ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ VĂN QUYNH

NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R)
VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ VĂN QUYNH

NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R)
VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1.2

Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . .

8

2

3

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)

11

2.1

Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R) . . . . . . . . . .

11

2.2

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) . . . . . . . . . .

16

Ứng dụng vào phương trình hàm

22


48


ii

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Đoàn Trung
Cường, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời
gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin, Phòng
Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán
K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp
đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên
cứu tại trường.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân
luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận
văn.
Thái Nguyên, 2015

Vũ Văn Quynh
Học viên Cao học Toán K7D,
Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên


1

Mở đầu
Phương trình hàm là một dạng toán hay và quan trọng trong các kì thi học
sinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quan


=

1
x−1 −
1
− x−1

1

x−1
x −
x−1
x

=−

1

=−

1
;
x−1

−x
−1

= x.




 f3 + f1 = 1 +
x−1
Giải hệ phương trình cụ thể cho ta f1 (x) =

x3 − x2 − 1

x3 − x2 − 1

hay f (x) =
.
2x(x − 1)
2x(x − 1)
Hàm số này thỏa mãn phương trình hàm ban đầu, do vậy nó là nghiệm mong
muốn.
Tổng quát, cho D ⊆ R là một miền và g1 , . . . , gn : D → D là các hàm số
liên tục sao cho G = {id, g1 , . . . , gn } cùng với phép hợp thành các ánh xạ là
một nhóm hữu hạn. Cho các hàm a0 , a1 , . . . , an , b : D → R. Chúng ta quan
tâm đến phương trình hàm sau
a0 f + a1 f ◦ g1 + · · · + an f ◦ gn = b.

(1)

Để tìm được hàm f thỏa mãn phương trình này, ta thay x bởi id, g1 (x), g2 (x),
. . . , gn (x). Khi đó, ta sẽ có được một hệ phương trình tuyến tính với ẩn là
f, f ◦ g1 , f ◦ g2 , . . . , f ◦ gn . Khi đó ta có thể giải hệ này, bằng các phương
pháp tiêu chuẩn của đại số tuyến tính như phương pháp Cramer.
Trong lời giải của phương trình (1) cấu trúc nhóm của tập hợp các phép
biến đổi g1 (x), . . . , gn (x) là yếu tố quyết định. Trong phạm vi luận văn này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này giới thiệu kiến thức về nhóm là cơ sở áp dụng cho các chương
sau. Nội dung bao gồm các định nghĩa, tính chất về nhóm, nhóm xyclic, nhóm
Diheral, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên, cùng các kiến thức về ma trận, điều
kiện để ma trận là chéo hóa được.
Các kiến thức này sẽ được áp dụng vào việc hỗ trợ xác định các nhóm con
hữu hạn của nhóm PGL(2, R) ở Chương 2.

1.1

Nhóm

Mục này giới thiệu các kiến thức cơ bản về nhóm như đã nêu ở trên.
Định nghĩa 1.1.1. Cho G = ∅ với phép toán ”.” : G × G → G thỏa mãn các
tính chất
(i) Kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ G;
(ii) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ G thỏa mãn a.e = e.a = a, ∀a ∈ G;
(iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo: ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : a.b = b.a = e, kí hiệu
b = a−1 .
Khi đó, G với phép toán ”.” lập thành một nhóm, ta kí hiệu là (G, .) hay
ngắn gọn G. Nhóm (G, .) được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu
a.b = b.a, ∀a, b ∈ G.


5
Chú ý 1.1.2. Cho (G, .) là một nhóm, khi đó
(i) Phần tử đơn vị là duy nhất.


còn b là phép đối

xứng qua một đường thẳng đi qua tâm và một đỉnh của Pn .
Mệnh đề 1.1.7. Tất cả các phép đối xứng của Pn (tức là phép biến đổi đẳng
cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó) được liệt kê như sau
e, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, . . . , an−1 b.
Chúng lập thành một nhóm, kí hiệu là Dn và gọi là nhóm Diheral cấp 2n. Ta
có
Dn = a, b| an = e, b2 = e, (ab)2 = e .
Giả sử T là một tập hợp nào đó, ta dễ dàng kiểm tra lại rằng tập S(T ) tất
cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một
nhóm, với các phần tử đơn vị của S(T ) là ánh xạ đồng nhất idT trên T , phần
tử nghịch đảo của α ∈ S(T ) là ánh xạ ngược α−1 .
Định nghĩa 1.1.8. Nhóm S(T ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập T . Mỗi
phần tử của S(T ) được gọi là một phép thế trên T .
Đặc biệt, nếu T = {1, 2, . . . , n} thì S(T ) được kí hiệu là Sn và gọi là
nhóm đối xứng trên n phần tử.
Ta có
(i) Sn là một nhóm hữu hạn và |Sn | = n! = 1.2 . . . n.
(ii) D3 ∼
= S3 .
(iii) n = 3 thì Dn

Sn (do chúng có số phần tử khác nhau).

