CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN
�Phương pháp
Cho hai số phức
tính cơ bản sau:

z  a  bi, z'  a' b'i,  a,b,a',b' ��

�
a  a'
z  z' � �
.
�b  b'
z  z'   a  a'   b  b' i;

ta cần nhớ các định nghĩa và phép

z  z'   a  a'   b  b' i.

z.z'   a  bi   a' b'i   aa' bb'  ab' a'b i.

z' z'.z  a' b'i   a  bi  aa' bb'  ab' a'b i
 2 

.
z
z
a2  b2
a2  b2

Vận dụng các tính tính chất trên ta có thể dễ dàng giải các bài toán sau.
n



Nếu

i n  i 4k  i 4

thì

n  4k  3  k ��

thì

1

i n  i 4k i 2  1. 1  1
i n  i 4k i 3  1. i   i

I. CÁC VÍ DỤ MẪU

3 1
 i
2
3
2
2 2 . Tính các số phức sau: z; z ; (z) ;1 z  z .
Ví dụ 1. Cho số phức:
Ví dụ 2. Tìm phần thực và phần ảo của số phức:
z

a)

z

C

5  6i
4  3i ;

c)

1
3

i
2 2

�1 7i �
�
�
e) �4  3i �

3  2i
i ;

a  bi, a,b �R  :

z   2  i    1 2i    3  i   2  i  ;
3

1



 1 i 

5

z

 1 2i  3 ;

6

 2  2i  5

.

d)
e)
Ví dụ 5. Tìm nghịch đảo của số phức sau:

a)z  3  4i;

b) z  3  2i;

c)z 



1 i 5
;
3  2i

b)z   2x  3   3y  1 i, z'   2y  1   3x  7 i.

(x2  2y  i) 3  i   y  x  1  1 i   26  14i.
2

c)

x

2

 y2

3


 2i   3i  1   y  2x
6

3 i

2

d)

 1 i 

3 1 i 

. Chứng minh rằng :

 4 1 i 

96

.

z  3i  2  i   2i 3

.

3

. Tìm môđun của số phức z  iz .

. Tìm m để

z.z 

1
2

2
3
2012
.
Ví dụ 12. Tính S  1 i  i  i  ...  i

Ví dụ 13. Số phức
nhất của biểu thức:



Ví dụ 16. (Đề Minh Họa của Bộ). Cho hai số phức
môđun của số phức
A.

z1  z2  13

z1  1  i và z2  2  3i . Tính

z1  z2 .
.

B.

z1  z2  5

.

C.

z1  z2  1

.

D.

z1  z2  5

Ví dụ 17. (Đề minh họa của bộ). Cho số phức z  2  5i. Tìm số phức w  iz  z
A. w  7  3i.

3

D.

Ví dụ 19: ( Đề Thử nghiệm lần 1-Bộ Giáo dục). Xét số phức
(1  2i) z 

Câu 1. Cho

1.2. Tính
A. 1 4i
1.3. Tính
A. 11 45i

z1  1 3i,z2  2  i,z3  3 4i.

34
3

thoả mãn

1
3
 z
2
D. 2

Tính:

z1  2z2  z3


Câu 2. Tính lũy thừa
1003
A. 2 i

z 

10
 2  i.
z
Mệnh đề nào sau đây đúng?

3
1
 z 2
z 
z

2
2
A. 2
B.
C.
II. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

1.1. Tính
A. 1 4i

z




Câu 5. Tính lũy thừa
A. 4  2 3i



2i 3

2

bằng

B. 1 2 6i

C. 3 3i

D. 6  3i

C. 4

D. 1

3

�1
3�
 i
�
�

3 i 5

3
C. 3

 7  8i 
z
11
 8  7i 

2 3 2i 7

3
D. 3

10

Câu 8. Viết các số phức
A.



4
7i

133 133



 a,b��

4
5i

123 123

D. 1

33

�1 i �
10
1
B  � �   1 i    2  3i   2  3i   ;
1

i
i
� �
Câu 10. Tính
A. 13  3i
B. 33  31i
C. 13  32i

C  1  1 i    1 i    1 i   ...   1 i 
2

Câu 11. Tính

Câu 12. Cặp số thực x, y thỏa mãn
1

11
11

C.

x

D. 3  32i

20

2x  1  1 2y  i  2  x   3y  2 i

1
1
x  ,y 
5
5
B.

