KHOẢNG CÁCH – GÓC – HÌNH CHIẾU

 Dạng 113. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M1 ( 2; 3; 1) và đường thẳng

:

x+ 2 y −1 z +1
=
=
. Tính khoảng cách d từ điểm M1 đến đường thẳng  .
1
2
−2
A. d =

10 2
.
3

B. d =

10 3
.
3

C. d =

10
.

10 2
.
3

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ( d ) :
Tính khoảng cách d từ gốc tọa độ O ( 0; 0; 0 ) đến đường thẳng ( d ) .
A. d = 3 .

B. d = 2 .

C. d = 0 .

x y +1 z −1
=
=
.
2
−2
1

D. d = 1 .

Lời giải tham khảo
Lập PT mp đi qua O ( 0; 0; 0 ) vuông góc ( d ) và cắt ( d ) tại H .
Khoảng cách từ O đến đường thẳng là độ dài đoạn OH .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1



B. d =

529
.
19

C. d =

529
.
19

từ M đến giao tuyến của

D. d =

529
19

.

Lời giải tham khảo
Gọi Giao tuyến là đường thẳng ( t ) . VTCP của ( t ) là tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến
của ( P ) và ( Q ) .
Giao tuyến ( t ) qua A ( −2; −3; 0 ) .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng ( t )
Tính d = MH =

529

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 2 y − z + 3 = 0 và
điểm A ( 1; −2; 13 ) . Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) .
A. d =

1
.
2

B. d =

4
.
3

C. d = 4 .

D. d =

2
.
3

Lời giải tham khảo

• d = d ( A; ( P ) ) =

2.1 − 2( − 2) − 13 +3
22 + ( −2)2 + ( −1)2

=

C. d = 1 .

D. d = 11 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


Lời giải tham khảo
d ( M ,( P) ) =

2( −2) – ( –4) + 2.3 −3
4 +1+ 4

=

3
= 1.
3

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ( d1 ) :

x +1 y z −1
= =
,
2
3
3


5
.
3

Lời giải tham khảo

Giao điểm A của ( d1 ) và ( d2 )

x + 1 y z − 1
 2 = 3 = 3
 1 3 7
4
 A  − ; ;   d( A ,( P )) = .
thỏa: 
3
 2 4 4
 −x + 1 = y = z − 1
 2
1
1

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm E ( 2; 4; 5 ) , mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + 2z + 6 = 0

và đường thẳng d :

x+1 y−3 z−2
=
=

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4


Khoảng cách d từ A đến ( P ) : d =

2+2+9+1
14

= 14.

Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + 5z + 4 = 0 và
điểm A ( 2; −1; 3 ) . Tính khoảng cách d từ A đến ( P ) .
A. d =

24
13

B. d =

.

24
14

Khoảng cách d từ A đến ( P ) : d =

C. d =


21 26
.
26

A đến ( P ) .

C. d = 26 .

D. d = 21 .

Lời giải tham khảo

(

)

d A, ( P ) =

4.3 − ( −1) + 3.2 + 2
4 2 + ( −1) + 32
2

=

21
26

=

21 26

17
.
6

D. d = 2 2 .

Lời giải tham khảo
Chọn M ( 0; 0; 5 )  mp ( ) . Tính được: d ( ( ); (  ) ) = d ( M ; (  ) ) .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


Câu

15.

Trong

không

gian

với

hệ

tọa


2 2 + 32 + 6 2

= 4.

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : 2x + 2 y − z − 11 = 0
và (Q) : 2x + 2y − z + 4 = 0 . Tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
A. d = 3.

B. d = 5.

C. d = 7.

D. d = 9.

Lấy A ( −2; 0; 0 )  ( Q )

d ( ( P); (Q) ) = d ( A; (P) ) =

2.( −2) + 3.0 + 6.0 − 11
22 + 22 + 12

= 5.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

6


 Dạng 116. Bài toán về góc



( d ) và ( ABC ) . Tính sin .
A. sin =

5
.
2

B. sin =

10
.
8

C. sin =

10
.
5

D. sin =

10
.
2

Lời giải tham khảo
BA = (0; 3; 6); BC = ( −3; −6; 3)
1
Vtpt , mp( ABC ) : n =  BA , BC  = (5, −2,1)

=
=
. Tính góc  giữa đường thẳng ( d ) và mặt phẳng
2
1
1

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


A.  = 45o.

B.  = 30o.

C.  = 60o.

D.  = 120o.

Lời giải tham khảo
Gọi vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của ( P ) và ( d ) lần lượt là n, u. Góc giữa ( d ) và

( P ) được tính theo công thức cos  =

n.u
.
n.u

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



(d) .
A. ( 4; −1; 3 ) .