Xét nhóm đối xứng Sn . Với n ≥ 2, ta đặt ∆n =
1≤i
Định nghĩa 1.1.10. Nhóm thương GL(2, R)/Z(2, R) được gọi là nhóm tuyến
tính xạ ảnh và ký hiệu là PGL(2, R).
Như vậy một phần tử của PGL(2, R) có dạng A={λA : λ ∈ R∗ } trong
đó A ∈ SL(2, R). Bằng cách xét

√ 1 .A
det A

ta có thể giả sử | det A| = 1. Cũng

chú ý là A = −A.
Trong nhóm GL(2, R), xét tập SL(2, R) gồm các ma trận có định thức
bằng 1. Với hai ma trận A, B ∈ SL(2, R), ta có det(AB) = det(A) det(B) =
1 và det(A−1 ) = 1 nên SL(2, R) là một nhóm con của GL(2, R). Ta gọi đó
là nhóm tuyến tính đặc biệt trên R. Nhóm này có một nhóm con chuẩn tắc là
ZS(2, R) = {I2 , −I2 } = SL(2, R) ∩ Z(2, R).


8
Nhóm thương PSL(2, R) := SL(2, R)/ ZS(2, R) do đó là một nhóm con của
nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R).

1.2

Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận

Mục này giới thiệu khái niệm về đa thức đặc trưng, điều kiện để một ma
trận là chéo hóa được. Ta luôn xét K là một trường.
Giả sử f là một tự đồng cấu của K- không gian véctơ V . Nếu có véctơ
α = 0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị

 1

 .. . .

.
−1
.
sao cho T AT = D, với D =  .
. .  , tương đương


0 . . . λn


9


λt λt
 1 11 2 12

 λ1 t21 λ2 t22
AT = T D = 
 ..
..
 .
.

λ1 tn1 λ2 tn2

. . . λn t1n

.
T = .
. ..  .


tn1 . . . tnn
Vì AuJ = λj uj (j = 1, n) nên ta có


λ t λ t . . . λn t1n
 1 11 2 12



 λ1 t21 λ2 t22 . . . λn t2n 

AT = 
 ..
..
.
.
..
.. 
 .

.


λ1 tn1 λ2 tn2 . . . λn tnn


 ..

.
.

 0 . . . λn
tn1 tn2 . . . tnn


10
Vì u1 , u2 , . . . , un độc lập tuyến tính nên det T = 0, suy ra tồn tại T −1 sao cho
T −1 AT = D. Suy ra A chéo hóa được.
Hệ quả 1.2.2. Nếu ma trận A cấp n có đủ n giá trị riêng phân biệt thì A chéo
hóa được.
Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi ma trận A, đa thức f (x) = 0 có bậc nhỏ nhất thỏa
mãn f(A)=0 được gọi là đa thức tối tiểu của A.
Mệnh đề 1.2.4. (i) Đa thức tối tiểu luôn tồn tại. Đa thức tối tiểu có hệ số cao
nhất bằng 1 là duy nhất và được kí hiệu là

A (x).

(ii) Cho đa thức f(x). Khi đó f(A)=0 khi và chỉ khi

A (x)|

f(x).


11



γ=

a b



 ∈ PGL(2, R).
c d

Nhóm PGL(2, R) tác động lên không gian xạ ảnh P1 (R) = R ∪ {∞} thông


12
qua
ax + b
γ(x) =

với mọi x ∈ P1 (R) và γ ∈ PGL(2, R).

cx + d
Do vậy g chính xác là tác động của ma trận γ lên P1 (R). Do đó g có cấp hữu
hạn khi và chỉ khi γ có cấp hữu hạn.
Trong mục này, ta sẽ đi mô tả tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của
PGL(2, R). Giả sử γ ∈ GL(2, R) sao cho | det γ| = 1, và γ ∈ PGL(2, R)
thỏa mãn γ n = 1. Điều này tương đương với γ n = ±I2 .
Các ma trận γ như vậy được mô tả như sau
Mệnh đề 2.1.1. Các phần tử có cấp hữu hạn trong PGL(2, R) có dạng γ với
(i) γ =I2(trường
hợp này γ có cấp 1);

do đó
m

ε = cos

mπ
n

mπ
+ i sin

n

và 0 ≤ m < 2n.