Câu 13. Cặp số thực x, y thỏa mãn
x

3

5
2
,y  
11
11

x 1 y 1

Câu 15. Cặp số thực x, y thỏa mãn 1 i 1 i là:
x  1;y  1
x  1;y  1
x  1;y  1
338
61
A.
B.
D.
x
;y 
49
49
C.
3

y
1

 2  3i
Câu 16. Các cặp số thực x, y thỏa mãn x  i 3  3i
là:


A.
C.

 x,y    0;12 ; 1;15 

�
x1
�
y1
B. �

�

5 �
 x,y  � 1;2 ;�
�
� ;4�
2
�

�

�

�
�

��

�
�

�
�


�
x 0
�
3x  y
A. �

là:

�

B.

�

 x,y    1;2 ; 1;15 

 x  i   1 yi    3  2i  x  1 4i

 x,y    1;1 ; 1;2 
�
�

 x,y    0;2 ; 1;5 

�
x 2
�
y1
D. �


A. z  6

z  2  3i, x,y �� .

Hãy viết dưới dạng đại số của
z


6
B.
C. z  6  i

w

z3  z
 z
z1

 

2

z

.

D. z  6  i

2
3

 4i.
zn
Tìm n.
A. n  14

B. n  149

Câu 27. Cho số phức z thỏa mãn
A.

2

B.

3

C. 697

z

D. 789

 1 3i 
1 i

.Tìm mô đun của số phức z  iz
C. 5
D. 7



z   1 i  ,n ��

�
m 2
�
m1
D. �

n

Câu 29. Tìm phần thực của số phức:

log4  n  3  log4  n  9  3

thỏa mãn phương trình:

.

B. 8
C. 8
D. 9
m  3i
z
 m ��
2
1 i
Câu 30. Cho số phức
. Tìm m, biết số phức w  z có môđun bằng 9.
A. 6











Điểm

M  x;y  ,

kí hiệu

z  x  yi, (x,y ��)

được biểu diễn bằng :

M  z

uuuur
OM   x;y 
Vectơ
r
u  (x;y)
Vectơ

Biểu diễn hình học của z, z, z



OM  z ;AB  b  a .
I. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng biểu diễn các số
phức a,b,c. Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối
xứng của A qua G. Các điểm M,G,D lần lượt biểu diễn các số phức m,g,d.
a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c.
b) Nếu thêm giả thiết
chỉ nếu a  b  c  0.

a  b  c,

chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và


Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD. Ba đỉnh A, B ,C lần lượt biểu diễn các số phức

a  2  2i,b  1 i,c  5  mi

 m�R  .

a) Tìm số phức d (biểu diễn điểm D);
b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức :

�3  i 3 �
i
z
�
�

z' là số ảo.
d) Nếu
lần lượt biểu diễn các số phức z, z’. Chứng minh rằng
Áp dụng: Tính k để tam giác A’B’C’ vuông tại A’.
Ví dụ 5. Cho số phức

z  m   m  3 i,m ��

a) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên đường phân giác góc phần tư thứ hai
y

y  x

2
x

b) Tìm m để biểu diễn số phức nằm trên Hyperbol
c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc tọa độ nhỏ nhất.
Ví dụ 6. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biễu diễn các số
4i
2  6i
;  1 i   1 2i  ;
i 1
3 i
a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.
b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A điểm biểu diễn số 1, B
điểm biểu diễn số phức z không thực, A’ biểu diễn số phức z' �0 và B’ biểu diễn số
phức zz'. Chứng minh rằng: Tam giác OA B và tam giác OA 'B' đồng dạng.
Ví dụ 8. Biết A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các

Câu 2. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ tương ứng biểu diễn các số phức

1 i
z
2 . Lúc đó,

z1,z2 ,z3

và

z'1,z'2 ,z'3

( trong đó A, B, C và A’, B’ , C’ không thẳng hàng). Hai tam giác ABC và A’B’C’
có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
A.

z1  z2  z3  z1'  z'2  z'3
z1  z2  z3 

B.

z1'  z'2  z'3

D.

z1  z2  z3  z1'  z'2  z'3
'2
z12  z22  z23  z'12  z'2
2  z3


B.  �1
C.   �1
D.  �0

Câu 4. 2. Khi A, B, C là ba đỉnh của tam giác. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân
Câu 4.3. Tìm số phức d biểu biễn bởi D sao cho ABCD là hình chữ nhật
2
2
2
2
A. d  1   i.
B. d  1   i.
C. d  1   i.
D. d  1   i.
Câu 5. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu

diễn số phức
A.

z1,z2 ,z2.

z1  z2  z2.

Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?
B.



z12  z22  z32

Câu 7. Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số phức z1 , z 2 khác 0 thỏa
2
2
mãn đẳng thức z1  z 2  z1z 2 . Tam giác OMN là tam giác gì?
A. Tam giác cân
B. Tam giác đều
C. Tam giác vuông
D. Tam giác vuông cân


2
c  x  i, x �� .
Câu 8. Cho ba điểm A, B, C biểu diễn các số phức a  1 i,b  a và
Tìm x sao cho
Câu 8.1. Tam giác ABC vuông tại B
A. x  1
B. x  2
C. x  3
D. x  5
Câu 8.2. Tam giác ABC cân tại C
A. x  7
B. x  2
C. x  3
D. x  5
ur u
r
r

B.
C.
D.
Câu 10. Tìm các điểm biểu diễn của số phức z biết điểm biểu diễn của các số phức

z,z2 ,z3 lập thành
Câu 10.1.Tam giác vuông tại A
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x  1.

B. Quỷ tích của z là đường tròn

x2  y2  1

1
x2 y2
y  x2

 1.
2
D. Quỷ tích của z là Parabol
2
C. Quỷ tích của z là đường elip 1
Câu 10.2.Tam giác vuông tại B
A. Quỷ tích của z là đường thẳng x  0.
y0
B. Quỷ tích của z là đường thẳng
C. Quỷ tích của z là đường thẳng x  0, trừ gốc tọa độ
y  0,
D. Quỷ tích của z là đường thẳng
trừ gốc tọa độ



CHỦ ĐỀ 3. TÌM TẬP HỢP ĐIỂM
Phương pháp
z, a, b.
Giả sử các điểm M , A ,B lần lượt biểu diễn các số phức



o

z  a  z  b � MA  MB � M

thuộc đường trung trực của đoạn AB.





z  a  z  b  k, k �R,k  0,k  a  b � MA  MB  k
o
� M thuộc elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k.

Giả sử M và M’ lần lượt biểu diễn các số phức z và



Đặt

z  x  iy

{Đường tròn }
a)

z   3  4i   2

;

b)

z  i   1 i  z

2

z  2iz  2i 3 z  0

2iz  1  5
c)
;
d)
.
Ví dụ 3. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Elip}:

z  1  z  1  4.
Ví dụ 4. Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trong các trường hợp sau: {Ảo
thực}
2z  1
a) z  1 là số ảo;

z1
, z �2i 

z  3z  2  i 3 z
Ví dụ 9. Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
Ví dụ 10 . Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:

zi
z  i là số thực dương với z �i ;

b)

 

z2  z

2

a)
log 1



2

c) z  2z  5�� ;

d)

3

z2 2
4z 2 1

.

b) Cho M di động trên đường tròn (C ) tâm A(-1;1), bán kính R  2. Tìm tập hợp các
điểm M’.
d :y  x 1
c) Cho M di động trên đường thẳng
, tìm tập hợp các điểm M’.
z  x  yi 
Ví dụ 12. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
thỏa mãn điều kiện

�
�y  x �1
a) �
;
2
�y �2x

b)1 z �2.

II. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những

2 z  i  z
điểm M(z) thỏa mãn điều
là
4x  2y  3  0
4x  2y  3  0
A. Đường thẳng
B. Đường thẳng

D. Đường Parabol
Câu 4. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn

điều kiện

zz3  4

A. Hai đuờng thẳng
A. Hai đuờng thẳng

là

x

1
7
x 
2,
2

x

1
7
x
2,
2

B. Hai đuờng thẳng
D. Hai đuờng thẳng

1 3
;y 
2
2

y

B. Hai đuờng thẳng

1 3
1 3
;y 
2
2

1 5
1 3
1 5
1 3
;y 
y
;y 
2
2
2
2
A. Hai đuờng thẳng
D. Hai đuờng thẳng
Câu 6. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
y


điều kiện

z  1 i  2

A. Đuờng thẳng

là
x  y  2 0

 x  1
B. Đường tròn

2

  y  1  4
2

I  1; 1
D. Đường tròn tâm
và bán kính
R  2.
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
C. Đường thẳng

x  y  2 0

z
3
điều kiện z  1


� 9�
I�
0; �
D. Đường tròn tâm � 8 � và bán kính

1
R .
8
Câu 8. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  3  2i  2z  1 2i

là

2
4
8
2
4
8
x2  y2  x  y   0
x2  y2  x  y   0
3
3
3
3
3
3


2
2
x  1   y  1  2

D.

2

A. Đuờng tròn

2

  y  1  2
2

x2   y  1  2
2

C. Đường tròn
Câu 9. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

z  4i  z  4i  10

là


x2 y2


là
A. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên phải trục tung
B. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng ở bên trái trục tung
C. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía trên trục hoành
D. Tập hợp các điểm là nửa mặt phẳng phía dưới trục hoành
Câu 12. Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn
điều kiện

1�z  1 i �2

là

A. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm

I  1;1

, bán kính 2

B. Tập hợp các điểm là hình vành khăn có tâm tại
lần lượt là 2; 1
C. Tập hợp các điểm là hình tròn có tâm

I  1; 1

A  1;1

và các bán kính lớn và nhỏ

, bán kính 1


z  2  3i
zi
là một số

bán kính R  5

A  0;1 ; B 2; 3
bán kính R  5 trừ đi hai điểm
.

bán kính R  5

A  0;1 ; B 2;3
bán kính R  5 trừ đi hai điểm
.
z  x  yi 
tập hợp các điểm biểu diễn số phức
thỏa mãn điều kiện

D. Đường tròn tâm
Câu 15. Tìm

I  1; 1

u


A. Ba cạnh của tam giác
B. Bốn cạnh của hình vuông
C. Bốn cạnh của hình chữ nhật

 P  : y  21 x2  21.
B. Parabol
C. Đường tròn

 x  1

2

  y  3  3
2

x2 y2

1
D. Elip 25 16
Câu 16.3. M thuộc đường tròn

 C  :x2  y2  1;

1
d': y  x  .
3
A. Đường thẳng
 P  : y  41 x2
B. Parabol
C. Đường tròn

x2  y2  1

x2

I�
 ;0�
R
2
� bán kính
2
A. Đường tròn tâm �
�1 �
1
I�
 ;0�
R
2
� bán kính
2 trừ đi hai điểm  1;0 .
B. Đường tròn tâm �

�1 �
1
I�
 ;0�
R
2
�
�
4
C. Đường tròn tâm
bán kính
�1 �
1

8
.

  y  1  4
2

  y  1  4

2

2

 C  :  x  3   y  1  4
D. Đường tròn
Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w thỏa
2

2

z  1 2i  1
mãn: w  z  2  i , biết z là số phức thỏa
.
A. Đường tròn tâm
B. Đường tròn tâm
C. Đường tròn tâm

I  1;2
I  2;1

I  1;1

bán kính R  5 5 .
, bán kính R  5 .

Câu 22. Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
A. Hình tròn tâm



I 3; 3

.

 , R  4.





z'  1 i 3 z  2

với

z  1 �2

.




C. Hình tròn tâm

biết

 , R  4.







z  1 �2.

I 3; 3

I 3; 3



w  1 i 3 z  2





bán kính R  4
bán kính R  4 .

bán kính R  4.
2



z 4
Câu 25 (Đề minh họa của bộ). Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp
các điểm biểu diễn các số phức w  (3  4i ) z  i là một đường tròn. Tính bán kính r của
đường tròn đó.
A. r  4.

B. r  5.

C. r  20.

D. r  22.

CHỦ ĐỀ 4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỨNG MINH SỐ PHỨC
Phương pháp: Ta nhắc lại một số công thức cơ bản sau:
Cho số phức



z  x  yi

z  x  yi,  x,y ��

. Lúc đó

.

z  x2  y2 .
2

Áp dụng: Cho ba số phức z1,z2 ,z3 đều có môđun bằng 1. Chứng minh
z1  z2  z3  z1z2  z2z3  z1z3 .

