BÀI TOÁN VẬN DỤNG SỐ PHỨC

 Dạng 1. Bài toán liên quan đến nghiệm
phức

Câu 1. Biết z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z2  z  2  0. Tính

A.

1
.
2

3
B.  .
2

C.

3
.
2

D.

z1 z2
 .
z2 z1

5
.

�
z  2  5i
z2  4z  9  0 � �1
� z1  z2  22 
�
z2  2  5i
�

 5

2

 3 � P  6.

1

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 3. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  4z  5  0. Khi đó,
z12  z22 bằng:
A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

Hướng dẫn giải

Câu 5. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2z2  4z  5  0. Khi đó, giá trị của
biểu thức A  z1  z2  4 bằng
A. 6

B. 4

C. 2

D. 5

Hướng dẫn giải
Tính   16
Suy ra pt có 2 nghiệm phức z1  1

16
16
i; z2  1
i
3
3

Vậy A  6 .
Câu 6. Kí hiệu z1 , z2 lần lượt là hai nghiệm phức của phương trình 2z2  2z  5  0.
2

2

Giá trị của biểu thức A  z1  1  z2  1 bằng:
A. 25



Câu 7. Phương trình 2z2  4z  14  0 có hai nghiệm z1 , z2 . Giá trị của biểu thức
2

2

A  2 z1  3 z2 bằng
A. - 14

B. - 13

C. 14

D. 13

Hướng dẫn giải
PT z2  4z  14  0 có nghiệm là z1  2  i 10; z2  2  i 10





2
�
2
2
22  10 �
Vậy A  2�
� 3 2  ( 10)  14
�

�
3
�
�y   14
�
3

Vậy 2x  y  2.
Câu 9. Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2  2z  3  0. Tìm số phức
liên hợp của số phức w   5  2i   z1  z2  ?
A. w  10  4i

B. w  10  4i

C. w  10  4i

D. w  10  4i
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Hướng dẫn giải
�
z  1  i
2
2
z2  2z  3  0 �  z  1  1  0 �  z  1  i 2 � �1
.
z

�z2  5
�
�
�z  5
�
z1  1 2i
1
��
.
Ta có: �
�z  5
z2  1 2i
�
�
�2
2

2

A  z1  z2  4 z1 . z2


 5   5
2

2

 4. 5. 5

 5  5  4.5  10.

2

 7 � P  14.

4

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 12. Biết z1 , z2 là các nghiệm của phương trình 2z2  3z  3  0. Tính
T  z12  z22 .
A. T  

9
4

B. T 

9
4

C. T  

45
16

D. T  

3
4


2
5

C. T 

 2
10

D. T 

2
10

Hướng dẫn giải
T

1 1 z1  z2  2



.
z1 z2
z1z2
5

Câu 14. Phương trình z2  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1 2i . Tổng 2 số a
và b bằng :
A. 0.


B. 12.

C. 240.

D. 5.

Hướng dẫn giải
Ta có:   (1 2i )2  4.(17  19i)  65  72i  (9  4i)2 � z  4  3i
�
a 7
z2  a bi � (4  3i)2  a bi � 7  24i  a bi � �
� ab
.  168
b


24
�
Câu 16. Xác định m để phương trình z2  mz  3i  0 có 2 nghiệm phức z1 , z2 thõa
mãn z12  z22  8.
A. m  3  i hoặc m  3  i.

B. m  3  i hoặc m  3  i.

C. m  3  i hoặc m  3  i.

D. m  3  i hoặc m  3  i.
Hướng dẫn giải

z12  z22  8 �  z1  z2   2z1z2  8 �  m  6i  8

z12  z22  3z1.z2  20  7i
�  z1  z2   5z1.z2  20  7i
2





� m2  10m 4   25  9m i  20  7i
2
�m  10m 4  20
��
�25  9m  7
� m 2

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


Câu 18. Cho phương trình z2  mz  2m 1  0 trong đó m là tham số phức; giá trị
m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  10.
A. m  2  2 2i ; m  2  2 2i.

B. m  4  2 3; m  4  2 3

C. m  1 3i; m  2  3i.

D. m  1 3i ; m  1 3i.
Hướng dẫn giải

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải
 '  m2  6m 1�R



 



TH1:  '  0 hay m� �;3  10 � 3  10; �
2
2
Khi đó z1  z2  10 � z1  z2  2 z1z2  10.

