LOGARIT
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa:
Cho hai số dương a , b với a  1 . Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là lôgarit cơ số

a của b và kí hiệu log a b . Ta viết: a = b .
2. Các tính chất: Cho a, b  0, a  1 , ta có:
•

log a a = 1, log a 1 = 0

•

a loga b = b, log a ( a ) = 

3. Lôgarit của một tích: Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a  1 , ta có
•

loga ( b1b2 ) = log a b1 + log a b2

4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương a, b1 , b2 với a  1 , ta có
b1
= log a b1 − log a b2
b2

•

log a

•



1
1
và log a b = log a b với .

log c a

7. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
•

Lôgarit thập phân và lôgarit cơ số 10. Viết: log10 b = log b = lg b

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


•

Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số e . Viết: log e b = ln b

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Tính giá trị biểu thức
2. Rút gọn biểu thức
3. So sánh hai biểu thức
4. Biểu diễn giá trị logarit qua một hay nhiều giá trị logarit khác
C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH
1. Tính giá trị của một biểu thức chứa logarit
Ví dụ: Cho a  0, a  1 , giá trị của biểu thức a
A. 16


B.

ab
a+b

C. a + b

D. a 2 + b 2

3. Tìm các khẳng định đúng trong các biểu thức logarit đã cho.
Ví dụ: Cho a  0, b  0 thỏa điều kiện a 2 + b 2 = 7ab . Khẳng định nào sau đây đúng:
A. 3log ( a + b ) =

1
( loga + logb )
2

B. log ( a + b ) =

C. 2 ( log a + log b ) = log ( 7ab )

D. log

3
( loga + logb )
2

a+b 1
= ( loga + logb )

log 2 5

1
D.  
 16 

log 0,5 2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 115:

Với giá trị nào của x thì biểu thức f ( x ) = log2 ( 2 x −1) xác định?
1

A. x   ; + 
2



Câu 116:

1

B. x   −;  C. x 
2


C. −1  x  1

Cho a  0, a  1 , giá trị của biểu thức A = a
A. 8

log

a

4

bằng bao nhiêu?

C. 4

D.2

B. 2

C. 4

D. 3

B. 3

C. 4

D. 5



Với giá trị nào của x thì biểu thức f ( x ) = log5 ( x3 − x 2 − 2 x ) xác định?
A. x  ( 0;1)

Câu 120:

/ ( −2;2)

Với giá trị nào của x thì biểu thức f ( x ) = log 6 ( 2 x − x 2 ) xác định?
A. 0  x  2

Câu 119:

B. x 

D. x 

B.

Giá trị của biểu thức C =

1
3

C. -3

D. −

1
3

6

C. log 1
3

B. log 1 9

6
5

C. log 1 17

D. log 3

6
5

D. log 5

1
15

5

5

B. 4ln a + 2

3
2

D. 6 log a e

x
y
= log3 a + log3 b thì x + y bằng bao nhiêu:
5
15

B. 3

B.

D. ln 2 a + 2

C. 2 ln 2 a − 2

B. 4ln a

Cho a  0, b  0 , nếu viết log3

C. 2

D. 4

−0,2

= x log5 a + y log5 b bằng bao nhiêu?
C. −

1

A. 4ln a + 6log a 4

Câu 130:

5

B. 625

A. 2 ln 2 a + 2
Câu 129:

a2

D.

Trong các số sau, số nào nhỏ nhất?
A. log 5

Câu 128:

4log

1
2

Trong các số sau, số nào lớn nhất?
A. log

Câu 127:


4


A. 2a − 6b
Câu 134:

B. x =

Cho a, b, c  0; a  1 và các số  

1
log b a

B. log a b.logb c = log a c
D. loga ( b.c ) = loga b + loga c

C. log ac b = c log a b

Cho a, b, c  0;a, b  1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
B. log a b = log a c  b = c

A. a loga b = b
C. log b c =

log a c
log a b

D. log a b  log a c  b  c

Cho a, b, c  0, a  1 . trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Câu 140:

. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Cho a, b, c  0; a  1 , trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. log a b =

Câu 137:

b3
a2

D. loga ( b − c ) = loga b − loga c

C. log a b =  log a b

Câu 136:

D. x =

C. x = a 2b3

B. log a a = 1

A. log a a c = c

Câu 135:

a2
b3


A. loga ( bc ) = loga b + log a c

b
B. log a   = log a b − log a c
c

C. log a b = c  b = a c

D. loga ( b + c ) = loga b + loga c

Số thực x thỏa mãn điều kiện log 2 x + log 4 x + log8 x = 11 là:
11

B. 2 6

A.64
Câu 143:

D. 4

Số thực x thỏa mãn điều kiện log x 2 3 2 = 4 là
A. 2

Câu 144:

C. 8

B.



