THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TAM GIÁC
 Dạng 62. Thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều

Câu 1. Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2 a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .

3a 3 2
A. V =
.
2

3a 3
C. V =
.
2

a3
B. V =
.
2

D. V = a3 .

Lời giải tham khảo

1 a2 3
a3
V= .
.2a 3 = .


Lời giải tham khảo

SABC

a2 3
a 33
, h=
=
4
3

 VS. ABC =

a3 11
.
12

Câu 3. Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích

V của khối chóp đã cho.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


A. V =

1 3

2
3

A

C
O

2

a
8a
SO = SA – AO = 3a −
=
3
3
2

2

2

M

2

2

B


8

D. V =

a3 3
.
24

Lời giải tham khảo

·

Gọi M là trung điểm của cạnh BC , khi đó h = SA = AM. tan SMA =

a3 3
3a
V =
.
8
2

Câu 5. Khối chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh SA = 3a và SA vuông góc
với mặt phẳng đáy ( ABC ) . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V =

3a 3 . 3
.
4

B. V =

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓

Câu 6. Cho hình chóp S. ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của S

trên mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm của cạnh AB , góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng đáy

( ABC ) bằng 300 . Tính thể tích V
a3 3
A. V =
.
8

của khối chóp S. ABC .

a3 2
B. V =
.
8

a3 3
C. V =
.
24

a3 3

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 7. Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và SA = a 2 . Tính thể tích V của
khối chóp đã cho.
A. V =

a3 5
.
6

B. V =

a3 5
.
12

C. V =

a3 3
.
12


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


Câu 8. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho AH =

2
AC , đường thẳng SB tạo với mặt
3

phẳng đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V =

a3 15
.
36


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 9. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có AB = a, SA = 2a . Một khối trụ có một đáy là
hình tròn nội tiếp tam giác ABC , đáy còn lại có tâm là đỉnh S . Tính thể tích V của khối trụ
đã cho.
A. V =

 a3 33
9

.

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 10. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc
của đỉnh S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho AH =

D. V =

a3
.
18

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


24

D. V =

a3
.
4

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


.
4

. .........................................................................

C. V =

a3
.
12

D. V =

3a 3
.
4

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có AB = a , cạnh bên SA tạo với đáy một góc 600 .
Một hình nón có đỉnh là S , đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính diện tích xung
quanh Sxq của hình nón đã cho.
A. Sxq =

4 a2
.
3

B. Sxq =

2 a2
.
3

C. Sxq =

 a2
6

.

D. Sxq =

 a2
2

.

. .........................................................................


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 14. Cho hình chóp đều S. ABC . Người ta tăng cạnh đáy lên gấp 2 lần. Để thể tích giữ
nguyên thì tan của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy phải giảm đi bao nhiêu lần?
A. 8 lần.

B. 2 lần.

C. 3 lần.

D. 4 lần.

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 15. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a . SA vuông góc với đáy,

SA =

a 2
. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
2
A. V =

a3 6
.
4

B. V =

3a 3 6
.
8

C. V =

a3 6
.
8

D. V =


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


 Dạng 63. Thể tích khối chóp có đáy là tam giác vuông

Câu 16. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 5 ,
mặt bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích

V của khối chóp S. ABC .
A. V =

a3 3
.


Câu 17. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB = a, SA
vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC ) bằng 300 .
Gọi M là trung điểm của cạnh SC . Tính thể tích V của khối chóp S.ABM .
A. V =

a3 3
.
12

B. V =

a3 3
.
18

C. V =

a3 3
.
24

D. V =

a3 3
.
36

Lời giải tham khảo
Diện tích đáy : S =


B. R =

a 2
.
2

C. R =

3a 2
.
4

D. R =

a 6
.
2

Lời giải tham khảo
Gọi điểm M là trung điểm của BC . Từ M , kẻ trục d1 của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Trong mặt phẳng ( SA , d1 ) , kẻ trung trực d2 của cạnh bên SA .
Khi đó d1  d2 = {I} là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chóp

S.ABC .
SA 2 BC 2 a 6
+
=
Ta có R = IA = IM + MA =


D. 2a .

Lời giải tham khảo
AB = a 2; SSAB =

S

a
a2
a 2.SH a2
.
 SH =

=
2
2
2
2
C

A

H
B

Câu 20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , cạnh
BC = a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên ( SBC ) tạo với mặt đáy

( ABC ) một góc bằng 450 . Tính thể tích V

Lời giải tham khảo
* Ta có: AB = a 3, (SBC )  ( ABC ) = BC

S

Gọi M là trung điểm BC

AM ⊥ BC ( vì ABC cân tại A )
SM ⊥ BC ( vì AM = hc SM )

C
45

A

( ABC )

M

· , A M = SMA
·
SBC ),(A BC ) = SM
= 450
 (·

(

) (

)

2

1
1 a2 a 2 a3 . 2
.
= .SABC .SA = . .
=
3
3 2 2
12

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

11


 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ✓

Câu 21. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại A , AB = a 3, AC = a. Mặt bên

SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V = a3 .

B. V =

a3
.
3

C. V =


. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 22. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết AB = a; AC = 2a .
SA ⊥ ( ABC ) và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .

A. V =

3a 3
.
4

B. V =

a3
.

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


Câu 23. Cho khối chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông tại B . Cạnh SA vuông góc với đáy,
·CB
góc A
= 600 , BC = a và SA = a 3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB . Tính thể tích V của
khối tứ diện MABC .

a3
A. V = .
2

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 24. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cận tại A, AB = a, mặt bên

SBC là tam giác vuông cận tại S và nằm trong mặt phẳng vuông O . Tính thể tích V của
khối chóp S. ABC .
A. V =

a3
.

