Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
A. Đặt vấn đề:
Trong chương trình Hình học 12, bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian
là bài toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức
hình học không gian, mối quan hệ giữa đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Là dạng toán chiếm tỷ
lệ nhiều trong kì thi THPT Quốc Gia nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được dạng toán này là hết
sức cần thiết.
Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy các em còn lúng túng nhiều trong quá trình giải các
bài toán về viết phương trình đường thẳng. Nhằm giúp các em giảm bớt khó khăn khi gặp dạng toán
này tôi đã mạnh dạn đưa ra chuyên đề : “ Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng
trong không gian”. Trong chuyên đề, tôi đã đưa ra phân loại bài tập viết phương trình đường thẳng
từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bước giúp học sinh hình
thành tư duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra, giúp cho các em làm tốt các bài thi trong kì thi
THPT Quốc Gia.
Chuyên đề gồm 4 phần:
Phần I: Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Phần II: Phương pháp chung để giải toán
Phần III: Một số dạng toán thường gặp và phương pháp giải
Phần IV: Bài tập trắc nghiệm tự luyện

A. Nội dung:
PHẦN I: VECTƠ
r
rCHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
r
Cho đường thẳng d. Nếu Vectơ u (≠ 0) và có giá song songu
hoặc
trùng
với
đường
thẳng

r
thì 1 VTCP của d là u (a;b;c)
uuur
TH3: Nếu đường thẳng d đi qua 2 điểm phân biệt A, B thì d có 1 VTCP là AB
PHẦN III. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Chú ý tronguu
dạng
rCác
ur u
u
r uur bài tập sau:
Kí hiệu ud ; u1 ; u2 ; ud ' lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng d ; d1 ; d 2 ;d’.
uur uu
r
Kí hiệu n p ; nq lần lượt là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P) & (Q)
Dạng 1 : Viết phương trình tham số và phương trình chính
tắc (nếu có ) của đường thẳng d
r
biết d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u d = (a; b; c).

GV:

1


Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
 x = x0 + at

Phương pháp: * Phương trình tham số của đường thẳng d là :  y = y0 + bt ( t là tham số)
 z = z + ct

.
.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 1) và B(1; -1; 3). Viết phương
trình tham số của đường thẳng AB?
x = t

ĐS:  y = 2 − 3t
 z = 1 + 2t

Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .
Phương pháp: -VTPT của mặt phẳng ( P ) là VTCP của đường thẳng d
⇒ đưa bài toán về dạng 1
Bài tập áp dụng: Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,
viết phương trình tham số của d biết d đi qua M(-2; 4; 3)
và vuông góc
uur với ( P ): 2x - 3y – 6z + 19 = 0?
HD: ud = nP = ( 2; −3; −6 )

d
M
.

uu
r
nP

P

 x = −2 + 2t



GV:

2


Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
Dạng 5 : Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)
r
r r
Phương pháp: - VTCP của d là u d = [ n P, n q]
uu
r
uu
r
nq
- Đưa bài toán về dạng 1.
np

P

M
.

d

Bài tập áp dụng: Bài 1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết
d đi qua điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và
(Q): x – 3y + z -2 = 0?


ĐS: PTTS d:  y = 1
 z = 3 + 3t


M
.

d

uu
r
np

P

Dạng 7 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng
d1 và d2 (d1 và d2 là hai đường thẳng chéo nhau)
ur uu
r
r
Phương pháp:
- VTCP của d là u d = [ u1 , u2 ]
=> Đưa bài toán về dạng 1.
d1

u
r
u1


3
 x = 2 − 7t

ĐS:  y = −3 + 13t
 z = 4 − 7t

và d2:

Dạng 8: Viết phương trình tham số d là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng cắt nhau
( P ) : ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 > 0) & (Q) : a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0 ( a12 + b12 + c12 > 0)
Phương pháp: Đường thẳng d gồm các điểm M ( x; y; z ) vừa thuộc (P) vừa thuộc (Q) nên tọa độ M
 ax + by + cz + d = 0
( I ) . Bây giờ ta có thể viết phương phương trình tham
là nghiệm của hệ: 
 a1 x + b1 y + c 1 z + d1 = 0
số của d bằng một trong các cách sau:
Cách 1: Tìm tọa độ một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương của nó rồi viết phương trình tham
số của d.
Cách 2: Tìm tọa độ 2 điểm A và B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm đó.
Cách 3: Trong hệ (I) đặt z = t , (t ∈ R )
uu
r
uu
r
rồi tìm x & y theo t ta được phương trình
nq
np
tham số của d.

d

r r
r
-Kiểm tra lại u 1 ; u d  ≠ 0 & u 2 ; u d  ≠ 0 suy ra d là đường thẳng cần tìm.

