TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐÀO THỊ MAI PHƢỢNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 11
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

ĐÀO THỊ MAI PHƢỢNG

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN
THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ
ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN
CHO HỌC SINH LỚP 11
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

ThS. DƢƠNG THỊ HÀ

Em xin cam đoan khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân với sự
hƣớng dẫn của ThS. Dƣơng Thị Hà. Kết quả khóa luận không trùng khớp
với các công trình nghiên cứu khác, nếu sai sót, em xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên thực hiện

Đào Thị Mai Phượng


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN

BTTT

Bài toán thực tiễn

CSC

Cấp số cộng

CSN

Cấp số nhân

GV

Giáo viên

HD


6. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 3
7. Cấu trúc của đề tài ......................................................................................... 4
NỘI DUNG ....................................................................................................... 5
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 5
1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục ................................................ 5
1.2. Tính thực tiễn của Toán học phổ thông ..................................................... 8
1.3. Bài toán thực tiễn ..................................................................................... 14
1.4. Thực trạng sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân
trong dạy học môn Toán ở phổ thông ............................................................. 25
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 29
CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ CẤP SỐ
CỘNG, CẤP SỐ NHÂN CHO HỌC SINH LỚP 11 ...................................... 30
2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số
nhân trong dạy học Toán ở phổ thông ............................................................ 30
2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân. .... 32
2.3. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp
số nhân............................................................................................................. 60
2.4. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số
cộng, cấp số nhân cho HS lớp 11 .................................................................... 62


Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 68
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 70
PHỤ LỤC


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, trong thời đại đòi hỏi cao về tri

hơn. Tuy nhiên, những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chƣơng
trình sách giáo khoa (SGK) cũng nhƣ trong thực tế dạy học môn Toán chƣa
đƣợc quan tâm một cách thƣờng xuyên. Số lƣợng ví dụ bài toán có nội dung
liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản suất còn đƣợc trình bày rất ít và
hạn chế trong chƣơng trình toán phổ thông.
Mặt khác, môn Toán trong kì thi Trung học phổ thông (THPT) Quốc
gia bắt đầu sử dụng hình thức thi trắc nghiệm từ năm học 2016-2017. Với
toàn bộ kiến thức nằm trong chƣơng trình lớp 12. Đến nay, năm học 20172018 nội dung thi bao gồm cả chƣơng trình khối lớp 11 và 12. Với khối lƣợng
kiến thức lớn, cùng với sự thay đổi hình thức thi sang trắc nghiệm đã gây
không ít khó khăn đối với cả giáo viên (GV) và học sinh (HS). Để giúp GV và
HS giải quyết khó khăn này thì Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu đề thi
minh họa, trong cấu trúc đề thi có nhiều câu về bài toán thực tiễn (BTTT). Vì
vậy, việc tăng cƣờng các BTTT cho các em HS trong quá trình giảng dạy
ngay từ lớp 11 là rất cần thiết. Giúp cho các em có kiến thức sâu rộng và tạo
hứng thú trong học tập.
Hơn nữa, trong chƣơng trình Toán học 11 chƣơng dãy số, cấp số cộng
(CSC) và cấp số nhân (CSN) số lƣợng, cũng nhƣng nội dung các BTTT còn ít
và hạn chế, chƣa đa dạng, phong phú. Đặc biệt HS có thể giải thành thạo các
bài toán liên quan đến CSC, CSN với những yêu cầu cụ thể nhƣ tính tổng của
CSC, CSN hay tính số hạng tổng quát,... nhƣng những bài có nội dung liên
quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác thì HS còn loay hoay và lúng túng.
Qua nghiên cứu chƣơng trình SGK và các tài liệu liên quan đến toán
học và đời sống, bản thân em nhận thấy có một số bài toán liên quan đến thực
tiễn trong chủ đề CSC, CSN và em muốn cung cấp thêm cũng nhƣ hệ thống

