BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHẦN

Câu 1:

1a
vuông góc với nhau. Xem hình vẽ bên. 4 Tính thể tích của .
A. .
23a 3
V( H ) =
34
C. .

(CHUYÊN KHTN L4) Gọi là phần giao của ( H ) hai khối hình trụ có bán kính , hai trục hình trụ
B. .
D. .

π a 33
V(VH( )H =
=
)
42

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A.

aa)2 − x 2
O
H
S ( x )Oxyz
(=Ox


độ như
hình tròn
hình
Thể tích khối là .

học có những mảnh đất mang
hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó
được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong
toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được
tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ
là như hình vẽ bên.
S1 biết rằng mỗi đơn vị trong hệ
Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli Oxy

y viên

Toán

x
tọa độ tương


ứng với chiều dài mét.
SS ==

A.
C.

125
125


1
125
125 3
x 25 − x 2 dx =
⇒S=
(m )
∫
40
12
3
OMH
x
Ox
M
=
4
V
=
V
2
V
x = ay( 0H1

Chọn D.
Ta có . Khi đó
Ta có
M a; a
OMH
Ox
Khi quay tam giác quanh trục

4

x =0⇔ x=0
V = π ∫ xdx = 8π

(

0

)

tạo thành hai hình nón có chung đáy:
O1 )== aa
N
( OK
Rh1==MK
h2R == HK
( NH2=)=4 −aa
MK

1

Hướng dẫn giải

y

(C ) : x 2 + y 2 = R 2

Chọn C
Oxy

Gắn hệ trục như hình vẽ

Khối cầu chứa một đường tròn lớn là S ( O, R )

( C) : x

2

2

+y =R

2

O

R
2

R


) +c

 Gọi là parabol đi qua điểm và có đỉnh (hình vẽ). Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối
tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi , trục hoành và hai đường thẳng quay quanh trục.
 Dễ dàng tìm được
2
( P ) : y = − x 2 + 0, 4
 Thể tích thùng rượu là:
5
0,5

2

 2

V = π ∫  − x 2 + 0, 4 ÷ dx = 2π
5

−0,5 

2

203π
 2 2

∫0  − 5 x + 0, 4 ÷ dx = 1500 ≈ 425,5 (l)

0,5

Chọn A.

V1 =  −
.5 ≈ 3, 070 (m3 )
÷
÷
3 4 
V2 = V − V1 = 5π − 3, 07 ≈ 12, 637 (m 3 ).
Chọn B.

Câu 7: Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều
rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Vậy số tiền bác Năm
phải trả là:
A. 33750000 đồng.
B. 12750000 đồng.
C. 6750000 đồng.
D.3750000 đồng.
Hướng dẫn giải
 Gắn parabol và O(0;0)
( P)
hệ trục tọa độ
sao cho đi qua
 Gọi ( P ) : y = ax 2 + bx + c

B (1,5;
O(3;0)
A((0;0)
P2,
) 25)
3

S = ∫ − x 2 + 3 x dx =

815
ππ dm
.
dm
dm232. .
Hướng
dẫn giải
232




r1 = y1 = 1 ⇒ x1 = 0

x

15
V = π ∫ y 2 dx = π ∫ ( x + 1) dx = π  + x ÷ 30 = π
2
 2

0
0
3

3

2

Suy

21m
m333. C.

Oxy
y

O

Ta có

Nên ta có hệ phương trình sau:

D. .

x

Gọi là Parabol đi qua hai điểm
( P19
) : y = ax 2 + c
A  1 ;0 ÷, B ( 0; 2 )
2

8

 19 
 2 
8 2
0 = a.  ÷ + 2
a = −
⇔

 2

2

Nên ta có hệ phương trình sau:
19
 10  1
5
 8 2
 
V = 5.2  ∫  − x 2 + ÷dx − ∫ 2  −
x + 2 ÷dx  = 40m3
0
0
2
 361
 
  40

Ta có thể tích
của bê tông là:
100.000
10m
16m
8m2
1m
Câu 10:Ông An có

một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng ﾧ và độ dài trục bé bằng ﾧ. Ông muốn trồng hoa
trên một dải đất rộng ﾧ và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để

5

y=−
64 − y 2 ( E1 )

x
y
8
+
=1⇒ 
64 25
 y = 5 64 − y 2 ( E )
1

8
2

2

( E ); ( E );5 x4 = −4; x = 4
5
64 − 1x 2 dx =2 ∫ 64 − x 2 dx
8
20
−4
4

S = 2∫

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ﾧ và diện tích của dải vườn là ﾧ

đường thẳng
tại điểm có
hoành độ âm
và đồ thị
hàm số cho
bởi hình vẽ
dưới đây:
Tính diện
tích của
hình
phẳng
giới hạn
bởi đồ thị
và trục
hoành.

( CS)

A..
B..
S =27
21
59
S=
C.. D..
44
Hướng
dẫn
giải
Chọn B.

