CHƯƠNG 3. HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO
3.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
3.1.1 Lựa chọn bậc tự do
Ý nghóa: thực tế kết cấu thường là hệ phân bố,
có vô hạn bậc tự do. Đưa về sơ đồ một bậc tự do
chỉ thích hợp trong một số trường hợp đặc biệt, khi
hệ hầu như chỉ dao động với một dạng nhất đònh.
Để thu được kết quả chính xác hơn, ta phải đưa hệ
kết cấu về hệ rời rạc nhiều bậc tự do. Số bậc tự do
được chọn dựa vào bài toán cụ thể.
Các cách chọn bậc tự do: có hai cách
- Chọn biên độ dao động tại một số điểm rời
rạc: bao gồm phương pháp dồn khối lượng và phần
tử hữu hạn (FEM) để rời rạc hóa.
- Chọn tọa độ suy rộng, là biên độ của một số
kiểu (pattern) biến dạng của hệ.
3.1.2 Phương trình cân bằng động
Để đơn giản ta xét hệ liên tục như hình vẽ, với
các bậc tự do là chuyển vò tại các điểm 1, 2, 3, ...,
N.
Tại mỗi điểm (nút) có các lực tác dụng: tải
trọng p
i
(t), lực quán tính f
Ii
, lực cản f
Di
, và lực đàn
hồi f
Si
. Phương trình cân bằng nút i:







IN
I
I
f
f
f

2
1
, [f
D
]=













S
f
f
f

2
1
, [p(t)] =














)(
)(
)(
2
1
tp
tp
tp

(t)
v
N
(t)
1
2
i
Ν
p(x,t)
m(x)
EI(x)
chiều dương
chuyển vò
chiều dương
của lực
chuyển vò
f
Di

f
Ii
m
i
v
i
(t)
p
i
(t)
f


2
1
=












NNNN
N
N
kkk
kkk
kkk




21
22221
11211













DN
D
D
f
f
f

2
1
=











N
v
v
v




2
1
(3.4)
với c
ij
là lực tại nút i do
j
v

= 1 gây ra, gọi là hệ số
ảnh hưởng cản.
hay: [f
D

]= [C][
v

] (3.5)
trong đó: [C] là ma trận cản (Damping Matrix)
- Lực quán tính







NNNN
N
N
mmm
mmm
mmm




21
22221
11211













Hệ N phương trình vi phân chuyển động:
[M][
v

] + [C][
v

] + [K][
v
] = [p(t)] (3.8)
Phương trình trên là phương trình mang tính
chất tổng quát của bài toán động lực học.
Tùy thuộc vào [p(t)] mà ta có các trường hợp
phân tích động lực học của hệä:
Phân tích dao động tự do,
Phân tích phản ứng của hệ với tải trọng động
như tải gió, động đất, sóng biển...
3.1.3. Ảnh hưởng của lực dọc (nén)
Lực dọc làm tăng thêm chuyển vò nút, nên sẽ
có vai trò như lực nút tác dụng theo chiều của
chuyển vò nút, ký hiệu bởi ma trận [f
G
]. Khi này
phương trình cân bằng nút (3.1) trở thành:
[f
I
] + [f
D
] + [f
S

1
=












GNNGNGN
NGGG
NGGG
kkk
kkk
kkk




21
22221
11211




][v]
(3.11)
trong đó: [K
G
] là ma trận cứng hình học
(Geometric - Stiffness Matrix)
Phương trình (3.9) trở thành:
[M][
v

] + [C][
v

] + [K][
v
] – [K
G
][v] = [p(t)] (3.12)
hay: [M][
v

] + [C][
v

] + [
K
][
v
] = [p(t)] (3.13)
với: [

1
p
1
+ f
i
2
p
2
+ .... + f
iN

p
N

i =
1, N
Dạng ma trận:
f
1j
2j
f
ij
f
jj
f
Nj
f
1 2 3
j
Ν







NNNN
N
N
fff
fff
fff




21
22221
11211












3
S1
f
S2
f
S3
f
1
v v
2
v
3
1
i
j
Ν
1
i
Ν
j
j
v=1
1
p=k
1j
p=k
i ij
p=k
N
Nj

trận độ mềm [f] hoặc dùng phương pháp phần tử
hữu hạn (FEM).
3.2.1.3 Các khái niệm cơ sở
- Thế năng biến dạng: (bằng công ngoại lực)

]][[
2
1
]][[
2
1
2
1
1
pvvpvpU
TT
i
N
i
i
==
∑
=
=
(3.18)
Theo (3.16) vào (3.18) ta được:

]][][[
2
1

s
] = [v]
Mặt khác (3.17): [v] = [f].[f
s
]
suy ra: [f] = [K
-1
] hoặc [K] = [f
-1
] (3.22)
Thường xác đònh ma trận cứng thông qua ma trận
mềm theo (3.22).
- Đònh lý Betti:
“Công khả dó của lực ở trạng thái (a) trên chuyển
vò ở trạng thái (b) bằng công khả dó của lực ở
trạng thái (b) trên chuyển vò ở trạng thái (a)”
[p
a
T
]

[v
b
] = [p
b
T
]

[v
a

v
a
1
a2
p
a
2
v
a3
p
v
a
3
b
1
p
b1
v
b
2
p
b2
v
b
3
p
b3
v
1
2 3

2






L
x
+ 2
3






L
x
(a)
ψ
3
(x) = x(1-
L
x
)
2
(b)
ψ
2

−1
2
L
x
L
x
(d) (3.26)
EI(x)
L
x
a
b
v(x)
1
v
v
3
2
v
4
v
1
a
v =v =1
1
θ
=v =1
a
3
ψ














4
3
2
1
v
v
v
v
=









= k
13
δ
v
1
Momen do
θ
a
= 1 gây ra là: M(x) = EI(x)
''
3
ψ
(x)
Công khả dó của nội lực: W
I
=
δ
v
1
dxxxxEI
L
)()()(
''
3
0
''
1
ψψ
∫
θ

=W
E
suy ra: k
13
=
dxxxxEI
L
)()()(
''
3
0
''
1
ψψ
∫
(3.28)
Tổng quát hóa:
k
ij
=
dxxxxEI
j
L
i
)()()(
''
0
''
ψψ
∫

f
f
f
=
3
2
L
EI













−
−
−−−
−
22
22
233
233
3366

là gần đúng. Độ chính xác sẽ cao hơn, nếu chia
dầm ra các phần tử nhỏ hơn.
Hệ số độ cứng k
ij
của kết cấu bằng tổng các hệ
số cứng tương ứng của các phần tử nối vào nút.
Chẳng hạn, nếu các phần tử m, n, p cùng nối vào
nút i thì hệ số cứng của kết cấu tại nút i là:
k
ii
=
)(m
ii
k
+
)(n
ii
k
+
)( p
ii
k
(3.31)
trong đó
)(m
ii
k
,
)(n
ii

2
3
21
L
L
EI
k = )3(
2
3
31
L
L
EI
k =
2L
L
EI
EI
4EI
v
1
v
2
v
3
EI
EI
4EI
k
11

2
3
2233
L
L
EI
Lx
L
EIx
L
L
EI
kk =+==
)2(
2
)2(
)2(
42
2
3
2
3
32
L
L
EI
L
L
EIx
k ==


3
2
1
22
22
3
3
2
1
623
263
3312
2
v
v
v
LLL
LLL
LL
L
EI
f
f
f
S
S
S
Chú ý: Bài toán động lực học của hệ phân bố
thường đòi hỏi nhiều bậc tự do hơn so với bài toán



N
m
m
m
00
0
0
00
2
1




(3.32)
trong đó: m
ij
= 0 với i
≠
j, vì gia tốc tại khối lượng
nào chỉ gây ra lực quán tính tại khối lượng đó.
3.2.2.2 Ma trận khối lượng tương thích (Consistent
- Mass Matrix)
Xét
phần tử dầm
có hai bậc
tự do mỗi
nút. Dùng

v =
δ
v
θ
=v =1
a
3
a
(chuyển vò khả dó)
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ
v
m =p
1
13
a
1
f (x)
Ι
1
1
..
..
)()(
33
xvxv
ψ

I
)()(
0
δ
∫
hay m
13
=
dxxxxm
L
)()()(
3
0
1
ψψ
∫
KL suy rộng m
ij
=
dxxxxm
j
L
i
)()()(
0
ψψ
∫
(3.35)
vì m
ij

=
420
][ LM













−−−
−
−
−
22
22
432213
341322
221315654
132254156
LLLL
LLLL
LL
LL

cứng.
Thí dụ
Thành lập ma trận khối lượng cho kết cấu như
hình vẽ theo hai phương pháp. Quá trình tính các
hệ số khối lượng được chỉ rõ trên các hình vẽ.
Ma trận khối lượng thu gọn:
[M] =