GV:

4

Q


Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
Bài tập áp dụng: Bài 1Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết PTTS của đường thẳng d biết d
 x = 1 + t1
 x = 1 + t2


đi qua điểm A(1; 1; 0) và cắt cả 2 đường thẳng (d1) :  y = −t1 và (d2) :  y = −3
?
 z = −1 − t
z = 0
2



x = t

ĐS:  y = −3 + 4t
z = 0



-Đường thẳng d là đường thẳng đi qua A và nhận AB là VTCP
Phương pháp2: - Viết phương trình mp(P) chứa d1 & / / d '
- Viết phương trình mp(Q) chứa d 2 & / / d '
- Đường thẳng d nếu có là giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (P) & (Q)
ur uu
r
r uu
r uu
r
r
-Nếu u1 ; ud  ≠ 0; u2 ; ud  ≠ 0 suy ra d là đường thẳng cần tìm.
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d

y −7 z −3
=
đồng thời cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 với
4
−2
x = t
x = 2 + t
y −1 z −1


=
d1 :  y = −1 + 2t và d2 : x =
? ĐS: d I d1 = A ( 2;3; 2 ) . Suy ra PTTS d:  y = 3 + 4t
−2
3
z = t

-Viết phương trình mp(P) chứa A và vuông góc với d1. Khi đó d chứa trong mặt phẳng (P)
-Tìm giao điểm B của d2 và mp(P)
-Khi đó d đi qua A và B.
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đt d đi qua

x = 1− t
 x = 2u


A(0;1;1), vuông góc với đt d1 và cắt đt d2 cho bởi: (d1):  y = t
và (d2) :  y = 1 + u ?
 z = −1
z = u



GV:

5

d1


Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
x = 0

ĐS:  y = 1
z = 1− t

Dạng 12 : Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d 1


Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) đồng thời cắt cả hai đường
thẳng d1 và d2

d1

Phương pháp:
- Nhận xét giao điểm của d1 và d2 với d chính là
giao điểm của d1 và d2 với mp(P).
- Xác định A và B lần lượt là giao điểm của d1 và d2
với (P)
-Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng
P
đi qua 2 điểm A và B

d2
A

B

Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng d

x = 1− t
x = 2 − t '


nằm trong mp(P) : y + 2z = 0 đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d1:  y = t
và d2 :  y = 4 + 2t ' ?
 z = 4t
z = 1

x = 1− t

qua M(0;2;0) ; nằm trong mp(P) : x+ 2y + z - 4 = 0 và cắt đường thẳng d1:  y = t
?
 z = 4t

 x = 2t

ĐS:  y = 2 − 7t
 z = 12t


Dạng 15 : Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đều hai đường thẳng song song
d1 và d2 đồng thời d nằm trong mặt phẳng chứa d1 và d2.
Phương rpháp:
d1 M I
- VTCP u của d là VTCP của d1 hoặc d2
- Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N ∈ d2
P
⇒ toạ độ trung điểm I của MN thuộc d.
r
-Vậy đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua I và nhận u là VTCP

d
Nd 2

Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
 x = 2 + 3t

x − 4 y +1

uuur uu
r
 AB.u 1 = 0
- Để AB là đường vuông góc chung của d1 & d 2 thì  uuur uur
=> t1 & t2
 AB.u 2 = 0
- Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B
Cách 2.

uu
r

uu
r uur

- VTCP của đường thẳng d => ud = u 1 , u 2 
-Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1
-Xác định A là giao điểm của d2 và mp(P)
uu
r
-Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận ud là VTCP .

GV:

7


Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
Bài tập áp dụng: Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau d1:


P

+ Nếu d’ ⊂ ( P ) thì d ' ≡ d

A
.

d ≡ d'
P
+ Nếu d //(P) thì
*Xác định A ∈ d
*Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
*d’ là đường thẳng đi qua B và //d

B

d

d’

P
A.

+ Nếu d ∩ ( P ) = M & d không vuông góc với mp(P) thì:
*Xác định A ∈ d ( A không trùng với M)
*Xác định B là hình chiếu vuông góc của A trên (P)
*d’ là đường thẳng đi qua 2 điểm M và B

M.



z = 2 + 7 t


Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt d1 ( A ∉ d1 ) sao cho khoảng cách từ M
đến đường thẳng d đạt giá trị nhỏ nhất.

M.

Phương pháp:
+ Viết phương trình mp(P) chứa A và d1 .Khi đó d ⊂ ( P ) .
+Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của M lên (P) & d
+ d ( M , d ) = MK ≥ MH ⇒ d ( M , d ) đạt GTNN bằng MH khi H ≡ K
+ d là đường thẳng qua A và H.

A. . K

H.

d1

d
Bài tập áp dụng:
P
Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,
x −1 y z +1
=
=
Cho điểm A(1;1;1) & d1 :
. Viết phương trình đường thẳng d qua A và cắt d1 , sao

1

x +2
y
z- 1
=
=
4
- 6
2
x- 4 y +6 z- 2
D.
=
=
2
- 3
1

A.

B.

