TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ DUYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán

HÀ NỘI

2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ DUYÊN

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ

ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2
4. Giả thuyết khoa học ........................................................................................ 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2
7. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................... 3
NỘI DUNG ........................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 4
1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục .................................................. 4
1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề
lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tƣ tƣởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung,
phƣơng pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện........................... 4
1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát
triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học ................................................. 4
1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn ......................................... 5
1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo,
đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát
triển đất nƣớc......................................................................................................... 6
1.1.5. Dự thảo môn Toán chƣơng trình giáo dục phổ thông mới ....................... 7
1.2. Tính thực tiễn của Toán học........................................................................... 7
1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn ......................................................... 7
1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn..................................................................... 8
1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn ........................................ 9
1.2. Bài toán thực tiễn ....................................................................................... 12
1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn................................................................... 12
1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học ........................... 14


DANH MỤC VIẾT TẮT
Đ/S:

Đáp số

GV:

Học sinh

HS:

Học sinh

PPDH:

Phƣơng pháp dạy học

SBT:

Sách bài tập

SGK:

Sách giáo khoa

THCS:

Trung học cơ sở


lúng túng với các bài toán ứng dụng của nó trong thực tiễn và các môn học khác.
Trên quan điểm đó cùng với sự mong muốn xây dựng hệ thống bài toán thực
tiễn ứng dụng của phƣơng trình mũ-logarit có chất lƣợng tốt, góp phần nâng cao
1


hiệu quả dạy và học, em đã chọn đề tài “XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
CHO HỌC SINH LỚP 12” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
- Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình
mũ-logarit và định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần
nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất
lƣợng dạy học môn Toán nói chung.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Phƣơng trình mũ-logarit trong chƣơng trình Giải tích 12 nâng cao.
4. Giả thuyết khoa học
Trong quá trình dạy học phƣơng trình mũ-logarit, nếu giáo viên xây dựng và
sử dụng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit thì
góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này ở nhà trƣờng phổ thông
nói riêng và dạy học môn Toán nói chung.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1.

Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn.

5.2.

Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn về
dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12 của giáo

-

Phƣơng pháp điều tra, quan sát
Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy

học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12.
-

Tìm hiểu thái độ học tập, cách nhìn nhận của học sinh, tìm hiểu đánh giá

của giáo viên, học sinh về tác dụng của hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy
và học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12.
6.3.

Phƣơng pháp kiểm nghiệm giáo dục
Xác định chất lƣợng của hệ thống bài toán thực tiễn và tính khả thi của

những gợi ý cơ bản đã đƣợc trình bày trong khoá luận.
6.4.

Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên toán THPT về việc xây dựng và
sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy và học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho học sinh lớp 12.

7. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận bao gồm
2 chƣơng:
Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho sinh lớp 12.


việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức càng
nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dƣỡng năng lực
của ngƣời học; ít yêu cầu ngƣời học vận dụng kiến thức vào thực tế,…
Tình hình này đã dẫn đến hiện tƣợng “quá tải”, vừa thừa, vừa thiếu đối với
ngƣời học và đối với mục tiêu giáo dục.
4


Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng lực và
phẩm chất ngƣời học. Toàn diện ở đây đƣợc hiểu là chú trọng phát triển cả phẩm
chất và năng lực con ngƣời, cả dạy chữ, dạy ngƣời, dạy nghề.
Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con ngƣời có phẩm chất, năng lực cần
thiết nhƣ trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí tƣởng phục vụ
Tổ quốc, cộng đồng.
Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá
nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nƣớc và làm chủ xã hội; có hiểu biết và kĩ
năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… nhƣ Bác Hồ từng mong muốn:
“Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những ngƣời công dân hữu ích cho
nƣớc Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn những năng lực sẵn
có của các em”[7].
1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn
Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo dục:
“Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với lao
động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với gia đình và xã hội”.
Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ biện
chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn không có
lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí. Mục đích cuối
cùng của việc học là làm việc. Nhƣ trong bài nói chuyện của Bác Hồ tại Đại học
Sƣ phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu học sinh không nên học gạo,
không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với thực tế, phải có thí

ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của học sinh lớp 9
ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các bài toán thực
tiễn xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy Bài hỏi đặt ra cho việc đánh giá học
sinh ở lứa tuổi tiếp theo của PISA, tức là học sinh lớp 10 trung học phổ thông thì
đƣợc xem xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cƣờng hơn nữa việc
vận dụng toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống
thực tiễn, các bài toán thực tiễn.
6


1.1.5. Dự thảo môn Toán chương trình giáo dục phổ thông mới
Chƣơng trình môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm nội
dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống
thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục
STEM, gắn với xu hƣớng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã
hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhƣ biến đổi khí hậu, phát triển
bền vững, giáo dục tài chính,...).
Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12.
Có thể hình dung chƣơng trình đƣợc thiết kế theo mô hình gồm hai nhánh song
song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của các mạch nội
dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất
của học sinh.
Chƣơng trình môn Toán sẽ đƣợc tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số
và Đại số; Hình học và Đo lƣờng; Thống kê và Xác suất.
1.2. Tính thực tiễn của Toán học
Tính thực tiễn của Toán học đƣợc thể hiện ở chỗ: Toán học có nguồn gốc
từ thực tiễn, Toán học phản ánh thực tiễn, Toán học có ứng dụng rộng rãi trong
thực tiễn.
1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn
Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do nhu

phần phát minh ra máy tính điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán.
Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học có
nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con ngƣời và do cả nhu cầu của
chính bản thân nó.
1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn
Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả
năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Đó là bởi: Toán
học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu tƣợng hóa các đối
tƣợng của hiện thực khách quan.
Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau:
8


Ví dụ 1. Về định nghĩa của hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học
của tính qui luật của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tƣợng tự nhiên của thế
giới xung quanh mà con ngƣời gọi chúng đó là: “Quy luật tự nhiên”; “chuồn
chuồn bay thấp thì mƣa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”; “chớp đông nhay
nháy, gà gáy trời mƣa”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tƣơng ứng của một
hiện tƣợng thứ nhất và hiện tƣợng thứ hai.
Ví dụ 2. Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lƣợng ánh sáng tác động vào phim
ảnh cho tƣơng ứng với độ đen của nó.
Trong Toán học mọi quy tắc xác định tƣơng ứng đƣợc gọi là một hàm số.
Trong ví dụ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số
của lƣợng ánh sáng.
1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất
nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và
đời sống.
Trong quá trình học tập tại trƣờng phổ thông, HS sẽ đƣợc biết đến các ứng
dụng thực tiễn đơn giản của toán học qua các bài toán nhƣ:


ABsinβ
40.sin70o
=
sin(α + β)
sin115o

Vậy AC
-

41, 47 (m).

41, 47 (m) ”[5].

Ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời của chuyển động.

Ví dụ 2. Một ngƣời trƣợt ván trên đƣờng có hình Parabol với phƣơng trình:
s

1 2
t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc của chất điểm tại
4

thời điểm t0

2 (giây).

Ta có “vận tốc tức thời v(t0 ) tại thời điểm to của chuyển động có phƣơng trình
s


trong trại để cử số lƣợng ngƣời tham dự trại cho phù hợp.
Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB

3 mét, BC

6 mét, đỉnh

của
Parabol là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB ,

A

3
3
; 0 , B ; 0 , I 0;3 ; phƣơng trình của parabol có dạng:
2
2
10


ax 2

y

b (a

0) . Do I , A, B thuộc (P) nên ta có: y
3
2


hơn, trừu tƣợng hơn thuộc lý thuyết vận trù, lý thuyết về graph, lý thuyết về
nút,…
Trong kinh tế, nhờ sự ra đời của lý thuyết xác suất mà một loạt các lý thuyết
mới ra đời ở thế kỷ XX có ý nghĩa thực tiễn vô cùng quan trọng ở các lĩnh
vực nhƣ: tổ chức thƣơng mại điện tử, tổ chức sản xuất, vận tải hàng hóa,… Các
lý thuyết này đã đƣa vào hƣớng ứng dụng toán học mới gọi là: “Nghiên cứu