π

π
+ i sin ,
n
n


13
Ta có
±1 = εm1 εm2 = em1 +m2 = det γ = ad − bc ∈ R
và
εm1 + εm2 = trace(A) = a + d ∈ R.
Điều kiện
εm1 +m2 ∈ R suy ra m1 + m2 ∈ {0, n, 2n, 3n}.

(i) m1 + m2 = 0. Khi đó m1 = m2 = 0 và γ = I2 .
+ i sin

(ii) m1 + m2 = n. Ta có εm2 = εn−m1 = −ε−m1 , do εn = cos
nπ
i sin

n

nπ
n

+

= cos π = −1. Do đó
trace(A) = εm1 + εm2 = εn − ε−m1 = 2i sin

Điều kiện εm1 + εm2 ∈ R dẫn đến sin


m

 ε 1 = cos 0 + i sin 0

m1 π
n

m1 π
n


ε = −1
 εm2 = cos
 εm1 = cos
+ i sin
+ i sin
n
n
n
n



 εm2 = 1
1 0

dẫn tới
. Trong trường hợp này γ ∼ 
 εm1 = −1
0 −1


14
Do vậy a + d = 0 và a2 = 1 − bc.
Ta thấy đây là trường hợp duy nhất det γ = −1, nói riêng trường hợp này
chỉ xảy ra khi n = 2, còn trong các trường hợp khác ta có γ ∈ PSL(2, R).
(iii) m1 + m2 = 2n suy ra m2 = 2n − m1 . Ta có ad − bc = 1 và
m1 π
εm1 + εm2 = εm1 + ε2n−m1 = εm1 + ε−m1 = 2 cos
∈ R (vì ε2n =
 n

εm2 = ε3n−m1 = −ε−m1 (do ε3n = cos
+ i sin 3πn = −1), dẫn tới
n
m1 π
m1
m2
m1
−m1
ε +ε = ε −ε
= 2i sin
. Như vậy εm1 + εm2 ∈ R tương đương
n
m1 π
với sin
= 0, hay n | m1 nhưng do n < m1 < 2n, trường hợp này không
n
thể xảy ra.
Chú ý 2.1.2.
Như vậy trong các trường hợp trên, chỉ trường hợp n = 2 có ma trận γ
không nằm trong PSL(2, R) các trường hợp còn lại đều suy ra γ ∈ PSL(2, R).
Định lý dưới đây sẽ tổng kết tất cả các kết quả trên.
Định lí 2.1.3. Cho g(x) =

ax + b

là một phép biến đổi phân tuyến tính với
cx + d
a, b, c, d ∈ R, |ad − bc| = 1. Khi đó có một số n>0 sao cho g n = id nếu và
chỉ nếu g thỏa mãn một trong các tính chất sau đây:
(i) g(x) = x, ∀x (γ = I2 );



.

0 −i
0 −1
> 2 theo phân tích ở trên ma trận chéo hóa của γ có dạng B =
 Nếu n 
εm 0

, với 0 < m < 2n.
−m
0 ε
Bằng cách lập luận tương tự như trên, không có ma trận thực C nào thỏa
mãn C n ∼ B2 . Điều kiện để bậc xoắn của γ bằng n là (m, n) = 1.
Ta có một số trường hợp cụ thể:
a) n = 2. Ta có a + d = 0 suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính bậc 2
có dạng
ax + b
g(x) =

cx − a

với |a2 + bc| = 1.

b) n = 3. Khi đó m = 1, 2 và a + d = ±1, suy ra các phép biến đổi phân
tuyến tính có dạng
ax + b
g(x) =


√ 1
√
√
1
1
(1
+
(−1
+
(1
−
(1
+
5),
5),
5),
−
5), suy ra các phép biến đổi
2
2
2
2
phân tuyến tính có dạng
g(x) =

ax + b
√
1
√
với

−
5) − a] − bc = 1.
2
cx + 21 (1 − 5) − a

g(x) =

ax + b
√
1
√
với
a[−
(1
−
5) − a] − bc = 1.
2
cx − 12 (1 − 5) − a

2.2

Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R)