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


2

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................


12

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................



a3 3
.
18

D. V =

a3
.
30

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

3

C. a .

a3 3
D.
.
3

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


Câu 29. Tình thể tích V của khối tứ diện đều cạnh a .

2a3
.
12

A. V =

B. V =

2a3
.
4

C. V =

3 2a3
.
4

2a3
.
24

D. V =

Lời giải tham khảo

S

2a 3
=
SH
.
S
=
.
=
.
S. ABC
ABC
3
3 3
4
12

Câu 30. Tính thể tích V của khối tứ diện đều cạnh a 3 .
A. V =

a3 6
.
4

B. V =

a3 6
.
8

C. V =


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

17


 Dạng 65. Thể tích khối chóp có đáy là tam giác
thường

·
·SC = 900.
= 600, A
Câu 31. Cho hình chóp S. ABC có SA = SB = SC = a, A·SB = CSB
Tính

thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V =

a3 2
.
12

B. V =

a3 2
.
4

C. V =


Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V =

a3 6
.
6

B. V =

a3 2
.
4

C. V =

a3 2
.
12

D. V =

a3 6
.
18

Lời giải tham khảo
Gọi M là điểm trên đoạn SC sao cho SC = 3SM .
Tính được AB = BM = a , AM = a 2 , suy ra ABM vuông tại B , suy ra trung điểm H của

AM là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM . Suy ra SH ⊥ ( ABM ) .


B. d =

a
3

C. d =

.

a
.
2

D. d =

a
.
3

S

Lời giải tham khảo

1
1
1
1
3
a

a.
7

C. V =

2 3 3
a.
21

D. V =

2 3 3
a.
7

Lời giải tham khảo
Ta có:

D

VD. AHK SA SK DH 1 DH . D B 1
AD 2
=
.
.
= .
=
.
VD. ABC SA SC DB 2
2 AD 2 + AB2

1
1
1
2a 3
DA.SABC = 2a. 2a.a 3 =
3
3
2
3

Suy ra

VAHKD = VD. AHK =

4a 3 3
.
21

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

19


·

Câu 35. Hình chóp S. ABC có SA = 3a và SA ⊥ ( ABC ) , AB = BC = 2a , A BC = 1200.
Tính thể tích V của khối chóp S. ABC .
A. V = a3 3 .

B. V = 3a3 3 .


a3 6
.
8

C. V =

a3 6
.
24

D. V =

a3 2
.
4

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................



Câu 37. Cho tứ diện ABCD có AB = 2, AC = 3, AD = BC = 4, BD = 2 5 , CD = 5. Tính thể tích

V của tứ diện ABCD .
A. V =

15
.
2

B. V =

15
.
3

C. V = 15 .

D. V = 3 15 .

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


Câu 38. Cho khối tứ diện

S. ABC với SA, SB, SC vuông góc từng đôi một và SA = a,

SB = 2a, SC = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC , BC . Tính thể tích của
khối tứ diện SCMN .
A. V =

2a3
.
3

B. V = a3 .

C. V =

3a 3
.
4

D. V =

a3
.
4

. .........................................................................

.......................................................................


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

21


Câu 39. Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC , BD đôi một vuông góc với nhau. Cho biết

BA = 3a, BC = BD = 2a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính thể tích V
của khối chóp C.BDNM.
A. V = 8a .
3

2a3
B. V =
.
3

3a 3
C. V =
.
2

D. V = a3 .


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

Câu 40. Cho hình chóp tam giác có đường cao bằng 100 cm và các cạnh đáy bằng 20 cm, 21
cm, 29 cm. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
A. V = 6000 cm3 .

B. V = 6213 cm3 .

C. V = 7000 cm3 .

D. V = 7000 2 cm3 .

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................


Câu 41. Cho hình chóp S. ABC có M , N lần lượt là trung điểm của SA và SB . Tính tỉ số thể
tích

VS. MNC
.
VS. ABC

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

22


A.

VS. MNC 1
= .
VS. ABC
2

B.

VS. MNC 1
= .
VS. ABC 6

C.

VS. MNC 1
= .


.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

. .........................................................................

.......................................................................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

23


THỂ TÍCH KHỐI CHÓP TỨ GIÁC

 Dạng 66. Thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành

Câu 42. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC . Mặt
phẳng ( P ) qua AM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q . Tính tỉ số thể


Lời giải tham khảo
Vì mp song song với BD nên PQ song song với BD . Gọi O là tâmhình bình hành ABCD .
Suy luận được SO, AM, PQ đồng qui tại G và G là trọng tâm tam giác SAC .
Suy luận được tỉ số

SQ SP 2
=
= ;
SD SB 3

Chứng minh được tỉ số thể tích :

Suy ra được:

VSAQM + VSAPM
VSADC + VSABC

=

VSAQM
VSADC

=

VSAPM 1
= ;
VSABC 3

V

6

D. t =

1
.
16

Lời giải tham khảo
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

24


Gọi I là giao điểm của BP và MN .
Khi đó

IS BO PD
PD
SP 1
.
.
=1
=2
= .
IO BD PS
PS
SD 3


1
.
4

C. t =

3
.
8

D. t =

VS. BCNM
.
VS. ABCD

1
.
8

Lời giải tham khảo
VS. BCNM = VS. MBC + VS. MNC



VS. MBC 1 VS. MNC 1
3
= ,
=  VS.BCNM = VS.ABCD .

1
.
8

D. t =

2
.
3

Lời giải tham khảo

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

25