2


lại các bài toán thực tiễn chủ đề này nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng dạy
và học môn Toán lớp 11 của GV và HS.

giáo dục, đào tạo.
- Nghiên cứu các sách, báo, khoá luận, tạp chí,… có liên quan đến bài
tập trắc nghiệm khách quan, kiểm tra đánh giá, phƣơng pháp dạy học môn
Toán, chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit.
6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát
- Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ đề CSC,
CSN cho HS lớp ở trƣờng phổ thông.
- Tìm hiểu thái độ học tập của HS, tìm hiểu đánh giá của GV, HS về tác
dụng của hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN trong việc dạy học môn Toán
cũng nhƣ tính khả thi của việc sử dụng hệ thống BTTT chủ đề này vào dạy
học Giải tích 11.
6.3. Phương pháp kiểm nghiệm giáo dục
Xác định chất lƣợng của hệ thống BTTT và tính khả thi của những gợi
ý cơ bản đƣợc trình bày trong khoá luận.
6.4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
Tổng kết kinh nghiệm của các GV toán THPT về việc xây dựng và sử
dụng BTTT.
7. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2
chƣơng:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2. Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân

4


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục
1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn

lực và phẩm chất người học. Toàn diện ở đây đƣợc hiểu là chú trọng phát
triển cả phẩm chất và năng lực con ngƣời, cả dạy chữ, dạy ngƣời, dạy nghề.
Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con ngƣời có phẩm chất, năng
lực cần thiết nhƣ trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí
tưởng phục vụ Tổ quốc, cộng đồng.
Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi
cá nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nước và làm chủ xã hội; có hiểu biết
và kĩ năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… nhƣ Bác Hồ từng mong
muốn: “Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những người công dân
hữu ích cho nước Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn
những năng lực sẵn có của các em”[7].
1.1.3. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn
Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo
dục: “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với
lao động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với gia đình và xã hội”.
Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ
biện chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn
không có lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí.
Mục đích cuối cùng của việc học là làm việc. Nhƣ trong bài nói chuyện của
Bác Hồ tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu HS không
nên học gạo, không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với
thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với
nhau”. Hay Bác cũng đã từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không
hành thì học vô ích. Hành mà không học thì hành không trôi chảy”.

6


Nhƣ vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào
đó, để HS có thể vận dụng đƣợc các kiến thức đƣợc học vào giải quyết những

xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cƣờng hơn nữa việc vận dụng
toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống thực tiễn,
các BTTT.
1.1.5. Môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới
Chƣơng trình môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm
nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời
sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực
giáo dục STEM, gắn với xu hƣớng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học,
đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhƣ biến đổi khí
hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,...).
Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến
lớp 12. Có thể hình dung chƣơng trình đƣợc thiết kế theo mô hình gồm hai
nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của
các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của
năng lực, phẩm chất của HS.
Chƣơng trình môn Toán sẽ đƣợc tích hợp xoay quanh ba mạch kiến
thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lƣờng; Thống kê và Xác suất.
1.2. Tính thực tiễn của Toán học phổ thông
1.2.1. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn
Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do
nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm,…
Ăng-ghen đã chỉ ra rằng:
Trong quá trình tồn tại và phát triển loài ngƣời, do nhu cầu hoạt động
thực tiễn của con ngƣời, những khái niệm Toán học ban đầu (Khái niệm về
số tự nhiên, về đại số và hình học) đƣợc con ngƣời trừu tƣợng hóa từ trong
thế giới hiện thực, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con ngƣời,