Giải
Giả sử:

z1  x1  y1i, z2  x2  y2i,  x1,x2 ,y1,y2 ��

a) Ta có:
z1  x1  y1i

Mà
Vậy

z2  x2  y2i

và

nên

z1  z2   x1  x2    y1  y2  i

z1  z2   x1  x2    y1  y2  i � z1  z2   x1  x2    y1  y2  i

z1  z2  z1  z2

.

b) Ta có:
z1.z2   x1  y1i   x2  y2i    x1x2  y1y2    x1y2  x2y1  i


� 1�
�1 �
z. � 1� z.� � 1 � z1  z
�
� z�
�z �

1

Áp dụng bổ đề trên, ta có:

 

�z1 � � 1 � �1 �
1
�
�z �
� �
�z1. z �
� z1.�
�z �
� z1.z2  z1. z2
�2 � � 2 � �2 �

Áp dụng: Vì

z1z2z3  1

nên


 z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

Lưu ý: Ta có công thức tổng quát sau: Cho n số phức

z1,z2 ,...,zn

bất kỳ.

Ta luôn có:
� z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn
� z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zn .

Trước hết ta chứng minh:
Giả sử:

zk  ak  bk i,  k  1,2,3,...,n

Trong đó:
Ta có:
z  a  bi 

Hay

z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn

a

n


k 1

k 1

�ak  �bk  � ak  bk i   �zk

z1  z2  z3  ...  zn  z1  z2  z3  ...  zn

Bây giờ ta chứng minh

z1z2z3...zn  z1.z2.z3...zn  **

bằng quy nạp

Với n  2: Giả sử z1  a1  b1i, z2  a2  b2i
Ta có:

z1.z2   a1  b1i   a2  b2i    a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i

Suy ra:

z1.z2   a1a2  b1b2    a1b2  a2b1  i

Mặt khác: 1 2  1 1   2 2 
Vậy với n  2 đẳng thức đúng.
z .z  a  b i

Giả sử (**) đúng với
Thật vậy:



 z1.z2.z3...zk .zk 1


u

x2  y2  2xyi
xy 2  i x4  y4

w

,

x2  y2  i 2xy

 x  y  2i

xy

,  x,y �� .

Hướng dẫn giải
a)

Cách 1. Đặt

Ta có:

z1  x1  y1i, z2  x2  y2i,  x1,x2 ,y1,y2 ��



x12x22  y12y22  x12y22  y12x22  1

Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh
2

Cách 2. Vì

z  z.z

nên

2

2

z1.z2  z1.z2.z1.z2  z1.z2.z2.z1  z1.z1.z2.z2  z1 . z2

Suy ra:

z1.z2  z1.z2

b) Cách 1. Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Thật vậy:

1
1
1 1
z.  1� z .  1� 
z

1
1
 z1.
 z1.z21  z1 z21  z1 z2  1
z2
z2
z2

z1.z2 z1 . z2 z . z
z1
z1
z .z
z .z
1
2
 1 2  1 22 



2
2
2
z2 z2.z2
z2
z2
z2
z2
z2

z �z  z1 �z2


biểu diễn z1  z2


uur uur 2 uur uur
u1  u2  u1  u2





2

uur 2 uur 2 uur uur uur 2 uur 2
uur uur
uur uur
 u1  u2  2u1.u2  u1  u2  2 u1 u2 cos u1 , u2

uur 2 uur 2
uur uur
uur uur
�u1  u2  2 u1 u2  u1  u2





  z
2



2

xy 2  i x4  y4

x
x


y 

2

 y2

2

2



z
z1
 1
z 2 z2

x

2





x2  y2  2xy

 x  y  4xy
2



 x  y

2

 x  y

2

 1.