Câu 146:

B. 24

(

53
30

B.

37
10

D. 25

)

C. 20

1
2

B.

D.

3
4

A. 20

Câu 147:

C. 12

1
5

B.

3
4

C. 1

D.

1
4

D.

91
60


 là:



Câu 153:

Các số log3 2, log 2 3, log3 11 được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là:
A. log3 2, log3 11, log 2 3

B. log3 2, log 2 3, log3 11

C. log 2 3, log3 2, log3 11

D. log3 11, log3 2, log 2 3

Số thực x thỏa mãn điều kiện log x ( x + 2) là:
A. 5

Câu 154:

B.-25

Số thực x thỏa mãn điều kiện log 3 x + log 9 x =
A.-3

Câu 155:

B. 25

D. -3

3
là:
2

D. x = y 2

1
= 1( y  0, x  x ) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định
y

sau?
A. 3x = 4 y
Câu 158:

Câu 159:

B. x = −

3
y
4

C. x =

3
y
4

D. 3 x = −4 y

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. log a x 2 = 2 log a x ( x 2  0 )

B. loga xy = log a x + log a y

 a+b
B. 4 log 
 = log a + log b
 6 

 a+b 1
C. log 
 = ( log a + log b )
 3  2

Câu 161:

Cho log 2 6 = a . Khi đó giá trị của biểu thức log3 18 được tính theo a là:
A. a

Câu 162:

C. 2a + 3

1 − 4a
2

B. 2 (1 + 4a )

C. 1 + 4a

m+2
4

B.

a +1

D. 2 ( a − b + 1)

Biết log5 3 = 0 ,khi đó giá trị của biểu thức log15 75 được tính theo a là:
2+a
1+ a

B.

1 + 2a
a +1

C.

1+ a
2+a

D. 2

Biết log 4 7 = a ,khi đó giá trị của biểu thức log 2 7 là:
A.

Câu 168:

2a − 1
a −1

Cho a = log3 15, b = log3 10 ; khi đó giá trị của biểu thức log 3 50 được tính theo a là:



Câu 163:

 a+b
D. log 
 = 3 ( log a + log b )
 3 

2a

1
B. a
2

1
C. a
4

Biết log5 3 = a khi đó giá trị của biểu thức log 3

D. 4a

27
được tính theo a là:
25

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8


3−b

C.

Cho loga b = 3 . Khi đó giá trị của A = log

A. −
Câu 173:

C.

3a − 2
a

D.

a
3a − 2

b +1
a +1

D.

a ( b + 1)
3 + ab

a
3− a



B.

3
4

C.

3
b
a

a
3+b

D.

a
3+ a

b
được tính theo a là:
a

1
3

D. −

3


3ac + 3b
3+ a

1
1
1
+
+ ... +
là:
log 2 x log 3 x
log 2000 x

C.

1
5

D. 2000

Biết a = log 7 12, b = log12 24 . Khi đó giá trị của biểu thức log54 168 được tính theo a

là:
A.

Câu 176:

a ( 8 − 5b )
1 + ab − a


c4

3
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

9


Câu 177:

(

A. −
Câu 178:

37
10

C. 016

D. -48

B.

35
10

C.

Câu 181:

B. -5

a 5 a3 3 a 2
Rút gọn biểu thức B = log 1
, ta được kết quả là:
a4 a
a
A. −

Câu 180:

16 3
3

Rút gọn biểu thức A = loga a3 a 5 a , ta được kết quả là:
A.

Câu 179:

)

Cho log a b = 3, log a c = −4 . Khi đó giá trị của log a a 2 3 bc 2 được tính theo a là:

ab
a+b

B.



