi
mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2016
Tác giả luận văn

Phạm Việt Hà

ii


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. ii
MỤC LỤC ....................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. iv
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................ v
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... v
1. Lí do chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu, nội dung nghiên cứu ................................................ 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................... 3
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................. 3
6. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 3
7. Những đóng góp của luận văn ..................................................................... 3
8. Cấu trúc của luận văn ................................................................................. 4
PHẦN NỘI DUNG ........................................................................................... 5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .............................................. 5
1.1. Toán học với đời sống thực tiễn của con người ........................................ 5
1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người ............................... 5
1.1.2. Toán học và các môn khoa học khác ..................................................... 6

2.2.3. Biện pháp 3: Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của mô
hình, đồng thời kiểm tra và điều chình mô hình toán học ............................ 47
2.2.4. Biện pháp 4: Làm rõ quá trình vận dụng phương trình và hệ phương
trình vào thực tiễn trong dạy học toán; trên cơ sở đó, bồi dưỡng các thành tố
của năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn ........................... 59
2.2.5. Biện pháp 5: Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra các
bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn. ............. 63
2.3. Thiết kế, lựa chọn hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn chủ đề
phương trình - hệ phương trình .................................................................... 68
2.4. Tận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn gắn với cuộc sống thường
ngày của học sinh........................................................................................... 81
2.5. Kết luận chương 2 ................................................................................... 83
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ....................................................... 85

iv


3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................. 85
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 85
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ............................................................ 85
3.4. Tổ chức thực nghiệp sư phạm ................................................................ 86
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................. 86
3.5.1. Phân tích định lượng ........................................................................... 87
3.5.2. Phân tích định tính .............................................................................. 93
3.6. Kết luận chương 3 ................................................................................... 93
KẾT LUẬN .................................................................................................... 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 957
PHỤ LỤC

v

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 1.1. Bảng thống kê về mức độ cần thiết của môn Toán trong cuộc sống ..........25
Bảng 1.2. Bảng thống kê về tình hình sử dụng mô hình hóa toán học trong
trường THCS ............................................................................................. 25
Bảng 2.1. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.7 ...................38
Bảng 2.2. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.16 ............49
Bảng 2.3. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán 2.17 ............50
Bảng 2.4. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.17 .................51
Bảng 2.5. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 .................52
Bảng 2.6. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.18 .................53
Bảng 2.7. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.19 .................54
Bảng 2.8. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.20 .................55
Bảng 2.9. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.23 .................58
Bảng 2.10. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.32 ...............71
Bảng 2.11. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.33 ...............71
Bảng 2.12. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.34 ...............72
Bảng 2.13. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.35 ...............73
Bảng 2.14. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.38 ...............75
Bảng 2.15. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong 2.39 ........................76
Bảng 2.16. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.41 ...............77
Bảng 2.17. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.42 ...............78
Bảng 2.18. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.43 ...............79
Bảng 2.19. Bảng biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng trong ví dụ 2.44. ..............80
Bảng 3.1. Nội dung các tiết dạy thực nghiệm sư phạm ...............................................85
Bảng 3.2. Kết quả kiểm tra chất lượng học kì I năm học 2015 - 2016 của hai lớp
9A và 9B .....................................................................................................86
Bảng 3.3. Thời gian dạy thực nghiệm sư phạm ........................................................... 86
Bảng 3.4. Bảng phân bố tầ n số kết quả kiểm tra 45 phút của HS hai lớp 9A và lớp
9B trường THCS Yên Thọ .........................................................................91
Bảng 3.5. Bảng kết quả xử lý số liệu thống kê của HS hai lớp 9A và lớp 9B trường

địa phương thì việc quan tâm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán
có nội dung thực tiễn cho học sinh của giáo viên còn nhiều hạn chế. Giáo viên chủ
yếu quan tâm tới việc cho học sinh đi tìm lời giải của các bài toán thuần túy mặc dù ý
thức được việc xây dựng mô hình toán học cho các bài toán thực tiễn là hết sức quan
trọng. Một trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng trên là giáo viên chưa chủ
động xây dựng tuần tự các hoạt động cụ thể trong dạy học mô hình hóa toán học các
bài toán thực tiễn cho học sinh. Nguyên nhân sâu xa hơn nữa có thể là họ thiếu các tài
liệu định hướng việc bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn

1


cho học sinh. Chính vì thế, tôi nhận thấy rằng rất cần có những nghiên cứu để đề xuất
các biện pháp cụ thể nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực
tiễn cho học sinh.
Đã có nhiều nghiên cứu về mô hình hóa toán học (của các tác giả trong nước
và nước ngoài), tuy nhiên trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ tôi muốn vận dụng các kết
quả nghiên cứu đi trước vào phần dạy học phương trình và hệ phương trình ở trung
học cơ sở. Rất nhiều những vấn đề quan trọng của đời sống thực tiễn thuộc về những
bài toán của phương trình - hệ phương trình. Phương trình và hệ phương trình có mối
liên hệ mật thiết với đời sống thực tiễn. Nội dung nổi bật trong lý thuyết về phương
trình - hệ phương trình là giải bài toán bằng cách lập phương trình (hệ phương trình),
nó đóng một vị trí quan trọng trong nhiều lĩnh vực như: nông nghiệp, giao thông vận
tải, kinh tế… Do vậy các kiến thức về phương trình và hệ phương trình đã được đưa
vào ngay chương trình môn toán ở trường trung học cơ cở. Cho đến nay, các tri thức
này được trình bày một cách có hệ thống. Cụ thể là phương trình được trình bày trong
chương III (SGK lớp 8 - phần đại số) và chương IV (SGK lớp 9 - phần đại số), hệ
phương trình được trình bày trong chương III (SGK lớp 9 - phần đại số).
Vì những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu sau:“Bồi dưỡng năng lực
mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh trung học cơ sở thông qua

hợp, hệ thống các nguồn tài liệu, các đề tài nghiên cứu, các giáo trình tham khảo liên
quan tới đề tài, các vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, điều tra, phỏng vấn, trao đổi với một
số giáo viên dạy môn toán ở trường THCS.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thử nghiệm sư phạm tại một số
trường THCS để xem xét tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở lí luận và thực tiễn, xác định một số thành tố cơ bản của năng lực
mô hình hóa các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS. Trên cơ sở đó, nếu đề xuất
được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học các bài toán thực tiễn khi
dạy học nội dung phương trình và hệ phương trình sẽ góp phần tạo hứng thú học tập
cho học sinh và phát huy tối đa, tối ưu năng lực mô hình hóa toán học của học sinh.
7. Những đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lí luận
- Đưa ra quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của học sinh THCS, trên
cơ sở phân tích hoạt động mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn. Luận văn cũng
đã mô tả hoạt động này đối với học sinh trung học phổ thông trong dạy học toán đồng

3


thời xác định các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học làm cơ sở cho việc hình
thành và phát triển năng lực này ở người học.
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực mô
hình hóa toán học cho học sinh qua dạy học phương trình và hệ phương trình.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức
và hành động trong thực tiễn giảng dạy, theo hướng tăng cường xây dựng mô hình
hóa toán học cho học sinh.
- Hệ thống các bài tập, ví dụ trong luận văn là tư liệu tốt cho giáo viên THCS

đều liên quan đến toán học.
Khác với các động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã
hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách vở,
trong đó có tri thức toán học. Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát triển vốn
tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực
tiễn của bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và phong phú:
học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ tổ quốc. Không phải khi nào cũng cho
phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để giải quyết các
vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một toà nhà mà không có
dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và mục tiêu của địch,… Gặp

5


những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo, sử dụng phương pháp
toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ.
Tóm lại, quá trình sản xuất vào đời sống ngày càng được tự động hóa thì xã
hội ngày càng trở nên nhân tạo và vai trò của toán học ngày càng lớn. Dĩ nhiên không
phải hiện tượng xã hội nào cũng có thể được mô phỏng qua mô hình toán học, nhưng
không gì có thể ngăn cản sự tò mò, sáng tạo và khát khao chinh phục những vùng đất
mới của các nhà toán học. Hàng ngàn năm trước nhà triết học Socrates đã nói: “Hãy
đo, hãy đo, dù không phải lúc nào cũng đo được”. Các nhà toán học một cách ý thức
hay vô thức hình như đang đi theo lời kêu gọi đó. Họ trở thành một lực lượng đông
đảo, có đóng góp lan tỏa rộng rãi khắp trong đời sống. Toán học ngày nay đã trở
thành một nghề nghiệp, đảm bảo việc làm cho hàng chục vạn người làm toán trên
toàn thế giới, góp phần phát triển và ổn định xã hội.
1.1.2. Toán học và các môn khoa học khác
Toán học nghiên cứu những mối quan hệ số lượng và hình dạng không gian
của thế giới khách quan. Quan hệ bằng nhau, lớn hơn, nhỏ hơn của hai đại lượng là
mối quan hệ cơ bản thường gặp trong thực tiễn khoa học và đời sống… Điều đó nói