0
0
840
210
Lm
m
11
m
21
m
31
1
=1

0.5L 0.5L
0.5L
1.5L
m
11
= 4L
m
22
= m
33
= 0
m
22
= m
33
= 0 vì giả thiết rằng khối lượng thu gọn
không có quán tính xoay, tức là các gia tốc góc tại
nút không gây ra momen quán tính.
Ma trận khối lượng tương thích:
768
210
25.1)2156(
420
11
Lm
Lxmx
Lm
m =+=
L
Lm

420
25.1
L
Lm
Lx
Lxm
m −=−=
[M] =










−
−
22
22
261811
182611
1111786
210
LLL
LLL
LL
Lm

Tuy nhiên, để xác đònh hàm c(x) trong thực tế
thì không làm được. Thường tính cản của kết cấu
xác đònh bởi thực nghiệm bằng tỉ số cản
ξ
.
3.2.4 Tải trọng
Nếu tải trọng tác dụng trên phần tử thì phải
thay thế bằng tải trọng nút tương đương, dùng khái
niệm lực suy rộng. Có hai phương pháp:
3.2.4.1 Tải trọng nút tương đương tónh học
Xem như tải trọng đặt trên dầm phụ có mắt
truyền lực đặt tại nút. Lực truyền vào nút sẽ thay
thế cho tải trọng đặt trên phần tử. Như vậy không
truyền mô men tập trung vào nút.
3.2.4.2 Tải trọng nút tương thích
p(x,t)
q(x,t)
F(t)
p
i
(t) p
j
(t)
Lực nút tương đương
Tải
trọng nút được tính theo nguyên lí chuyển vò khả
dó, dùng các hàm nội suy
ψ
i
(x). Thí dụ:

i
(t) =
ζ
(t)
dxxx
L
i
∫
0
)()(
ψχ
(3.39)
p
a
3
p
1
p
4
b
2
p
L
δ
v(x)=
ψ
(x)
δ
v
1

Xấp xỉ tuyến tính: 1 BTD/nút
Giả sử lực dọc trong phần tử i là N
i
. Coi phân
tử i thẳng thì lực nút f
Gi
và f
Gj
được xác đònh theo
lực nén N
i
trên hình vẽ. Viết lại dạng ma trận:
i
v
j
v
i j
x
v
N
O
N
N
i
i
Li
i
v
j
v




−
−
=






j
i
i
i
Gj
Gi
v
v
l
N
f
f
11
11
(3.40)
Ma trận cứng hình học của kết cấu dầm:



















+−
−+−
−+−
−+
=










n
n
N
i
i
i
i
i
i
i
i
Gn
Gi
G
G
v
v
v
v
L
N
L
N
L
N
l
N
l
N
l

1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
2
1
00
0
0
00
(3.41)
có dạng 3 vệt chéo. Viết dạng kí hiệu:

]][[][ vKf
GG
=
(3.42)
+ Độ cứng hình học tương thích:
Dùng khái niệm phần tử hữu hạn, ta thu được




























−−
−−
−−−

30
v
v
v
v
LLLL
LLLL
LL
LL
L
N
f
f
f
f
G
G
G
G
(3.44)











Ma trận [K
G
] của kết cấu suy ra từ [
e
G
K
] tương
tự như [K], [M].
3.2.6 Lựa chọn cách thiết lập ma trận tính chất
Có 2 cách tính gần đúng các ma trận khối
lượng, độ cứng hình học, tải trọng:
- Phương pháp sơ cấp chỉ xét chuyển vò thẳng.
- Phương pháp tương thích xét cả chuyển vò
thẳng chuyển vò xoay.
Về nguyên tắc, phương pháp tương thích cho
độ chính xác cao hơn, vì xét đầy đủ và hệ thống
hơn các phần năng lượng liên quan đến sự làm
việc động của kết cấu. Tuy nhiên, trong thực tế thì
độ chính xác của phương pháp tương thích không
trội bao nhiêu so với phương pháp sơ cấp, nhưng
khối lượng tính toán thì lớn hơn nhiều, vì bậc tự do
xoay đóng vai trò kém quan trọng so với chuyển vò
thẳng.
Phương pháp sơ cấp dễ dàng hơn, vì các ma
trận xuất phát dễ tính hơn và số bậc tự do phải xét
cũng ít hơn.
Nếu phương pháp thu gọn khối lượng được
dùng với ma trận cứng thiết lập bằng FEM (tức là
kể đến bậc tự do chuyển vò xoay) thì có thể loại
trừ các chuyển vò xoay này trong phương trình