D. 5ab + a − b = 0

D.

ac + 1
abc + 2c + 1

D. 6ab

Biết log3 ( log4 ( log2 y ) ) = 0 ,khi đó giá trị của biểu thức A = 2 y + 1 là:
B. 17

C. 65

D. 133

Cho log5 x  0 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. log x 5  log x 4

Câu 186:

C.

Biết a = log12 18, b = log 24 54 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. 33
Câu 185:

abc + 2c + 1

2

C. log x

Câu 187:

Trong bốn số 3
1
A.  
 16 

Câu 188:

1
, 
4

log 2 5

 1
, 
 16 

log 0,5 2

số nào nhỏ hơn 1?

log 0,5 2

B. 3

 


Biểu thức log 2  2sin  + log 2  cos  có giá trị bằng;
12 
12 


A. -2

câu 190:

log 3 2

,3

A. M  1  N
Câu 189:

1
D. log x . 3 log x 5  0
2

1
1
 log5
2
2
log 3 4


x  −4;2 ?
B. m  −3

A. m  −3
Câu 192:

D. m  −3

C. m  −3

Với giá trị nào của m thì biểu thức f ( x ) = log3

( m − x )( x − 3m)

xác định với mọi

x  ( −5;4 ?
A. m  0
Câu 193:

B. m 

4
3

C. m  −

5
3



Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a log3 7 = 27, b log7 11 = 49, c log11 25 = 11 . Giá trị của biểu

log 7
log 11
thức A = a ( 3 ) + b( 7 ) + c ( log11 25) là:
2

2

A. 519
Câu 195:

2

B. 729

D. 129

Kết quả rút gọn của biểu thức C = log a b + logb a + 2 ( log a b − log ab b ) log a b là:
A. 3 log a b

Câu 196:

C. 469

B. log a b

C.


a
b
;log 2b ;log 2c  −1
b
c c
a a

B. log 2a
b

D. log 2a
b

c
a
b
;log 2b ;log 2c  1
b
c c
a a

c
a
b
;log 2b ;log 2c  1
b
c c
a a

Gọi (x,y) là nghiệm nguyên của phương trình 2 x + y = 3 sao cho P = x + y là số dương

Biểu thức f ( x ) xác định  2 x − 1  0  x 

1
. Ta chọn đáp án A.
2

Câu 2: Biểu thức f ( x ) xác định  4 − x2  0  x  ( −2;2) . Ta chọn đáp án A.
Câu 3: Biểu thức f ( x ) xác định 

x −1
 0  x  ( −; −3)  (1; + ) . Ta chọn đáp án B.
3+ x

Câu 4: Biểu thức f ( x ) xác định  2 x − x2  0  x  ( 0;2) . Ta chọn đáp án A.
Câu 5: Biểu thức f ( x ) xác định  x3 − x2 − 2 x  0  x  ( −1;0)  ( 2; + ) . Ta chọn đáp án C.
Câu 6: Ta có A = a

log

a4

=a

log

a1 2

4

= a 2loga 4 = a loga 16 = 16 . Ta chọn đáp án B.


Ta có E = a

Câu 12:

+ Tự luận: Đưa về cùng 1 cơ số và so sánh
Ta thấy log 3

a2

= a2

log a 5

Câu 11:

= a loga 25 = 25 . Ta chọn đáp án C.

6
5
6
> log 3 = log 1 = log
5
6
3 5

3

5
. Ta chọn đáp án D.

Câu 14:

+tự luận
Ta

có A = ln 2 a + 2 ln a.log a e + log a2 e + ln 2 a − log 2a e = 2 ln 2 a + 2 ln e = 2 ln 2 a + 2 .

Ta

chọn đáp án A.
+trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, thay a = 2 rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt các
biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.
Câu 15:

+tự luận
Ta có B = 2 ln a + 3log a e − 3log a e − 2 ln a = 0 = 3ln a −

3
. Ta chọn đáp án C.
log a e

+trắc nghiệm: sử dụng máy tính, thay a = 2 rồi lấy biểu thức đã cho trừ đi lần lượt các
biểu thức có trong đáp số, nếu kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp số.