Ở phần trước chúng ta đã tính phần tử sinh của tất cả các nhóm con xyclic
hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp tổng quát,
đó là các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Chúng ta sẽ mô tả cấu
trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), từ đó cũng chỉ
ra cách xác định các nhóm con Diheral của nhóm PGL(2, R). Trong thực tế,
chỉ có vài cấu trúc nhóm có thể là nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh
PGL(2, R). Điều này là hệ quả của bao hàm thức PGL(2, R) ⊂ PGL(2, C)

 ord(h) = 2 vì h2 = ((12)(34))((12)(34)) = (132)(123) = id .
Hơn nữa gh = (243) có cấp 3 vì (gh)2 = (243)(243) = (234) và (gh)3 =
(243)(234) = id.
Bây giờ ta sử dụng cùng kí hiệu g, h để biểu thị các phần tử tương ứng
trong PGL(2, R) và sẽ chỉ ra ord(gh) = 3 không xảy ra trong PGL(2, R). Vì


18
g, h là các lớp tương đương của các ma trận cấp 2 × 2 nên ta cũng dùng g, h
để ký hiệu các ma trận trong các lớp này có định thức thỏa mãn | det(g)| =
| det(h)| = 1.
mπ
∈ R với
Vì ord(g) = 3, bằng Định lý 2.1.3, ta có trace(g) = 2 cos
3


x y
, với det g = xt − yz = 1. Hơn
m ∈ {1, 2} và det(g) = 1. Đặt g = 
z t
nữa, trace(g) = x + t = cos

2mπ

nên x + t = ±1, suy ra t = ±1 − x. Do
3
det(g) = 1 nên y = 0 và xt − yz = 1, từ đó suy ra z = x(±1−x)−1
và
y

a b
λ 1

 và h = 
g=
c −a
−1 0
 



aλ + c bλ − a
λ 1
a b

=
, nên trace(gh) =
Vì gh = 
−a
−b
−1 0
c −a
aλ + c − b. Đặt λ = trace(gh) thì chúng ta có
b = λa + c − λ .


19
Do det h = 1, hay −a2 − bc = 1, nên a2 + bc + 1 = 0. Từ đó suy ra
0 = a2 + (λa + c − λ )c + 1
= a2 + λac + c2 − cλ + 1

Bây giờ ta chứng tỏ rằng PGL(2, R) nhận nhóm xyclic Cn và nhóm Diheral Dn là nhóm con hữu hạn. Việc xây dựng nhóm con xyclic hữu hạn Cn
đã trình bày ở tiết trước (Định lý 2.1.3). Bây giờ ta sẽ xây dựng phần còn lại
là các nhóm Diheral Dn .
Định lí 2.2.3. Cho G ⊂ PGL(2, R) là một nhóm con. Khi đó G ∼
= Dn với
một số n > 0 nếu và chỉ nếu G liên hợp với nhóm con của PGL(2, R) sinh ra
bởi

g=

λ

1

−1 0





 và h = 

trong đó λ = εm + ε−m = 2 cos

mπ

a

b



m

ε



với mỗi (m, n) = 1. Xét n = 2. Nếu

g, h ∼ 

1



0

0 −1



thấy rằng det(h) = det(g) = −1 thì det(gh) = 1. Thay g bởi gh nếu cần, ta
có thể giả thiết rằng

h∼

−m

0


h=
c −a
Khi đó




 

λ 1
a b
aλ + c bλ − a

=

gh = 
−1 0
c −a
−a
−b


2
(aλ + c) − a(λb − a) (λb − a)(λa + c − b)

Suy ra (gh)2 = 
2
2
−a(λa + c − b)
a − λab + b

2
0
a − abλ + b
Suy ra (gh)2 = (a2 + b2 − abλ)I2 . Chú ý rằng a2 + bc = a2 − λab + b2 > 0
(do |λ| < 2). Do đó det h = 1 và


a
b
 trong đó a2 − λab + b2 = 1.
h=
−λa + b −a

Chú ý 2.2.4. Cho g và h là 2 phần tử sinh của Dn ở trên, đó là ord(g) = n
và ord(h) = 2. Khi đó gh ∈ G với ord(gh) = 2 và det(gh) = −1. Rõ ràng
gh, g cũng là phần tử sinh của Dn . Do đó, ta cũng có thể chọn một tập các
phần tử sinh của Dn chứa g, h với

g∼h∼

1

0

0 −1


.