11


các thuật toán” nhằm tìm các lời giải tối ƣu theo quan điểm mạo hiểm trong
những điều kiện nhất định.
Trong quản lý nhân sự có vấn đề phân chia công việc cho n công nhân mà
mỗi công nhân ở mỗi vị trí nhất định sao cho khối lƣợng công việc hoàn
thành là lớn nhất.
Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng trong
công nghệ mật mã. Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính hay các
cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thƣờng dùng một
loại mật mã gọi là mật mã công khai gọi tắt là RSA. Mật mã RSA đƣợc xây
dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một sự kiện là rất khó phân tích
ra thừa số nguyên tố.
Trong hội họa, những cấu trúc hình học thƣờng có mặt trong tác phẩm của
các nhà danh họa. Các biểu đồ với mức độ hiện diện khác nhau trong các bố
cục bức tranh cũng thƣờng đƣợc xem xét đến khi xem tranh, tùy thuộc vào hình
dáng của hình học đƣợc lấy làm cơ sở cho bố cục bức tranh mà ngƣời ta gọi
tên các loại bố cục nhƣ: bố cục hình chóp, bố cục hình tròn, bố cục hình xoắn
ốc,…
Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng nhƣ trong sự phát
triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực
lƣợng sản xuất. Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các ngành khoa học

để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài toán này có thể dùng để củng cố
hoặc luyện tập giải phƣơng trình bậc hai.
Ví dụ 2. Trong thực tế, khi cần phải đo khoảng cách giữa hai điểm B và

C mà không thể đo trực tiếp đƣợc vì giữa hai điểm đó có chƣớng ngại, nhƣ một
đầm lầy, một cánh rừng,…
Để có thể đo đƣợc khoảng cách BC trong những trƣờng hợp đó, ngƣời ta
thƣờng chọn một điểm A sao cho từ A có thể nhìn thấy B , C và ta có thể đo
đƣợc khoảng cách AB

c , AC

b và BAC . Làm đƣợc nhƣ vậy,

ABC hoàn

toàn xác định bởi hai cạnh và góc xen giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc
tính nhƣ thế nào?
Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học định lí Cosin trong
tam giác. Bài toán cho các dữ liệu là

ABC có AB

c , AC

b , và BAC .

Câu hỏi đặt ra là khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào?
Bài toán thực tiễn là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa
những nội dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự

toán này có thể xuất phát từ thực tiễn nhƣ ví dụ 4, hoặc có thể do tƣởng tƣợng,
sáng tạo ra nhƣ ở ví dụ 3.
1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học
Bài toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua việc giải bài toán,
học sinh thực hiện đƣợc nhiều hoạt động nhƣ nhận dạng và thể hiện định nghĩa,
định lý, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những
hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và
những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, bài toán có vai trò:
1.2.2.1. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh
Khi giải một bài toán học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp
án. Để làm đƣợc điều này học sinh phải trải qua một quá trình quan sát, tổng
hợp, phán đoán,…
Quá trình giải bài toán không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải dựa vào
kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà học sinh đã tích lũy từ trƣớc. Các
em phải nhớ, hiểu và vận dụng đƣợc những kiến thức và kinh nghiệm đó thì
mới giải đƣợc bài toán.
Nhƣ vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài
toán, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố
qua lại nhiều lần,… Qua đó, ngƣời học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng thời giúp
cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày
trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải
quyết những tình huống cụ thể.
14