(

5

3



1


1
1
= log5  a −2 .b 6  = −2log5 a + log5 b  x. y = − .ta chọn đáp án
6
3



C.
Câu 18:

Ta có: log 3 x = log 3 8 + log 3 5 − log 3 9 = log 3

Câu 19:

Ta có: log 7

40
40
x=
. Ta chọn đáp án B.
9
9

1
a2


khi

a 1

,

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

còn

14


Câu 23:

Câu C sai, vì log a b  c  b  a c

Câu 24:

Câu D sai, vì

Câu 25:

Ta có log3 ( log 2 a ) = 0  log 2 a = 1  a = 2 . Ta chọn đáp án D.

Câu 26:

Đáp án A đúng với mọi a, b, c khi các logarit có nghĩa.


a
= 4 log a b + 2 log a 2 = 2 . Ta chọn đáp án A.
log a a
b
b2

+Trắc nghiệm: sử dụng máy tính, thay a = b = 2 , rồi nhập biểu thức log a b 2 +

2
log a a
b2

vào máy bấm =, được kết quả P = 2 . Ta chọn đáp án D.
+Tự luận: P = log a b3 .logb a 4 = 2.3.4 = 24. Ta chọn đáp án A.

Câu 31:

+Trắc nghiệm: Sử dụng máy tính, thay a = b = 2 ,
thức log a b .log b a 4 vào máy bấm =, được kết quả P = 24 . Ta chọn đáp án B.

rồi

nhập

biểu

3

Câu 32:



+ Trắc nghiệm: sử dụng máy tính, thay a = 2 rồi nhập biểu thức log a a3 a 5 a vào
máy, bấm =, được kết quả bằng P =

Câu 34:

37
. Ta chọn đáp án B.
10

+Tự luận: A = log16 15.log15 14...log 5 4.log 4 3.log 3 2 = log16 2 =

1
4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

15


+Trắc nghiệm: sử dụng máy tính, rồi nhập biểu thức A = log3 2.log 4 3.log5 4...log16 15
vào máy, bấm =, được kết quả bằng A =

Câu 35:

1
. Ta chọn đáp án D.
4

 a3 3 a 2 5 a3

20002  1999.2001  log 2000 20002  log 2000 2001.1999






 2  log 2000 2001 + log 2000 1999  log1999 2000  log 2000 2001

Câu 38:

Ta có log3 2  log3 3 = 1 = log 2 2  log 2 3  log3 11

Câu 39:

log3 ( x + 2) = 3  x + 2 = 33  x = 25

Câu 40:

log 3 x + log 9 x =

3
1
3
 log 3 x + log 3 x =  x = 3
2
2
2

Câu 41:


2

 2 log 2 ( x + 2 y ) = 4 + log 2 x + log 2 y  log 2 ( x + 2 y ) = 2 +

Câu 46:

1
( log 2 x + log 2 y )
2

Ta có: Chọn C là đáp án đúng, vì
a 2 + b 2 = 7ab  ( a + b ) = 9ab  log ( a + b ) = log 9ab
2

 2 log ( a + b ) = log 9 + log a + log b  log

2

a+b 1
= ( log a + log b )
3
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

16


Câu 47:

2
2

chọn đáp án D.
+ Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán log 2 5 cho A
Lấy log 4 1250 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D.

Câu 49:

Sử dụng máy tính: Gán log 7 2 cho A
Lấy log 49 28 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D.

Câu 50:

Sử dụng máy tính: Gán log 2 5;log 5 3 cho A,B
Lấy log10 15 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D.

Câu 51:

+Tự luận: Ta có: a = log3 15 = log3 (3.5) = 1 + log3 5  log3 5 = a −1
Khi đó: log3 50 = 2log3 (5.10 ) = 2 ( log3 5 + log3 10 ) = 2 ( a + b ) . ta chọn đáp án B.
+Trắc nghiệm:
Sử dụng máy tính: Gán log3 15;log3 10 cho A,B
Lấy log 3 50 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

a
1

Lấy log 24 15 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D.