�  1 m   2m 1  2m 1  10
2

�
�
2m 1 �0
�
�
�
2


 loai 


7

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất




Khi đó: z1  z2  10 �

Hay

 1 m

2



1 m i  m2  6m 1
2








�
3



2

2



�
z1  2i
.
Vậy hai nghiệm phức của phương trình là �
z


2
i
�2
P  z1  z2  4.
Câu 21. Gọi

z1 , z2 , z3

là ba nghiệm của phương trình

z3  1  0. Khi đó


�
z
+
z
+
1
=
0
2
�
�
�
� - 1- 3i
�
z=
�
2
�
S  3.
8

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 22. Phương trình z4  z2  6  0 có 4 nghiệm phức phân biệt. Khi đó tổng
môđun của các nghiệm phức trong phương trình là:
A. 4

B. 2 3  2 2



B. T  2 7.

C. T  3  2 7.

D. T  6  2 7.

Hướng dẫn giải
�
z2  9
4
2
�
Ta có : z  2z  63  0 � �2
z  7
�

�
z  �3
.
�
z  �i 7
�

Câu 25. Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình z4  4z2  77  0. Tính
tổng S  z1  z2  z3  z4 .
A. S  2 7  2 11

B. S  2 7  2 11





 1 z3  i  0

2

A. 3.

B. 4.

C. 6.

D. 8.

Hướng dẫn giải
�
z  i
�
z  i
�
z  �1
z  �1
��
�
 z  i  z2  1 z3  i  0 � �
�
�
z



�z  1 �
Câu 27. Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình �
�  1 Giá trị
�2z  i �











2
2
2
2
của P  z1  1 z2  1 z3  1 z4  1 là:

A.

17
.
9

B.


2z  i

�
X  �1
�
X  �i
�

10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


X  1�

X i�

z1
2 4
13 16
 i � z  1  (2z  i)i � z3   i � z32  1 

i
2z  i
5 5
25 25

X  i �




B. P  3 .

C. P  11.

D. P  12 .

Hướng dẫn giải
Ta có 2x  3   1 2y i  2 2  i   3yi  x
�
2x  3  4  x
�  2x  3   1 2y i   4  x   3y  2 i � �
�
1 2y  3y  2
�

�x  1 .
�
�y  3

2
Suy ra x  3xy  y  1 3.1. 3   3  13.

Câu 29. Cho số phức thỏa mãn z   1 2i  z  2  4i Tìm môđun của w  z2  z ?
A.

10.

B. 10.


A. m  1.

B. m  �2.

C. m  �3.

D. m  �1.

Hướng dẫn giải
�
z1,2  �2i
z4   4  m z2  4m  0 � z2  4 z2  m  0 � �
nếu m �0 hoặc
z3,4  � m
�
�







�
z1,2  �2i
��
nếu m  0.
z3,4  � m
�
�

C. x  2 và y  8 hoặc x  2 và
y  8.

D. x  4 và y  16 hoặc x  4 và y  16.
Hướng dẫn giải
Với x, y �R ta có

 x  2i 

2

�x2  4  0
 yi � x  4  4xi  yi � �
�
4x  y
�
2

�x  �2
�
�y  4x

với x  2 � y  8; x  2 � y  8.
2
Câu 32. Cho  x  2i   3x  yi  x, y �R . Giá trị của x và y bằng:

A. x  1 và y  2 hoặc x  2 và y  4.
B. x  1 và y  4. hoặc x  4 và
y  16 .
C. x  2 và y  5 hoặc x  3 và y  4.

C. � ; �
�4 4 �

�5 3 �
.
B. � ;  �
�4 4 �

�43 9 �
.
D. � ; �
� 4 4�

Hướng dẫn giải

 2x  4y  1   x  3y i   4x  2y  3   3x  y  5 i
�
13
x


�
�
2x  4y  1  4x  2y  3 �
2x  6y  2
�
4
��
��
��

�a2  1

� z1  2i , z2  1 i
Câu 35. Tìm số phức z thỏa mãn z2  1  1 2 3i ?
A. 1 3i và 1 3i .

