www.thuvienhoclieu.com

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC
PHẦN 1
Bài 1. Giải phương trình:

2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2
2sin x  1
Hướng dẫn giải

x
3
2
0

� 
x �  k
�
1
� 6
, k , l �� (*).
Điều kiện: sin x � � �
2
�x �5  l
� 6
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
2 3 sin x.  1  cos x   4 cos x.sin 2

x
3  0
2

� 6�

3 sin x  cos x

TH1:
TH2:
� x





 
2
  k 2 � x 
 k 2 , k ��
6 2
3

Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm
x

7
2
 k 2 , x 
 k 2 , k ��.
6
3

Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x �(2009; 2011) của phương trình : cos x  sin x  cos 2 x 1  sin 2 x  0

A
Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin .cos 3  sin .cos 3 . Chứng minh
2
2
2
2
rằng tam giác ABC cân.
Bài 7. Giải phương trình sau: 2(sin x  3 cos x)  3cos 2 x  sin 2 x.
Bài 5. Giải phương trình : 3 tan 2 x 

2
Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin x  2sin x.cosx  cos2 x  a �3
Bài 9. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
các góc A , B , C lần lượt là l a , l b , l c .
l l l l l l
1. Chứng minh rằng: a b  b c  c a �3 3.
c
a
b

2. Nhận dạng tam giác, biết: a  b  tan

C
(a tan a+btanb).
2

�
ax 2  a  y  cos x
�
Bài 10. Định a để hệ: � 2

2 .
Bài 14. Giải hệ phương trình: �
3
�
cos x  cos y  cos z 
�
�
2

Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x � 0; 2  sao cho: 2 cos x � 1  sin 2 x  1  sin 2 x �2.
Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:
3 x
� x  �
cos 2 (a  x )  2cos (a  x)  cos
.cos �  � 2  0.
2a
�2a 3 �
www.thuvienhoclieu.com

Trang 2


www.thuvienhoclieu.com
3 2
Bài 17. Cho tam giác ABC có tan A  tan C  2 tan B . Chứng minh rằng: cos A  cos C �
.
4
BC
AB  BC


Bài 25. Tìm m để phương trình mcosx  cos3x  cos2x  1 có đúng 8 nghiệm trên khoảng ( ; )
2 2
Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P  cos2A  cos2 B  cos2C lớn nhất.
Bài 27. Giải phương trình : 8cos 4 x.cos 2 2 x  1  cos3 x  1  0
sin A sin B sin C


Bài 28. Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết
1
2
3
2
2
Bài 29. Giải phương trình 2cos x  1  cot x   2sin x  1  0
Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2 A  2  cos 2 B  cos 2C   2  0
Bài 31. Tìm
số
tự
nhiên
a
bé
nhất
để
phương
trình
sau
có
nghiệm
:
3

�4 2 �

Bài 35. Giải phương trình cos3x  sin7x  2sin � 
2

www.thuvienhoclieu.com

Trang 3


www.thuvienhoclieu.com
Bài 36. Tìm

m

để

phương trình

sau

có

4

nghiệm

phân

biệt

� 5 �
,
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm x ��
.
� 4�
�
Bài 40. Cho tam giác ABC có các góc A, B, C thỏa mãn hệ thức:
1
1
1
1
1
1





A
B
C
cos A cos B cos C sin
sin
sin
2
2
2
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
 x
2sin 2 (  )s inx - cos3 x

PT
�  sin x  cos x   1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3  0

thức

:

�  sin x  cos x  1  sin x  cos x  1   sin x  cosx  1  2sin x  cos x  3   0
�  sin x  cos x  1   sin x  2 cos x  4   0

www.thuvienhoclieu.com

Trang 4


www.thuvienhoclieu.com
x  k 2
�
sin x  cos x  1
�
��
�� 
,( k ��)
�
sin x  2 cos x  4(VN )
x   k 2
�
� 2
Vậy phương trình có hai họ nghiệm: x  k 2 , x 
Bài 46. Cho cos2  

10

sin2   1  cos2  

9
3
sin
� sin 
, tan 
 3
10
cos
10

Khi đó: P   1  tan  .