Câu 2. Trong không gian oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M (2;0;- 1)
uu
r
và có vectơ chỉ phương u = (2; −3;1) là:
ìï x = - 2 + 2t
ìï x = 2 + 2t
ìï x = 4 + 2t
ìï x = - 2 + 4t



GV:

x = 1− t

B.  y = 2 + 2t .
 z = −1 + 3t


9

x = 1+ t

C.  y = 2 − 2t .
 z = −1 + 3t


x = 1+ t

D.  y = 2 + 2t .
 z = 1 + 3t



Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
Câu 4. Trong không gian Oxyz ,Phương trình đường thẳng đi qua A(4;2;-6) và song song với
x y z
đường thẳng : d : = =
2 4 1

ïï
ïï z = 1- t
î
đường thẳng d là :
A. x + 2y - z + 6 = 0
B. x + 1 = y + 2 = z - 1
1
2
- 1
C. x - 1 = y - 2 = z + 1
D. x + 1 = y + 2 = z - 1
1
2
- 1
- 1
2
1
Câu 6. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;1;2) và B (2;- 1;0) là:
x- 1 y- 1 z- 2
- x +1 - y +1 - z + 2
A.
B.
=
=
=
=
3
2
2
- 1

2
x - 1 y +2 z - 5
x - 1 y +2 z - 5
=
=
=
=
C.
D.
4
3
2
- 4
- 3
- 2
Câu 8. Phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng
(a) : 4x + 3y - 7z + 1 = 0 là:
ìï x = 1 + 4t
ìï x = - 1 + 8t
ìï x = 1 + 3t
ìï x = - 1+ 4t
ïï
ïï
ïï
ïï
A.ïí y = 2 + 3t
B .ïí y = - 2 + 6t
C .ïí y = 2 - 4t
D.ïí y = - 2 + 3t
ïï

4
x +2 y- 3 z +5
x- 2 y+3 z- 5
C.
D.
=
=
=
=
2
- 1
1
2
- 1
1
Câu 10. Phương trình đường thẳng giao tuyến chung của 2 mặt phẳng (α ) : 2 x + y − z − 3 = 0
&( β ) : x + y + z − 1 = 0 là:

GV:

10


Chuyên đề: “Một số dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian”
x y - 2 z +1
=
=
2
- 3
1

=
=
2
1
- 1
ìï x = 2 + 2t
ìï x = 2 + 2t
ìï x = 2 + t
ìï x = 2 + t
ïï
ïï
ïï
ïï
ï
ï
ï
A.í y = 1- t
B .í y = 1 + t
C .í y = 1- 4t
D.ïí y = 1- 4t
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï z = - t
ïï z = - t
ïï z = 2t
ïï z = - 2t
î
î

=
=
5
- 1
2
5
- 1
3
Câu 13.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x+y-2z-1=0 và đường thẳng đi qua A(-1,0,1)
có vtcp (1,2,0).Phương trình đường thẳng đi qua M(1,2,1), song song với (P) và vuông góc với
đường thẳng d là:
A.

B.

C.

D.

 x = 1+ t

Câu 14.Trong không gian Oxyz ,Cho ( P ) : x + 2 y − z − 1 = 0 và đường thẳng d :  y = 2t
.Đường
 z = −2 + t


thẳng d cắt ( P ) tại điểm M. Đường thẳng ∆ đi qua M và vuông góc với d và nằm trong mặt phẳng

( P)


(d) :
=
=
=
=
và cắt đường thẳng (d ') :
là:
6
- 2
- 3
3
2
- 5
x - 1 y +1 z + 3
x- 1 y- 1 z- 3
=
=
=
=
A. (D) :
B. (D) :
2
- 3
6
2
- 3
6
x +1 y +1 z - 3
x - 1 y +1 z - 3
=

2
3
Phương trình đường vuông góc chung của d1 & d 2 là:
Câu 16. Cho 2 đường thẳng (d1) :

x- 3 y- 1 z- 1
=
=
- 1
2
- 4
x- 7 y- 3 z- 9
C. .
=
=
2
1
4

x- 7 y- 3 z- 9
=
=
2
- 1
4
x- 7 y- 3 z- 9
D. .
=
=
2

ïï z = t
ïï z = t
ïï z = t
ïï z = t
î
î
î
î
x +1 y z + 2
= =
. Phương trình
Câu 18: Cho mặt phẳng ( P) : x + 2 y + z − 4 = 0 và đường thẳng d :
2
1
3
đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là
x −1 y −1 z −1
x + 1 y + 3 z −1
=
=
=
=
A.
B.
5
−1
−3
5
−1
3

x = 1 + t
 x = −1 + t
x = 1 − t




A. (d):  y = 5t
B. (d):  y = t
C. (d):  y = t
D. (d):  y = t
 z = 5 + 4t
z = 5
z = −5
z = 5




A. .

B. .

x +6 y +6 z +2
x −1 y + 2 z + 3
=
=
=
=
, d2:


C. Kết luận: Trên đây là một số dạng bài tập đã được áp dụng cho học sinh khối 12 trong thời
gian qua . Kết quả tôi nhận thấy rằng học sinh giải khá tốt phương trình đường thẳng trong không
gian.
Do thời gian có hạn nên chuyên đề này không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong
được sự quan tâm góp ý của các đồng nghiệp trong tổ. Xin chân thành cảm ơn.

GV:

12