ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức:
- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi
các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b.
- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung
- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối
nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox
2. Về kỹ năng:
- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức
tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt
- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn
xoay nói riêng
3. Về tư duy, thái độ:
- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích
- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập
II. Chuẩn bị:
1. Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK
2. Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới
III. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong
2. Kiểm tra bài cũ: Tính
 


2
1

Ox và các đường
thẳng x = a, x = b.
- GV giới thiệu 3
trường hợp:
+ Nếu hàm y = f(x)
liên tục và không
âm trên


ba; . Diện
tích S của hình
- Tiến hành giải hoạt
động 1 - Hs suy nghĩ

đường cong và trục hoành

dxxfS )(

+ Nếu hàm y = f(x)

0 trên


ba; . Diện
tích


b
a
dxxfS ))((

+ Tổng quát:


b
a
dxxfS )(

HĐTP2: Củng cố
công thức
- Gv đưa ra ví dụ 1
SGK, hướng dẫn
học sinh thực hiện
- Gv phát phiếu học
phẳng giới hạn bởi Parabol
23
2
 xxy và trục hoành
Ox .
Bài giải
tập số 1
+ Phân nhóm, yêu
cầu Hs thực hiện
- Tiến hành hoạt
động nhóm
Hoành độ giao điểm của
Parabol 23
2
 xxy và trục
hoành Ox là nghiệm của
phương trình






2
1
023
2

dxxxS

HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường
cong
HĐTP 1: Xây dựng
công thức
- GV treo bảng phụ
hình vẽ 54 SGK
- GV đặt vấn đề
nghiên cứu cách tính
diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đồ thị - Theo dõi hình vẽ - Hs lĩnh hội và ghi
nhớ

2. Hình phẳng giới hạn bởi
hai đường cong
Cho hai hàm số y = f
1
(x) và y
= f
2
(x) liên tục trên


phẳng được tính theo công
thức


b
a
dxxfxfS )()(
21
cầu Hs thực hiện

+ Treo bảng phụ,
trình bày cách giải
bài tập trong phiếu
học tập số 2

- Theo dõi, thực hiện - Hs tiến hành giải
dưới sự định hướng
của giáo viên.
- Hs thảo luận theo
nhóm và tiến hành
giải.
Hoành độ giao điểm
của 2 đường đã cho
là nghiệm của ptrình

x
2
+ 1 = 3 – x

x
2
+ x – 2 = 0

c
a
b
d
d
c
c
a
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxf
dxxfxfS
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
)()(
21
21
21
21
21
21


3. Bài mới:
HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể
TG

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng
- Giáo viên đặt vấn
đề như SGK và
thông báo công thức
tính thể tich vật thể
(treo hình vẽ đã
chuẩn bị lên bảng)
- Hs giải quyết vấn
đề đưa ra dưới sự
định hướng của giáo
viên II. Tính thể tích
1. Thể tích của vật thể
Một vật thể V giới hạn bởi 2
mp (P) và (Q). Chọn hệ trục
toạ độ có Ox vuông góc với
(P) và (Q). Gọi a, b (a < b) là

b
a
dxxSV )(

HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp
cụt
- Xét khối nón (khối
chóp) đỉnh A và diện
tích đáy là S, đường
cao AI = h. Tính
diện tích S(x) của
thiết diện của khối
2
2
.)(
h
x
SxS 
Do đó, thể tích của
khối chóp (khối nón)
là:
3
.
.
0
2
2
hS
dx
h

cụt, nón cụt giới hạn
bởi mp đáy có hoành
độ AI
0
= h
0
và AI
1
=
h
1
(h
0
< h
1
). Gọi S
0

và S
1
lần lượt là diện
tích 2 mặt đáy tương
ứng. Viết công thức
tính thể tích của khối
chóp cụt này.
- Củng cố công thức:
+ Giáo viên phát
phiếu học tập số 3:
Tính thể tích của vật


3
SSSS
h
V 
thể nằm giữa 2 mp x
= 3 và x = 5, biết
rằng thiết diện của
vật thể bị cắt bởi mp
vuông góc với Ox tại
điểm có hoành độ x
(


5;3x ) là một hình
chữ nhật có độ dài
các cạnh là 2x,
9
2
x
Yêu cầu Hs làm việc
theo nhóm
- Gv yêu cầu Hs
trình bày - Đánh giá bài làm
và chính xác hoá kết
9.2)(
2
 xxxS

Hoạt động của giáo
viên
Hoạt động của học
sinh
Ghi bảng
- Giáo viên nhắc lại
khái niệm khối tròn
xoay: Một mp quay
quanh một trục nào
đó tạo nên khối tròn
xoay
+ Gv định hướng Hs
tính thể tích khối
tròn xoay (treo bảng
phụ trình bày hình - Thiết diện khối
tròn xoay cắt bởi mp
vuông góc với Ox là
hình tròn có bán
kính y = f(x) nên
III. Thể tích khối tròn xoay
1. Thể tích khối tròn xoay 

của thiết diện khối
tròn xoay cắt bởi mp
vuông góc với trục
Ox? Viết công thức
tính thể tích của
khối tròn xoay này.
diện tích của thiết
diện là:
)(.)(
2
xfxS


Suy ra thể tích của
khối tròn xoay là:


b
a
dxxfV )(.
2


HĐ2: Củng cố công thức
- Gv hướng dẫn Hs
giải vd5, vd6 SGK

- Chia nhóm học
sinh, yêu cầu Hs làm
việc theo nhóm để

xoay tạo thành khi quay hình
phẳng (H) xác định bởi các
đường sau quanh trục Ox
a)
23
3
1
xxy  , y = 0, x = 0 và x
= 3
b) xey
x
cos. , y = 0, x =
2

, x =


Giải:

35
81
3
2
9
3
1
3
0
45
6

b)
 
).3(
8

2cos.
2
.
2
cos.
2
22
2
22
22








ee
xdxedxe
dxxeV
xx
x



c) xyxy 3,2
2
 .
d) 0,4
2
 yxxy .
e) exyxy



,0,ln .
f) 8,1,
3
 xyyx .
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol 22
2
 xxy tiếp tuyến
với nó tại điểm M(3;5) và trục tung .
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox .
a)
4
,0,0,cos

 xxyxy .
b)

 xxyxy ,0,0,sin
2
.