chuyên môn, đang hình thành một xu hướng tổng hợp, thống nhất các khoa học còn
lại. Nổi bật một nét mới là các khoa học ngày càng ‘‘toán học hóa’’ có nghĩa là ngày
càng được sư dụng rộng rãi hơn các phương pháp toán học.
1.2. Năng lực mô hình hóa các bài toán thực tiễn của học sinh trung học cơ
sở
1.2.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và
nguồn gốc của năng lực, tài năng. Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên một số
quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như thực tiễn:
+ Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu cho
sự phát triên năng lực. Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc cao sống với
người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì chúng không có các tư
chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển năng lực).
+ Hai là, năng lực của con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con người từ
khi sinh ra đã có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng,
nhưng nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được. Xã hội đã
được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó cho các thế hệ sau
trong môi trường văn hóa - xã hội.

7


+ Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của các hoạt
động. Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và chịu sự tác
động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích ứng với
các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo ra kết quả “vật
chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
1.2.2. Quan niệm về năng lực
Khi phát triển chương trình giáo dục, đa số các nước không chỉ chú trọng đến
kiến thức, kĩ năng mà còn quan tâm đến phát triển năng lực cho học sinh. Tiếp cận

- Năng lực giao tiếp (qua nói hoặc viết)
- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện học toán
Từ quan niệm năng lực trên, có thể hình dung rằng dạy học nhằm phát triển
năng lực sẽ làm đổi mới việc xác định mục đích dạy học, phương pháp và hình thức
dạy học và cả phương pháp đánh giá.
Theo Xavier Roegeiers [62], để phát triển năng lực người học, cần chú trọng
hơn tới việc tổ chức hệ thống các tình huống học tập, trong đó học sinh buộc phải
hoạt động trong tìm hiểu tình huống, phát hiện và giải quyết vấn đề, khi giải quyết
vấn đề học sinh buộc phải huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và nhiều phẩm
chất khác, phải tìm kiếm thông tin, tương tác với môi trường học tập, giáo tiếp với
giáo viên, với bạn học và những người khác để giải quyết vấn đề, nhờ đó phát triển
được năng lực mong muốn.
1.2.3. Phương pháp mô hình hóa
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người
dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
1.2.3.1. Quan niệm về mô hình
Quan niệm về mô hình có thể được hiểu như sau:
Hai hệ thống A và B được gọi là đẳng cấu với nhau khi tồn tại một song ánh từ
A lên B sao cho bảo toàn các mối quan hệ.
Do A và B là đẳng cấu, nên khi nghiên cứu B, phát hiện được các thuộc tính
nào đó thì cũng rút ra được kết luận rằng A cũng có các thuộc tính như thế. Trong
nhiều trường hợp, vì A là khá phức tạp, người ta tìm cách nghiên cứu B đơn giản hơn,
nhưng đẳng cấu về toán học với A. Lúc này B được gọi là một mô hình của A.
1.2.3.2. Các đặc trưng của mô hình
- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải
bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con
người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô

9


mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các mô
hình của các khoa học khác. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cũng cho rằng: “Mô hình
10


toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính
về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng những quan hệ số
lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác” [54, tr.98]. Vì “chất liệu”
của mô hình toán là ngôn ngữ toán học nên chúng rất đa dạng và phong phú: có thể là
biểu thức giải tích, phương trình, bảng, biểu đồ, đồ thị, hình vẽ,…
1.2.3.3. Các cấp độ của mô hình hóa toán học
Các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp. Việc học sinh tự mình giải quyết được một bài toán có ý nghĩa rất
lớn về mặt tâm lí. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho học
sinh mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo.
Do đó, trong khi thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa, giáo viên
cần chú ý đến các mức độ mô hình hóa. Sau đây là cách đánh giá mức độ mô hình
hóa dựa theo Ludwig và Xu (2010) [64]:
- Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay
viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
- Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và
đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.
- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm mô hình thật qua
cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học. Ở
cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên.
- Cấp độ 3: Học sinh có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch
nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong
thế giới toán học.
- Cấp độ 4: Học sinh có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn,
làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.