Ví dụ 3. a) Chứng minh: Số phức z là số thực khi và chỉ khi z  z .
Vận dụng: Cho hai số phức z1,z2 đều có mođun bằng 1, z1.z 2 �1 . Chứng minh
z

z1  z2
1 z1z2

là số thực.

z  z

z1z1  z1  1� z1 

1
z1

z2 

, tương tự ta có

1
z2

1 1

z1  z2
z1  z2
z1  z2
z1 z2
z z
z



 1 2  z  ÑPCM 
1 1 1 z1z2
1 z1z2 1 z1z2 1 z1.z2
1 .
z1 z2

Xét






�  z1  z2  . z1  z2   z1  z2  . z1  z2  0





2

2

� 2 z1z1  z2 z2  0 � z1z1  z2 z2 � z1  z2 � z1  z2
2z  1
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn z  1 là số thực. Chứng minh rằng z là số

thực.
Giải
Ta biết rằng số phức w là số thực � w  w. Do đó
�2z  1� 2z  1 2z  1 2z  1
2z  1
��
�

�
z1 z1
�z  1 � z  1

13 6i �
b) z  �
�  3 4i  ��
�4  5i �

Giải
a) Ta có
n

n

�6  17i � �3 28i �
n
n
z�
� �
�   3 2i    3 2i 
�4  3i � �5 6i �

Suy ra:


n

z   3 2i    3 2i    3 2i    3 2i    3  2i    3 2i 
n

n

n

3

4i

2

i
3 4i 









�
�
�
�
�
�4  5i �

  3 4i 

n

 3 4i 



  z

 z2

1



2

,z1,z2 ��

z1,z2,z3.

c) Với mọi số phức

Chứng minh rằng:

2

2

2

z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

2

2



2

 2 z  2 z'  2 z  z'

2

  VP

b) Ta có:
2





VT  1 z1.z2  z1  z2  1 z1.z2 .1 z1.z2   z1  z2  .z1  z2



2







 1 z1.z2 1 z1z2   z1  z2  z1  z2

2

2

2

 1 2 z1z2  z1z2  z1  2 z1 z2  z2  1 z1 z2  z1  z2

Từ (*) và (**) ta suy ra điều phải chứng minh.
c) Ta có

2

 **






z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2

 z1z1  z1z2  z1z3  z2z1  z2 z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2z1  z2z3  z3z1  z3z2  1
2

2

2


2



z1  z2  z3   z1  z2  z3  . z1  z2  z3    z1  z2  z3  z1  z2  z3
2



 z1z1  z1z2  z1z3  z2 z1  z2z2  z2z3  z3z1  z3z2  z3z3
 z1  z2  z3  z1z2  z1z3  z2 z1  z2 z3  z3z1  z3z2  4
2

2

2

Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được
2

2

2

z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3  z1  z2  z3

2

2


� 1� 3 1
� 1�
z  � z 
 3�
z �
�
3
z
� z�
� z �, mặt khác ta có: z1  z 2 �z1  z2 .

Do đó:
3

� 1� 3 1
1
1
1
1
z
 z3  3  3�
z  ��z  3  3 z  �2  3 z 
z
z
z
z
z
� z�


Giả sử
Khi đó:

z  a  bi,  a,b��

theo giả thiết ta có

a2  b2 �1 � a2  b2 �1


2a   2b  1 i
4a2   2b  1
2a   2b  1 i
2z  i



2  iz
 2  b  ai
 2  b  ai
 2  b 2  a2

2

Do đó:
4a2   2b  1
2z  i
�
 1�
2

Giả sử z1  p  qi, z2  r  si với p,q,r,s�� . Khi đó
z1  2z2  2z1  z2 �  p  2r  i  q  2s   2p  r   i  2q  s

 p  2r   q  2s   2p  r   2q  s
2
2
2
2
�  p  2r   q  2s   2p  r   2q  s
2

�

2

2

2

� p2  4pr  4r2  q2  4qs  4s2  4p2  4pr  r2  4q2  4qs  s2
� r2  s2  p2  q2  1

Ta có:
z1  az2  az1  z2 �  p  ar  i  q  as   ap  r  i  aq  s

 p  ar   q  as   ap  r   aq  s
2
2
2
2


  2



(2) đúng, dẫn đến điều phải chứng minh.
. Chứng minh rằng với mỗi số phức z , có ít nhất 1 trong hai bất đẳng
Ví dụ 10
thức sau xảy ra

z1�

1
2 hoặc

z2  1 �1

Hướng dẫn giải
�
1
z1
�
�
2  *
�
�z2  1  1
Giả sử ta có đồng thời �
.

Đặt