B. ( −4; 1; −3 ) .

C. ( 4; −1; −3 ) .

D. ( −4; −1; −3 ) .

Lời giải tham khảo
Giải hệ gồm PT đường thẳng ( d ) và PT mp ( P ) . Ta được tọa độ hình chiếu.
x = 1 + t

Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y = 2
và điểm
z = 3 − t

A ( −1; 2; −1) . Tìm tọa độ hình chiếu I của điểm A lên  .

A. I ( 3; 1; 2 ) .

B. I ( 2; 2; 2 ) .

C. I ( 1; 2; 1) .

D. I ( 4; 2; 1) .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


19
.
2

Lời giải tham khảo
 x = 1 + 3t
Ta có: AB ( 3; 3;1) . PTĐT AB là :  y = −2 + 3t  H (1 + 3t ; −2 + 3t ; t )  OH (1 + 3t; −2 + 3t; t )
z = t


Vì OH ⊥ AB  3. (1 + 3t ) + 3 ( −2 + 3t ) + t = 0  t =
2

2

3
19

2

 28 
 29 
 3 
86 .
OH =   +  −  +   =
19
19
19
19

 z = −1 − 5t


M  BC và d ( A; BC ) = AM; AM ⊥ BC  AM.BC = 0 .
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2; 7; −9 ) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 3z − 1 = 0 . Tìm tọa độ hình chiếu H
A. H ( 2; 2; 1) .

B. H ( 1; 0; 0 ) .

của điểm M trên ( P ) .
C. H ( −1; 1; 0 ) .

D. H ( 4; 0; 1) .

Lời giải tham khảo

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

10


x = 2 + t

Phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng ( P ) là d :  y = 7 + 2t
 z = −9 − 3t


Toạ độ hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( P ) là nghiệm hệ


( P ) : 16x − 12 y − 15z − 4 = 0 . Gọi H
phẳng ( P ) . Tính độ dài đoạn AH .
A. AH =

11
.
25

B. AH =

là hình chiếu vuông góc của A ( 2; −1; −1) lên mặt

11
.
5

C. AH =

22
.
25

D. AH =

22
.
5

Lời giải tham khảo


C. H ( 1; 1; 2 ) .

D. H ( 2; 1; 1) .

Lời giải tham khảo
Viết phương trình mặt phẳng ( BCD ) và đường thẳng AH từ đó tìm được giao điểm H .
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z + 1 = 0 và
hai điểm A ( −1; 3; 2 ) , B ( −9; 4; 9 ) . Tìm tọa độ điểm M trên ( P ) sao cho ( MA + MB ) đạt
giá trị nhỏ nhất.
A. M ( −1; 2; −3 ) .

B. M ( 1; −2; 3 ) .

C. M ( −1; 2; −3 ) .

D. M ( −1; 2; 3 ) .

Lời giải tham khảo
Ta có A , B nằm cùng phía đối với mặt phẳng ( P )
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua ( P ) , ta có: MA’ = MA
Do đó MA + MB = MA '+ MB  A ' B  min( MA + MB) = A ' B khi M là giao điểm của A ’B và

(P) .
 x = 3 − 12t

+ Tìm được A’ ( 3; 1; 0 ) . Phương trình đường thẳng AB :  y = 1 + 3t
 z = 9t



 35 35 35 

 3 3 6 
 69 17 18 
C. M  ; ;  , N  ; ;  .
 35 35 35 
 35 35 35 

3 3 6
 69 −17 18 
; .
D. M  ; ;  , N  ;
5 5 5
 5 5 5 

Lời giải tham khảo

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

12


M  d1  M ( t ; t ; 2t ) và N  d2  N ( −1 − 2t '; t '; 1 + t ' )

MN ngắn nhất  MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

3
t = 35
t − 6t ' = 3
 3 3 6 

4B

5B

6B

7B

8C

9A

10B

11A

12B

13B

14A

15D

16B

17A

18C