4 (3 − a )
log 2 27
3log 2 3
2a
=
 log 2 3 =
 log 6 16 =
log 2 12 2 + log 2 3
3− a
3+ a

Câu 56:

Ta có: a = log12 27 =

Câu 57:

Ta có: log125 30 =

Câu 58:

Ta có: log a b = 3 

câu 59:


 A=−

3
3

3b
 log 2 5 = 3ac
c

3 ( ac + b )
1+ c

A = log x 2 + log x 3 + ... + log x 2000 = log x (1.2.3....2000 ) = log x x = 1

Câu 60:

Ta có:

Câu 61:

Sử dụng máy tính: Gán log 7 12;log12 24 cho A,B
Lấy log54 168 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.
Ta chọn đáp án D.

a 2 b3
= log a a 2 + log a b3 − log a c 4 = 2 + 3.2 − 4. ( −3) = 20 . Ta chọn đáp án A.
4
c



Câu 65:

Thay a = e , rồi sử dụng máy tính sẽ được kết quả B = −

Câu 66:

Ta có: log 6 5 =

Câu 67:

Sử dụng máy tính: Gán log 2 3;log5 2;log5 3 cho A,B

91
. Ta chọn đáp án A.
60

log 2 5.log3 5
1
1
1
ab
.
=
=
=
=
log5 6 log5 ( 2.3) log5 2 + log5 3 log 2 5 + log3 5 a + b

Lấy log140 63 trừ đi lần lượt các đáp số A,B, C, D. Kết quả nào bằng 0 thì đó là đáp án.

1
3log3 4 = 4;32log3 2 = 3log3 4 = 4;  
4

log 2 5

−2

= 2−2log2 5 = 2log2 5 = 5−2 =

1 1
; 
25  16 

log 0,5 2

= ( 2−4 )

− log 2 2

= 2log2 2 = 24 = 16
4

Chọn đáp án D.
Trắc nghiêm: nhập vào máy tính từng biểu thức tính kết quả, chọn kết quả nhỏ hơn 1.
Câu 74:

+Tự luận:
Ta có log 0,5 13  log o,5 4  0  3



 
log 2  2sin  + log 2  cos  = log 2  2sin .c os  = log 2  sin  = log 2 = −1
12 
12 
12
12 
6
2




Chọn đáp án B.
Biểu thức f ( x ) xác định  x − m  0  x  m .

Câu 76:

Để f ( x ) xác định với mọi x  ( −3; + ) thì m  −3 Ta chọn đáp án C.
Thay m = 2

Câu 77:

vào

(3 − x )( x + 2m)  0  x  ( −4;3)

điều

(3 − x )( x + 2m)  0

ta

được

mà ( −5;4  ( −6; −2) nên đáp án C loại. Ta chọn đáp án đúng là D.

+Tự luận:
Đặt − log 2 log 2

... 2 = 2− m 

... 2 = m . Ta có: log 2

.. 2 = 22− m .

ncanbac hai

ta thấy:

1
2

2=2 ,

2 =2

1
 
2


a log3 7

)

log3 7

Ta

(

+ blog7 11

có:

)

log 7 11

+ ( c log11 25 )

log11 25

= 27log3 7 + 49log7 11 +

( )
11

log11 25

1

 a



a
a
1 + log a b 
log a b  1 + log a b 

−1

Câu 82:

(

)

3

log a b

2

b
c
b 
c
c
c
* log c = log a   = − log a  log 2a =  − log a  = log a2


Vì x + y  0 nên trong hai số x và y phải có ít nhất một số dương mà x + y = 3 − x  0

nên suy ra x  3 mà x nguyên âm x = 0; 1; 2;...
+ Nếu x = 2 suy ra y = −2 nên x + y = 1
+ Nếu x = 1 thì y = 1 nên x + y = 2
+ Nếu x = 0 thì y = 3 nên x + y = 3
+ Nhận xét rằng: x  2 thì x + y  1 . Vậy x + y nhỏ nhất bằng 1.
Suy ra. Chọn đáp án A.
Câu 84:

(*)  log 2 a + log3 2.log 2 a + log5 2.log 2 a = log 2 a.log3 5.log5 a.log5 a

 log 2 a. (1 + log 3 2 + log 5 2 ) = log 2 a.log 3 5.log 52 a
 log 2 a. (1 + log 3 2 + log 5 2 − log 3 5.log 52 a ) = 0

a = 1
a = 1
log 2 a = 0



1 + log 3 2 + log 5 2  
2


log
a
=



Chọn đáp án A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21