1
2

� 1
3 � 2 5


�
� 
5
2 � 10
10 �

 cos  sin    1  3 . 1

* cos x 

1
�2
cos 2 x

* y �1 � GTNN y = 1
*

2
y = 1 � cos x 

1
� cos 4 x  1 � sin x  0 � x  k , k ��
2
cos x

Bài 49. Giải phương trình

www.thuvienhoclieu.com

3 cos 2 x  sin 2 x  2
Hướng dẫn giải

Trang 5


www.thuvienhoclieu.com
3 cos 2 x  sin 2 x  2 �



��
0; �� t  0
* t = cotx , x ��
� 2�
2
* cot x  2  m  1 cot x  3m  1  0 (1)

� t 2  2  m  1 t  3m  1  0 (2)
��
0; �� pt(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt x ��
� 2�
'  0
�
�
� �S  0
�P  0
�
� keát quaû ñuùng : m < - 1 v 0 < m

Xét sự biến thiên của g(t) ta có: �max
�
2; 2
�

�

Vì f(x)  0 nên ta có:
maxf(x) =

max f 2 ( x)  max g (t )  2( 2  1)

3 2 2
.
2
1
1
1

 ... 
Bài 53. Rút gọn tổng S =
trong đó n là một số tự
cos x cos 2 x cos 2 x cos 3x
cos nx cos(n  1) x
Vậy ta có: 2( 2 �
1) ۳2m 1

m

nhiên.

2

nguyên (p, q).

www.thuvienhoclieu.com

Trang 7


www.thuvienhoclieu.com
Bài 58. Cho

sin 8 x cos 8 x
1
sin 4 x cos 4 x
1


. Chứng minh rằng:
, (a > 0, b > 0).


3
3
a
b
( a  b) 3
a
b
a b

2

giá trị lớn nhất.
Bài 62. Cho các số thực a, b, c thoả mãn a 2  b 2  c 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu


thức T a  b 2 sin x  c sin 2 x , trong đó x  (0; ) .
2
x
 
; ].
Bài 63. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x)   sin 2 x với x  [
2
2 2
n

n

1  
1 

Bài 64. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x) 1 
  1 
 với n là số tự nhiên.
2
2
 sin x   cos x 
Bài 65. Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng:



7

 3 cos

4
7

 3 cos

5  33 7
3
.

7
2

6

Trang 8


www.thuvienhoclieu.com

Bài 69. Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa

sin x  sin y  sin z  sin t 1


 cos 2 x  cos 2 y  cos 2 z  cos 2t 10 .


1 x2

2 cos 2 x  cos x  1
cos x  1

.

Bài 73. Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của
tam giác ABC . Tính tỷ số

OH
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
R

Bài 74. Cho tam giác ABC vuông ở C. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, ma , mb lần lượt là
r2
độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: 2
.
ma  mb2
Bài 75. Giải các phương trình sau:
1/ sin 3 x  cos 3 x  sin 3 x cot gx  cos3 xtgx  2 sin 2 x .
2/ 2 cos x  2 sin 10 x 3 2  2 cos 28 x. sin x .
3/

sin 3 x sin 5 x

.
3
5


1
1
1
1



7 . Tính sin 2 2 x .
2
2
2
tg x cot g x sin x cos 2 x

Bài 78. Chứng minh rằng: cos


2 1
 cos
 .
5
5
2

Bài 79. Thu gọn tổng S = tga.tg 2a  tg 2a.tg 3a  ...  tg (na).tg (n  1)a .
Bài 80. Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1)... (2 cos 2 n  1 a  1)
Bài 81. Tính các tổng:
1

S=
tg 6

 tg 8
,
18
18
18

R=


5
7
 tg 6
 tg 6
18
18
18

Bài 82. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x   ) trong đó k, 
là các tham số thực. Chứng minh rằng: M 2  m 2 2
Bài 83. Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau:

A
B
C
tg
tg
1
2
2
2

4
2

2

1� �
1�
�
� � sin x  � �
cos x  �
2� �
2�
�

www.thuvienhoclieu.com

Trang 10


www.thuvienhoclieu.com
�
cos x  1
�
1
1
�
�
�
sin
x

�
cos x �0
�
�
cos x �0
��
��
�
�
�
� 2
�
1 � 5
�
sin
x

sin
x

1

0
�
sin x  �
�
�
�
�
2 .

2

� sin 2 x  3 cos 2 x  1

1
� sin(2 x  ) 
3
2


�  
�
2 x    k 2
x    k
�
�
3 6
12
��
��

5


�
�
2x  
 k 2
x   k
�

cos x  s inx
s inx
�
 2 s inx  0
cos x
1
� s inx(
 2)  0
cos x
s inx  0
�
�
�
1
�
cos x 
�
2

 pt  �

Với sinx  0 , không thỏa mãn điều kiện
Với cos x 

1

� x  �  k 2 0
 k �Z
4
2

�x
Câu 3:


 k
4

.

 k �Z

Giải phương trình cosx.cos 2x 

www.thuvienhoclieu.com

1
.
4
Trang 12


www.thuvienhoclieu.com
Hướng dẫn giải
x  k không phải là nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa về pt sin 4 x  sin x .
Suy ra x 

k 2
 k 2
; x 
.