B. 1 3i và 1 3i .

C. 1 3i và 1 3i .

D. 1 3i và 1 3i .
Hướng dẫn giải

Ta có z2  1  1 2 3i � z2  2  2 3i
Gọi z  a bi � z2  a2  b2  2abi  2  2 3i

14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


�2 3
a  2  2
2
2
�
�
a  b  2 �
�
a

Câu 36. Số phức z thỏa mãn z  z  3  4i
A. z  

7
 4i.
6

B. z  7  4i.

C. z  7  6i.

D. z  7  6i.

Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi . từ z  z  3  4i suy ra:

a2  b2  a  bi  3  4i � b  4 và

� a2  16   3  a  9  6a  a2 � 6a  7 � a  
2

Vậy z  

a2  16  a  3.

7
6

7
 4i.

1
��
a 
�
2
��

2

2

2

2

�2b2  a  0
�
b(2a  1)  0
�

�
1 �
1
a 
a 
�
�
b 0 �
�
�


là:
A. a  �2b.

B. a  3b .

C. b  �2a.

D. b  3a .

Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi

 a, b�R , suy ra

z  a  bi .

Theo giả thiết, ta có  a  bi   a  bi   3�
 a bi    a bi  �
�
� 5  12i
�
a2  b2  5
� a2  b2  6bi  5  12i � �
�
6b  12
�

�
a  �1

Câu 40. Tìm số phức z biết z thỏa mãn phương trình
B. 1 i.

A. 1.

C. 1 i.

z
z

z 2
D. i.

Hướng dẫn giải
z
z

 z  2 � z  z.z  2z

� a  bi  a2  b2  2 a  bi 





� a  a2  b2  bi  2a  2bi
�
�
a 1
�z1


1 2i
1 3i
z
Câu 41. Tìm số phức z , biết
.
1 i
2  3i
A. z 

2 36

i.
65 65

B. z 

2 20

i.
65 65

C. z 

30 36

i.
65 65

D. z 

B. z1  z2.

D. z1   z2.

Hướng dẫn giải

z1 z1 �z2 � z1  z2 �0. .

Thì

z1  z2
z  z �z  z �
z z z z
là số ảo � 1 2  �1 2 � 0 � 1 2  1 2  0
z1  z2
z1  z2 �z1  z2 �
z1  z2 z1  z2





�  z1  z2   z1  z2   �  z1  z2   z1  z2   0 � 2 z1 z1  z2 z2  0
� z1 z1  z2 z2  0 � z1  z2  0.

Câu 43. Số phức z  a  bi thỏa mãn

A. 5.

B.


z

2

z

 2iz 

2 z  i 
1 i

 0�

2 z  i   1 i 
z.z
 2iz 
0
z
 1 i   1 i 

� z  2iz   z  i   1 i   0 �  a  bi   2i  a  bi    a  bi  i   1 i   0

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


�
1

z1  2 � a2  b2  2 và z2  a2  b2  2abi là số thuần ảo nên a2  b2  0
�
a  1; b  �1
Do đó �
.
a  1; b  �1
�
Câu 45. Số phức z thỏa mãn: z   2  i   10 và z.z  25 là:
A. z  3  4i và z  5.

B. z  3  4i và z  5.

C. z  4  3i và z  5.

D. z  4  3i và z  5.
Hướng dẫn giải

Đặt z  x  yi ; x, y �R
�
�
(x  2)2  (y  1)2  10
�z   2  i   10
�
� �2
�
�
2
x

y


Hướng dẫn giải
Đặt z  a  bi

 a, b�R , suy ra

z  a  bi .

18

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất






2
2
Từ zz  10 z  z , ta có  a  bi   a  bi   10 �
 a bi    a  bi  �
�
�� a  b  20a  1

Hơn nữa, số phức z có phần ảo bằng ba lần phần thực nên b  3a  2
a 2
�a  0
a2  b2  20a �
�
��

1
z 2
1
Từ  
�

�
z w z w
zw z  w
zw  z  w
2

� z2  w2  zw  0 � z2  zw 

1 2 3 2
w  w 0
4
4
2

2
2
� 1 �
3 2
� 1 � �i 3w �
� �z  w�   w � �z  w�  �
�
�
4
� 2 �

� 1 i 3�
�2
 �
�
�
�2
2 �
�
�

Suy ra:

w

2017
1 3

4 4

 2017.

