BÀI TOÁN VẬN DỤNG
VỀ KHỐI NÓN – KHỐI TRỤ - KHỐI CẦU

 Dạng 129. Bài toán vận dụng về khối nón

Câu 01. Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính lần
lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung quanh của
hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp xúc với đáy của
hình nón. Tính bán kính đáy r của hình nón đã cho.
A. r 

8a
.
3

B. r  2a.

C. r  2 2a .

D. r 

4a
.
3

Lời giải tham khảo
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là
với A là đỉnh nón, BC là đường kính đáy nón.

ABC
là

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


nón nhỏ N 2 có thể tích bằng

1
thể tích N 1 . Tính chiều cao h của hình nón
8

N2 .
A. h  5 cm.

B. h  10 cm.

C. h  20 cm.

D. h  40 cm.

Lời giải tham khảo

Gọi V1 , V2 lần lượt là thể tích của N 1 và N 2 và r1 , r2 lần lượt

là bán kính đáy của N 1 , N 2 ta có:

1 2
 r2 .h
V
r22h
1
3

một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của nón (như hình dưới) và khối trụ
có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh
đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là

Sxq của bình nước.
A. Sxq 

9 10
(dm3 ) .
2

3
C. Sxq  4 (dm ) .

B. Sxq  4 10(dm3 ) .
D. Sxq 

4
(dm3 ) .
2

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải tham khảo

- Gọi bán kính đáy hình nón là R , chiều cao h
Ta có h  3R

hình

nón

là

l  OA  OH 2  HA 2  9R2  R2  2 10
- Diện tích xung quanh Sxq của bình nước
Sxq   Rl  4 10 .

Câu 04. Khi sản xuất hộp mì tôm, các nhà sản xuất luôn để một khoảng
trống ở dưới đáy hộp để nước chảy xuống dưới và ngấm vào vắt mì, giúp mì
chín. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của một hộp mình tôm (hình vẽ chỉ mang
tính chất minh họa). Vắt mì tôm có hình một khối trụ, hộp mì tôm có dạng
hình nón cụt được cắt ra bởi hình nón có chiều cao 9cm và bán kính đáy 6cm.
Nhà sản xuất đang tìm cách để sao cho vắt mì tôm có thể tích lớn nhất trong

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


hộp với mục địch thu hút khách hàng. Tìm thể tích lớn nhất đó?

A. V  36 .

B. V  54 .

C. V  48 .


2
2

9
f '  r     r 2  18 r  0 �
2

�
r0
�
r4
�

Khi đó ta không cần phải vẽ BBT ta cũng có thể suy ra được với r  4 thì V đạt
GTLN, khi đó V  48 .
Câu 05. Hoàn có một tấm bìa hình tròn như hình vẽ, Hoàn muốn biến hình
tròn đó thành một hình cái phễu hình nón. Khi đó Hoàn phải cắt bỏ hình quạt
tròn AOB rồi dán hai bán kính OA và OB lại với nhau (diện tích chỗ dán nhỏ
không đáng kể). Gọi x là góc ở tâm hình quạt tròn dùng làm phễu. Tìm x để
thể tích phễu lớn nhất.
A. x 

2 6
.
3

B. x 


.

R
B

A

O

lAB  Rx; r 

Rx
.
2

1
1
1
V   R2h 
R3 x4(4 2  x2 ) 
R3 x2 2 8 2  2x2
2
2
3
24
24 2



Để V lớn nhất thì x2  8 2  2x2 � x 



a
.
3

D. x 

2a
.
3

Lời giải tham khảo
Theo Định lý Ta-lét

R� 2a  x
R

. Suy ra R�

 2a  x .
R
2a
2a

Khi đó thể tích khối nón đỉnh O đáy là đường tròn  C�
 là
2

2
1 �R
�  R2

3

C. Vmax 

4 2
 R3 .
9

D. Vmax 

32 3
R .
81

Lời giải tham khảo
Gọi bán kính đáy của khối nón là a thì 0  a �R. Ta có







1
 R3 2
V �  a2 R  R2  a2 
t 1  1 t 2
3
3


nón).
Đường sinh của hình nón chính bằng bán kính đĩa là R .
Đường cao hình nón: h  R2  r 2  R2 

x2
1 2
1 x2
x2
2
�
V


r
.
h


.
R

3
3 4 2
4 2
4 2

Khảo sát hàm V ta tìm được V đạt GTLN khi x 

2
R 6.

sạc có dung tích V cm . Hỏi bán kính R của đáy trụ nhận giá trị nào sau đây

để tiết kiệm vật liệu nhất?
A. R  3

V
.
4

B. R  3

V
.


C. R  3

3V
.
2

D. R  3

V
.
2

Lời giải tham khảo
Bài toán yêu cầu xác định giá trị của bán kính đáy là R , sao cho Stp nhỏ nhất.
Gọi h là chiều cao của hình trụ, ta có: V   R2h.


C. R  0,8 .

D. R  0,7 .

Lời giải tham khảo
Bài toán yêu cầu xác định giá trị của bán kính đáy là R , sao cho Stp nhỏ nhất.
Gọi h là chiều cao của hình trụ, ta có: 2   R2h.
�2
�
�2
2
�
4
Stp  2.Sd  Sxq  2 R2   Rh  2 �  R2 � 2 �

 R2 ��6 3 2
4
� R
�
�2 R 2 R
�
Dấu “ ” xảy ra ta có R 

3

2
1

.

Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Stp  Sxq  2.Sd
 2 R.l  2 R2
 2 .al.  2 .a2
Thể tích của hình trụ là 10000 cm3 nên ta có:

  .R  .l  10000 � l  10000
 .R
2

2

� Stp  2 .a.

10000
20000
 2 .a2 
 2 .a2
2
a
a

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
y' 

20000
 2 .a2
a

20000


A. 3,5cm.

B. 3cm.

C. 3,2cm.

D. 3,44cm.

Lời giải tham khảo

Thực chất bài toàn là chai hình tròn thành 3 phần bằng nhau như hình vẽ:
Vì các miếng bánh có cũng chiều cao nên diện tích đáy của các miếng bánh phải
bằng nhau và bằng

1
diện tích chiếc bánh ban đầu.
3

Trong hình vẽ thì ta có OA  OB  6 và S1  S2  S3 

 .OA 2
 12
3

Đặt AOB   � 0,  thì ta có:
S1  SOAB  SOAB
� 12 

1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


 I :

Khoảng cách giữa O ’O và AB bằng

 II  : Thể tích của khối

3
2

trụ là V  3 

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Chỉ  I  đúng.

B. Chỉ  II  đúng.

C. Cả  I  và  II  đều sai.

D. Cả  I  và  II  đều đúng.
Lời giải tham khảo

Kẻ đường sinh BC thì OO’ //

 OAC 

 ABC  .


.


a3
D. V 
.
16

Lời giải tham khảo

4a

2a

4a

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

10


Chu vi của đáy bằng 2a  2 R . Ta tính được R 
được V 

a
. Chiều cao h  4a, từ đó ta tính


4a3
.

2
�2 �
8
, V1  � � .2 


� �

m 
3

Gọi R ' là bán kinh dường tròn đáy khi gò tấm nhôm theo chiều rộng: ta có

2

1
�1 �
4
R�
 . Ta được V2  � � .4 


� �

m .
3

Vậy V1 

1

C.

V1 1
 .
V2 4

D.

V1
 4.
V2

Lời giải tham khảo
Chiều dài của tấm bìa là 20 cm tức là chu vi đáy hộp hình trụ và đáp hộp hình hộp
là 20 cm.
Do 2 khối có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích sẽ tính theo tỉ số diện tích đáy của
hai hình.
Để tính được diện tích hình tròn đáy của khối hộp hình trụ, ta phải đi tìm bán kính
đáy. Theo giả thiết chu vi cho là 20  2 .R � R 

10
100 100
.
. Khi đó S1   R2   . 2 




Diện tích đáy của hình hộp S2  5.5  25.
Khi đó

kính 8cmvới đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2 cm. Tính chiều
cao của chiếc cốc.
A. 10cm.

B. 8cm.

C. 15cm.

D. 12cm.

Lời giải tham khảo
Thể tích đáy là V   .16.1,5  24 cm3
Phần thủy tinh làm thành cốc là: 37,26 cm3  24 cm3  13,26 cm3
Gọi chiều cao của thành cốc không kể đáy là x ta có x 

Vậy chiều cao của cốc là:

13,26
16   3,8

2

 8,5

8,5  1,5  10cm.

Câu 19. Người ta cần đổ một ống bi thoát nước hình trụ với chiều cao 200cm
và độ dày của thành bi là 10cmvà đường kính của bi là 60cm. Tính lượng bê
tông cần phải đổ của bi đó là.
A. 0,1 m3 .

B. 2,0 m3 .

C. 1,2 m3 .

D. 1,9 m3 .

Lời giải tham khảo
Với cột bê tông hình lăng trụ: Đáy của mỗi cột là hình lục giác đều có diện tích
142 3
bằng 6 tam giác đều cạnh 14 cm, mỗi tam giác có diện tích là
cm3
4




13

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Với cột bê tông đã trái vữa hình trụ: Đáy của mỗi cột là hình tròn bán kính 15 cm



2
2
nên có diện tích là 15  cm




V
.


C.

V
.
2

D.

V
.


Lời giải tham khảo
Ta có : V   .R2.h � h 
Xét hàm: f  x 

V
2V
; Stp  2 Rh  2 R2 
 2 R2
2
R
 .R

2V


D. V 

7 a3 21
.
18

Lời giải tham khảo
2

2

�a � �a � a 21
4
7 a3 21
Ta có R  � � � � 
. Suy ra V   R3 
.
6
3
54
�2 � � 3 �
14

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 23. Cho hình chóp S.ABC có SA  a 2, AB  a, A C  a 3, SA vuông góc với
a 7
. Gọi  S là mặt

�SA �
R  � � r 2 
�2 �

3
.a
2

� Thể tích khối cầu: V   6.a3 .
Câu 24. Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật (tổng diện tích
các mặt ), S2 là diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó. Tính
giá trị nhỏ nhất của tỷ số

A.

1
.
2

B.

S2
.
S1
3
.
2

C.


bằng .
S1
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


ĐÁP ÁN TOÁN THỰC TẾ: NÓN - TRỤ - CẦU
01C

02C

03B

04C

05A

06D

07A

08A

09C

10D


........................................................

16

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................

. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................
. ..........................................................

........................................................
........................................................
........................................................
........................................................
........................................................