2
1 �
�
sin x  2 cos x  5
�
�
sin( x   )  1; �
sin  
;cos  
�
�
5
5�
�
�
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Câu 5:

Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos( x 2 )  cos[ (x 2  2 x  1)] .
Hướng dẫn giải
�
x 2  x 2  2 x  1  2k
cos( x )  cos[ (x  2 x  1)] �  x  �
[ (x  2 x  1)]; k ��� �2
x  ( x 2  2 x  1)  2k
�
2

2



Trang 13


www.thuvienhoclieu.com
(2) có hai nghiệm x1 

1  4k  1
1  4k  1
 0; x2 
 0.
2
2

1  3
Suy ra nghiệm dương x1 nhỏ nhất khi k  1 . Khi đó x1min 
0
2
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là x1min 
Câu 6:

1  3
.
2

Cho phương trình: cos 2 x –  2m  1 cos x  m  1  0 .
a. Giải phương trình khi m 

3
.


phương trình  2 cos x  (2m  1) cos x  m 0 
2.
cos x m

2

1
� 3 �
�ta có  1 cos x  0 nên cos x  2 không thoả mãn.
�2 2 �

với x �� ;

� 3 �
�� 1 �m  0 .
�2 2 �

Do đó phương trình đã cho có nghiệm x �� ;
Câu 7:

Tìm nghiệm của phương trình cos x  sin x  cos 2 x. 1  sin 2 x 0 thỏa mãn điều kiện:
2004  x  2005 .

Hướng dẫn giải

cos x  sin x  cos 2 x. 1  sin 2 x 0 (*)
+ 1  sin 2 x  cos x  sin x
www.thuvienhoclieu.com





� �
� �
2 sin �x  � 0 � sin �x  � 0 � x   k � x    k .
4
4
� 4�
� 4�

2
�
1 �
1 
m۳
b. Phương trình có nghiệm �m�

2

Câu 9:

m 2 1 1 2m m 2

m 1.

�x  �
(2  3) cos x  2sin 2 �  �
Giải phương trình:
�2 4 � 1

www.thuvienhoclieu.com

Trang 15


www.thuvienhoclieu.com
�

1
3
1

 1
sin x 
cos x  � sin x.cos  cos x.sin 
2
2
2
3
3 2

�  
� 
x    k 2
x   k 2
�
�

� �
3 6

. Tìm các giá trị của m sao cho phương trình đã
cos x

cho có nghiệm.
Lời giải
ĐKXĐ: cos x �0 . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x , ta được:
m tan x  m  1  m  1  tan 2 x  � m tan 2 x  m tan x  1  0

2
Đặt tan x  t , ta được phương trình: mt  mt  1  0  *
Do phương trình tan x  t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

 *

m �0
�
2
có nghiệm �   m  4m �0 � �
.
m �4
�

�
�
cot 3 x  sin    2 x   2 cos 5 x  0
Câu 11: Giải phương trình sin �  2 x �
�2
�
Lời giải
ĐKXĐ: sin 3 x �0 .



k
5
x


k

�
�
10
5
2
cos 5 x  0
�
�
�


2

��
��
3 x   k 2
��
x k
 k �� .
2
�

2

1
sin 2 x
1  cos 2 x
� 2 tan x  2sin 2 x 
sin 2 x
2sin 2 x
� 2 tan x  2sin 2 x 
 2sin 2 x  tan x
2sin x cos x
� tan x  2sin 2 x
2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 

� 4sin x  4 cos x  1  0

.

2

� sin x  2 cos 2 x  1  0

�
sin x  0  l 
2

�
�
� 2x  �  k 2 � x  �  k ,  k �� .
1

�
xk
�
�
9
��
sin 2 x  0 � �
2 x  k
��
 k �� . .
�

�
� 
xk
�
cos x  0
�
�
x   k
2
�
� 2
Câu 14: Giải phương trình 3cos x  2 sin x  2
Lời giải
2
3cos x  2 sin x  2 � 2 sin x  2  3cos x (Điều kiện: cos x � )
3
2
2

sin 2 x  3 cos 2 x  1  m �
� sin 2 x cos

1
3
1 m
sin 2 x 
cos 2 x 
2
2
2


 1 m
�  � 1 m
 cos 2 x sin 
� sin �
2 x  �
3
3
2
3� 2
�

1 m
1 m
 ���1���
�
1 ��1
Phương trình có nghiệm ۣ


2

sin x 

� sin  x     sin  (2) (vì 0 

b
a b

c
a  b2
2

2

2

cos x 

c
a  b2
2

(1)

1)

� �
Trên khoảng � ;0 �thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Đặt t  sin x  cos x  2 cos �x  �,  2 �t � 2 .
� 4�
Ta có t 2   sin x  cos x   1  sin 2 x � sin 2 x  t 2  1 .
2

Ta được hàm số y  2t 2  2t  2,  2 �t � 2 .
Bảng biến thiên:

www.thuvienhoclieu.com

Trang 19


www.thuvienhoclieu.com
t

1
2
5
2

 2

y

2  2 2
5
Suy ra M  ; m  2  2 2 .
2





2

Phương trình vô nghiệm � m 2  2  16m 2  m 2  4



2

2

3

� m 2  1 � 1  m  1 .

Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x  m cos x  1  m có nghiệm
�  �
x ��
 ;
.
� 2 2�
�

Lời giải
x
 0 không là nghiệm của phương trình.
2
x

Phương trình  1 � t  4t  1  2m là phương trình hoành độ giao điểm parabol
cos

 P  : y  t 2  4t  1 và đường thẳng d : y  2m .
Bảng biến thiên của hàm số y  t 2  4t  1
t

�

1

1

2

�

6

y

www.thuvienhoclieu.com

2

Trang 20


www.thuvienhoclieu.com
�  �

� 3�
�
�
� �
2�
0 4sin 2 �x
�
Ta có: 0 �sin �x 
�1 �
� 4.
� 3�
� 3�
� �
� �
�1
cos
��
4�
x  � 1 4 5 cos �
4x
� 6.
3�
3�
�
�

 sin x 

3 cos x


Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cot x  tan x 

2 cos 4 x
trên đường tròn lượng giác ta được
sin 2 x

bao nhiêu điểm?
Lời giải

k
,  k � .
2
2 cos 4 x
cosx sin x
cos 4 x
cot x  tan x 
�


� cos 2 x  cos 4 x
sin 2 x
sin x cos x sin x.cos x

0 2x
Điều kiện: sin 2 x �۹۹�

k

x


Hướng dẫn giải.
0
x m (m Z ).
Điều kiện: sin x �۹�
Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2 x  3cos x  1  sin x  2sin 2 x.cos x  2sin x.cos 2 x .
� cos 2 x  3cos x  2  sin x  cos x(1  cos 2 x)  sin x(1  cos 2 x) .
� cos x 2 x  2(sin x  cos x  1)  cos 2 x(sin x  cos x)  0 .

Bài 1.

Giải các phương trình sau:

� cos 2 x  2  0

.
�  cos 2 x  2   sin x + cos x  1  0 � �
sin
x
+
cos
x

1

0
�
� cos 2 x  2
x  k 2
�
�

2x 
Phương trình đã cho tương đương với 2  1  cos x   3 cos 2 x  1  1  cos �
2
�

�
.
�
�

� 2 cos x  3 cos 2 x   sin 2 x .

�

1
3
sin 2 x 
cos 2 x  cos x .
2
2

� �
� sin �
2 x  � cos x .
3�
�
� �
�
�
� sin �

� 6
Bài 3.

Giải phương trình sin 2 x  2 cos x  0.
Hướng dẫn giải.

Phương trình đã cho tương đương với 2sin x.cos x  2 cos x  0 .
www.thuvienhoclieu.com

Trang 22


www.thuvienhoclieu.com
� 2 cos x(sin x  1)  0 .

cos x  0
�
��
.
sin x  1
�
� 
x   k
�

�� 2
� x   k (k ��). .

2
�


 2 3.sin 2 x  3 .

� 2 3.sin 4 x  3sin 2 x  3 cos 2 x .
� sin 4 x 

3
1
� �
sin 2 x  cos2 x � sin 4 x  sin �2 x  �
2
2
6�
�


�
� 
4 x  2 x   k 2
x   k
�
�
6
12
��
��
5


�

3

 k, k '

Z , k ' 6m 2, k ' 6m 5, m Z  .

Cho phương trình: sin 4 x  cos 4 x  cos2 4 x  m. ( m là tham số).

1) Giải phương trình khi m 

www.thuvienhoclieu.com

3
.
2

Trang 23


www.thuvienhoclieu.com
�  �
 ;
2) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn �
.
�4 4�
�

Hướng dẫn giải.
Phương trình đã cho tương đương với:
3  cos 4 x

4
4
2
2) Đặt t = cos4x ta được: 4t 2  t  4m  3 , (2).
�  �
�  �
 ; �thì t � 1;1 . Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt x ��
 ;
Với x ��
khi và chỉ khi
�4 4�
� 4 4�
�

phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t � 1;1 . (3).
Xét g(t) = 4t 2  t với t � 1;1 . ta có bảng biến thiên :

t

1

www.thuvienhoclieu.com



1
8

1


2

Giải phương trình:

2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx.
Hướng dẫn giải

Ta có PT  (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 .
2

Đáp số: x  �  k 2 , x   k
3
4

( k �Z ) .

Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng 2sin A.cos B.sin C  3(cos A  sin B  cos C ) 

Bài 7.

17
.
4

Hướng dẫn giải
2

2

2

3 sin x  cos x  1  1 .
Hướng dẫn giải

2 cos x





3 sin x  cos x  1  1 .

� cos 2 x  3 sin 2 x  2 cos x .

www.thuvienhoclieu.com

Trang 25