12


- Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống
trong thực tiễn (bài toán ban đầu).
- Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô
hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp
toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng.
1.2.3.5. Hoạt động mô hình hóa
Hoạt động mô hình hóa là hoạt động chuyển một vấn đề thực tế về một vấn đề
trong nội tại bản thân toán học để sử dụng công cụ của khoa học này nghiên cứu giải
quyết. Hoạt động này có thể phân chia thành hai dạng: dạng thứ nhất là hoạt động của
các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt động của những người có học vấn phổ thông.
- Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của tự
nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết thực trong
khoa học và đời sống. Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề thực tế
này là một vấn đề vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn cuộc sống muôn hình
muôn vẻ. Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể mô tả một lớp rộng rãi các
đối tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân chia thành nhiều lớp các mô
hình riêng biệt và các lớp mô hình này cũng có thể có nhiều mức độ khác nhau. Cuối
cùng là mô hình toán học của các quá trình cụ thể. Trong sự suy diễn ở trên là đi từ
mô hình toán học tổng quát đến mô hình toán học riêng biệt cụ thể. Tuy nhiên, trên
thực tế quá trình xây dựng mô hình đi ngược lại với sự suy diễn đó. Quá trình xây
dựng mô hình toán học không phải là quá trình hình thức hoá mà nó chứa đựng
những giả định (giai đoạn trực giác), các tính toán dựa trên những giả định và so sánh
với thông tin thu nhận được. Tuy phức tạp nhưng người ta cũng hình dung ra được
các giai đoạn phải thực hiện trong quá trình này. Theo A. A. Dorođnhixưn [1, tr.24],
quá trình mô hình hóa của các nhà khoa học có thể phân thành các giai đoạn sau:
1) Nhận biết các dạng liên hệ (người);

hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực
tiễn được coi là cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tiễn”;
Hoạt động thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế là hoạt động của
chủ thể tiến hành tổ chức lại các dữ kiện toán học thu được sau khi mã hoá các thông
tin toán học có được từ tình huống thực tế để lập nên thành bài toán toán học cần
thiết. Các dữ kiện này đang tồn tại một cách riêng rẽ, đơn lẻ và phải được liên hệ,
phối hợp với nhau một cách thành công. Chẳng hạn với bài toán thực tế lập
phương trình, đây chính là khâu thiết kế lập phương trình từ các dữ kiện toán học
đã xây dựng được.

14


Năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế (gọi tắt là năng lực
thiết lập mô hình) được sử dụng giúp chủ thể thực hiện các hoạt động này. Trong
năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tế có hai yếu tố sau đây:
a) Năng lực nhận thức được những quan hệ toán học giữa các đối tượng tham
gia tình huống thực tế.
Để tổ chức lại các dữ kiện toán học, cần phải nhận thấy được những mối quan
hệ toán học giữa chúng. Những mối quan hệ này chỉ có thể thấy được khi chủ thể đã
nhận thức được đầy đủ và tổng quan các mối quan hệ toán học (như các quan hệ,
tương quan hàm...) giữa các đối tượng, các yếu tố tham gia trong tình huống thực tế.
b) Tính linh hoạt của tư duy trong các hoạt động liên hệ giữa các yếu tố thực tế
và các yếu tố toán học.
Khi giải quyết một bài toán thực tế, thường chủ thể không thể xét cùng lúc tất
cả các dữ kiện trong bài toán. Xuất phát từ một nhóm các dữ kiện, huy động được các
kiến thức toán học phù hợp, sẽ có được mô hình toán học của nhóm này, sau đó quay
trở lại xét tiếp nhóm các dữ kiện khác của bài toán, tiếp tục mô hình hoá toán học
chúng. Từ các bước như vậy mà hình thành mô hình toán học đầy đủ của cả bài toán
thực tế. Tuy nhiên, có trường hợp ở một bước nào đó không thành công và phải quay