Câu 48. Cho hai số phức u, v thỏa mãn u  v  10 và 3u  4v  2016. Tính
M  4u  3v .
A.

2984.

B.

2884.

2

2

2



2



2
Tương tự ta có M  16 u  9 v  12 uv  vu .



2

2
2
Do đó M  N  25 u  v

2

  5000. .

Suy ra M 2  5000  N 2  5000  2016  2984 � M  2984. .
Câu 49. Giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu để bình phương số phức
z


Giả sử w  z  �
�
2
2i
2i.2i
�1 i �  1 i 
2







36m 2 m2  81 i
4

Để w  z2 là số thực �

�m2  81�
 9m �
i.
�
� 2 �

m2  81
 0 �  m 9  m 9  0 � m  �9 .
2


�
1 mi
1 m2
.
2m2  3m 1 m2  m 2


i
1 m2
1 m2

m 1 2 m 1 i

Để z là số thực � m2  m 2  0 � m  1 hoặc m  2 .
Vậy m  1 hoặc m  2 .

Câu 51. Xét số phức z 

1 m
1
m�R . Tìm m để zz
.  .

1 m(m 2i )
4

1.
B. m �

A. m 1� 2.

 1 m  1 m 
1
z.z  �
2

4

2

 1 m 
2

4

2



4m2  1 m

 1 m 
2

4

2



 1 m  1 m 

�1 m � 4
�1 m   1
�
�
2
1 m2
�
Câu 52. Cho số phức z 



4

2



 1 m
1
 �
4
1 m2



2



2

m 1
i 

1 m 2mi
1 m 2i  1
1 m 2i  1
21

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


� z i 

3m 1  m 1 i
1 m 2mi

1

� 3m 1  m 1 i  1 m 2mi �  3m 1   m 1   1 m  4m2
2

2

2

1
� 5m2  6m 1  0 � 1  m   .
5
Vì m�Z � Không có giá trị của m thỏa mãn.
Câu 53. Tìm phần thực của số phức z   1 i  , n �� thỏa mãn phương trình

D. Tích của ba số đó luôn bằng 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: z1  z2  z3  1 � 1 z1  z2  z3.
22

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Nếu 1 z1  0 thì z2  z3  0 � z2   z3.
Nếu 1 z1 �0 thì điểm P biểu diễn số phức 1 z1  z2  z3 không trùng với góc
tọa độ O.
Gọi M là điểm biểu diễn của số phức  z1 và A là điểm biểu diễn của số 1.
uuur uuuur uuur
Khi đó ta có OA  OM  OP (do P là điểm biểu diễn của số 1   z1  ) nên OAPM
là hình bình hành. Mà z1  z2  z3  1 nên các điểm biểu diễn cho ba số z1 , z2 , z3
đều nằm trên đường tròn đơn vị. Ta cũng có OA  OM  1 nên OAPM là hình
thoi. Khi đó ta thấy M , A là giao điểm của đường trung trực đoạn OP với đường
tròn đơn vị.
Tương tự do P cũng là điểm biểu diễn của z2  z3 , nếu M ' và A ' là hai điểm
biểu diễn của số z2 , z3 thì ta cũng có M ', A ' là giao điểm đường trung trực của
OP và đường tròn đơn vị.
Vậy M ' �M , A ' �A hoặc ngược lại. Nghĩa là z2  1, z3   z1 hoặc z3  1, z2   z1 .
Do đó A. B là mệnh đề đúng.
C đúng là hiển nhiên, vì nếu ba số đều 1 một thì tổng bằng 3.

D sai vì với z1  1, z2 

2
2
2

�
4a  b  3
� 4a  b   3a  2b i  3  4i � �
�
3a  2b  4
�

�
a 2
�
b 5
�

Vậy z  2  5i.

 Dạng 3. Modul nhỏ nhất, lớn nhất

Câu 56. Cho số phức z thoả mãn điều kiện z  2  3i  3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
z.
A.

13  3.

B. 2.

C.

13  2.

D. 2.


i.
13
26

B. z 

26  2 13 78  3 13

i.
13
26

C. z 

26  13 78  13

i.
13
26

D. z 

26  13 78  13

i.
13
26

Hướng dẫn giải