Diện
tích

hình phẳng cần tìm là: .
y = x 4( O
C
−mmx3)x 2 + m

∫ (x
1

−2

3

− 3 x + 2 ) dx =

Câu 12: `(CHU VĂN AN – HN) Cho hàm
số có đồ thị với là tham số thực. Giả

sử cắt trục tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :
y

( Cm )
S3
O

S1

S1 + SSm2132 = S3

S1 + S2 = S3
b

∫(
0

)

x 4 − 3 x 2 + m dx = 0 ⇒

Nếu xảy ra thì

b5
b4
− b3 + mb = 0 ⇒ − b 2 + m = 0 (2) ( do b > 0 )
5
5

4 4
5
b − 2b2 = 0 ⇒ b2 = (do b > 0)
5
2
Thay trở ngược vào (1) ta được .

m=

5
4


S

c6
c1

((m
m33))

C.

5
135 3
(m 3 )
84

D.

1m
c2

c3

c5
c4

O
3m

Hướng dẫn giải


6
6 4

3 37
1
135 3
V = ∫ S (t )dt = ∫
dt
=
.
 − 2t + ÷
đề bài là:
÷
2
2
4
8
0
0



với

Câu 14: Một vật có x 2 + y 2 = 16
kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn, cắt vật
bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Thể tích của vật thể là:

A.
C.

3
−4
−4


Câu 15: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta dự

131
128
28
26
((m
33
định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm
cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)

A.

B.

C.

D.

Chọn hệ trục như hình vẽ.
Ta có

Hướng dẫn giải
Oxy
2

MN
BC
MNEIF
MNEF
ABCD
EIF
==12
=264 m
m
m

A. 20.400.000 đồng.
C. 20.800.000 đồng.

12 m
I

A

B
E

F

6m

Câu 16:
Một công ty quảng cáo X muốn
làm một bức tranh trang trí hình
ở chính giữa của một bức tường

x +6
O của MN, trục hoành trùng với đường thẳng
6
MN thì parabol có phương trình là .
2
- Khi đó diện tích của khung tranh là
208 2
 1 2

S
=
m
- Suy ra số tiền là: đồng
208∫  − x + 6 ÷dx =
6
9
×

900.000
=

20.800.000
−2
9
Câu 17: Một khối cầu có bán kính là ,
53 ( dm )
người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng
hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường
kính và cách tâm một khoảng để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Tính thể tích mà chiếc
lu chứa được.


Cách 1: Trên hệ trục tọa độ , xét
đường tròn . Ta thấy nếu cho
nửa trên trục của quay quanh trục ta được mặt cầu bán kính bằng 5. Nếu cho hình phẳng giới
hạn bởi nửa trên trục của , trục , hai đường thẳng quay xung quanh trục ta sẽ được khối tròn
xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.
Ta có
( x − 5) 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ± 25 − ( x − 5) 2
Nửa trên trục của có phương trình
⇒
Thể tích vật thể tròn xoay khi cho quay ( Ox
H ) quanh là:

⇒2)
C
y = 25 − ( x − 5) 2 = 10 x −( Ox
x

2


x3 
52π
V1 = π ∫ ( 10 x − x ) dx = π  5 x 2 − ÷ =
3 0
3

0
2



Cách 2: Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích
Vậy thể tích của chiếc lu
4
52
V = Vc − 2V1 = π .53 − 2 π = 132π
là
3
3
2
600.000
60m
100
2m
m
Câu 18:
Một sân chơi cho trẻ em
hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng là người ta làm một con đường nằm trong sân (Như hình
vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường viền ngoài
có trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là .
Kinh phí cho mỗi làm đường đồng. Tính tổng số tiền làm con đường đó. (Số tiền được làm tròn đến
hàng nghìn).
A. B.
C. D.

293904000.
283904000.
283604000.
293804000.


48 48 28 2

Phương trình Elip của đường
viền trong của con đường là .

Phần đồ thị của nằm phía trên trục hoành có phương trình .
Sf12 )( x )
y =( E
Gọi là diện tích của và bằng hai lần
diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số . Gọi là diện tích của và bằng
hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số .
S
Gọi là diện tích con đường. Khi đó
50

S = S1 − S 2 = 2 ∫ 30 1 −
−50

48

x2
x2
d
x
−
2
28
1
−
dx

π
;x = a⇒ t =
2
2

Đổi cận .
π
2

π
2

π
2

I = 2 ∫ b 1 − sin 2 t .a cos t dt = 2ab ∫ cos 2 t dt = ab ∫ ( 1 + cos 2t ) dt
−

π
2

−

π
2

−

π
2

12π
C. .D. .
72
72
VV== π
Hướng dẫn giải
55
Chọn A.
Chọn gốc tọa độ trùng với đỉnh
A ( −2;6
0;0
( PO
)PI3,) B.x)2( .2;6 )
yI =
của parabol Vì parabol đi qua các
2
điểm và nên parabol có phương trình
6
Ta có . Khi đó thể tích của
 32 2 x 2 = 2 y 3
V = πy∫= xy ÷⇔
dy = 12π ( cm ) .
23 
3
0
4 cm
A
B
O


2
. Khi đó phần nửa cung tròn phía
+ −y 2x=2 =
36f (x)
y = x 36
trên trục Ox có phương trình
x=3
Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 x =y −=3;f (x)
lần diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục
hoành, đồ thị và hai đường thẳng
3

2
S = t2⇒
36=−6πxπ
dxtdt
x⇒
= 6sin
dx
cos
Đặt . Đổi cận : ;
∫
x x= =−3−3⇒ t = −
π
π
π
66
6
6
6 70000.S ≈ 4821322