Thông qua việc giải bài toán, học sinh cũng đƣợc rèn luyện các kĩ năng, kĩ
xảo ở các khâu khác nhau của quá trình giải bài toán, kể cả kĩ năng ứng dụng
Toán học vào thực tiễn.
1.2.2.2. Rèn luyện phát triển tư duy cho học sinh
Bài toán giúp phát triển năng lực tƣ duy, giúp học sinh năng động, sáng tạo

các em có những phƣơng pháp giải quyết đúng đắn các vấn đề đặt ra, nhất là
đối với bài toán khó, các em phải vƣợt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì
nhẫn nại và nhiều khi phải quyết tâm rất lớn mới giải đƣợc.
Nói theo cách của G.Polya là: Khát vọng và quyết tâm giải đƣợc một bài toán
là nhân tố chủ yếu của mọi quá trình giải toán. Do vậy, ta thấy rằng: Hoạt động
giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân
cách con ngƣời.
Bài toán thực tiễn cũng có đầy đủ các vai trò của bài tập toán học, ngoài ra có
còn có thêm một số tác dụng khác:
-

Về kiến thức
Thông qua giải bài toán thực tiễn, HS hiểu kĩ hơn các khái niệm, tính chất;

củng cố kiến thức một cách thƣờng xuyên và hệ thống hoá kiến thức; mở
rộng sự hiểu biết một cách sinh động, phong phú mà không làm nặng nề
khối lƣợng kiến thức của HS.
Bên cạnh đó, bài toán thực tiễn giúp HS thêm hiểu biết về các môn học
khác, về thiên nhiên, môi trƣờng, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống
thực tế.
Bài toán thực tiễn còn giúp HS bƣớc đầu biết vận dụng kiến thức để lí
giải và cải tạo thực tiễn nhằm nâng cao chất lƣợng cuộc sống.
-

Về kĩ năng

Việc giải bài toán thực tiễn giúp HS:
+ Rèn luyện và phát triển cho HS năng lực nhận thức, năng lực phát hiện và
giải quyết vấn đề liên quan đến thực tế cuộc sống.
+ Rèn luyện và phát triển các kĩ năng thu thập thông tin, vận dụng kiến thức

Theo G. Polya, phƣơng pháp chung để giải một số bài toán thƣờng đƣợc tiến
hành theo bốn bƣớc nhƣ sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
-

Phát biểu đề bài dƣới những dạng hình thức khác nhau để hiểu rõ nội

dung bài toán.
-

Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
17


-

Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài.

Bước 2. Tìm cách giải
-

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:

biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã
cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tƣơng tự, một trƣờng hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một
bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phƣơng pháp đặc thù với từng dạng
toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ
tích,…
-


1
sin 2 2 x ”.
2

Bước 1. Tìm hiểu nội dung đề bài
- Đề bài yêu cầu chứng minh đẳng thức sin 4 x

cos4 x

1

1
sin 2 2 x .
2

Bước 2. Tìm cách giải
Để giải bài toán này, ta cần biến đổi vế trái đẳng thức (VT ) bằng vế phải đẳng
thức (VP ).
Ta có VT

sin4 x

cos4 x
18


Áp dụng công thức x2
x



đƣợc:
VT

1

1
sin 2 2 x
2

VP.

Ngƣợc lại, ta có thể biến đổi VP

VT

Hơn nữa, với bài toán này ta có thể xét hiệu VT

VP

0 khi đó đẳng thức

cũng đƣợc chứng minh.
Bước 3. Trình bày lời giải
Ta có
VT

sin 4 x

cos4 x

nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán là rất cần thiết, bài toán thực tiễn cũng
vậy.
Dựa trên những tƣ tƣởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
G.Polya về cách thức giải bài toán đã đƣợc kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy
học, kết hợp với những đặc thù riêng của bài toán thực tiễn, có thể nêu lên
phƣơng pháp chung để giải bài toán thực tiễn nhƣ sau:
Bước 1. Tìm hiểu nội dung của bài toán: Toán học hoá tình huống, chuyển
bài toán với những ngôn ngữ, những dự kiện trong cuộc sống thực tế thành bài
toán với ngôn ngữ toán học. Các ràng buộc giữa các yếu tố trong bài toán thực
19