8




điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán.
Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học
có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con ngƣời và do cả nhu cầu
của chính bản thân nó.
1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn
Toán học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu
tƣợng hóa các đối tƣợng của hiện thực khách quan. Do đó, Toán học không
chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực
tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện.
Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau:
- Ví dụ về định nghĩa hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học,
của tính qui luật, của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tƣợng tự nhiên của
thế giới xung quanh mà con ngƣời gọi chung đó là: “quy luật tự nhiên”:
“chớp đông nhay nháy, gà gáy trời mƣa”, “chuồn chuồn bay thấp thì mƣa,
bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tƣơng
ứng của một hiện tƣợng thứ nhất và hiện tƣợng thứ hai.
Trong Toán học mọi quy tắc xác định tƣơng ứng đƣợc gọi là một hàm số.
- Ví dụ trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lƣợng ánh sáng tác động vào
phim ảnh cho tƣơng ứng với độ đen của nó.
Trong ví dụ này, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh
là hàm số của lƣợng ánh sáng.
1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi
trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong
sản xuất và đời sống. Ứng dụng lƣợng giác để đo những khoảng cách không
tới đƣợc, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời, ứng dụng của tích
phân để tính diện tích, thể tích,…

10

Một ngƣời trƣợt ván trên đƣờng có hình parabol với phƣơng trình:

1
s  t 2 ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc trƣợt của ngƣời đó
4
tại thời điểm to  2  s 
Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm: “Vận tốc tức thời v  t0  tại thời điểm

11


t0 (hay vận tốc tại t0 ) của một chuyển động có pƣơng trình s  s  t  bằng đạo

hàm của hàm số s  s  t  tại điểm t0 , tức là v  t0   s '  t0  ”[1].

1
Ta có s '  t   t  Vận tốc trƣợt của ngƣời đó tại thời điểm to  2  s  là
2
1
v  2   s '  2   .2  1 (m / s).
2
Ví dụ 3: Ứng dụng của tích phân để tính thể tích
Tính thể tích thùng chứa rƣợu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình
tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm. Đƣờng cong của bình là một cung
tròn của đƣờng tròn bán kính là 9.
Giải:
Không mất tính tổng quát, ta coi tâm của đƣờng tròn là tâm O của gốc
tọa độ, khi đó ta có phƣơng trình là x 2  y 2  81, do đó thể tích của thùng là
hình tròn xoay bị giới hạn bởi đƣờng tròn x 2  y 2  81 và y  0, x  8,


đến toán cổ điển. Hiện nay, Hóa học và Sinh học đã sử dụng những nội dung
của toán tôpô,… Ngƣời ta đã có thể dự đoán đƣợc ngày càng chính xác các
tính chất của nhiều hợp chất hóa học, có thể tính đƣợc công thức của nhiều
hợp chất và các tính chất của nó bằng những phƣơng pháp toán học. Những

12


bí mật của sự sống, về di truyền, cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh, sinh lý
ngƣời,… trong sinh học đã và đang đƣợc nghiên cứu bằng những phƣơng
tiện toán học tinh vi, hiện đại.
Ngoài ra, trong cuộc sống cũng có những lĩnh vực với sự đóng góp to
lớn của Toán học đó là Y học, nhờ có những phƣơng tiện kỹ thuật hiện đại và
những phƣơng pháp tính toán, sử dụng phƣơng pháp thống kê toán học và
máy tính điện tử đã giúp con ngƣời khai thác một cách có hiệu quả các kinh
nghiệm để khám và chữa bệnh một cách hiệu quả, chính xác.
Bên cạnh đó, trong kinh tế và quản lý, một loạt các thuật toán gia công
thống kê các dữ liệu đƣợc sử dụng rộng rãi và từ đó tạo ra các thƣ viện
chƣơng trình bao gồm các bài toán nhƣ: Các tính toán cơ bản để quan sát tính
đồng nhất, phân tích phƣơng sai một biến, phân tích phƣơng sai nhiều biến,
tính xác suất đối với các phân bố khác nhau,…
Một số lƣợng rất lớn các bài toán kinh tế trong thực tiễn đƣợc mô tả
bằng phƣơng trình đại số tuyến tính do đó phép tính ma trận đƣợc ứng dụng
rất rộng rãi để giải các bài toán kinh tế.
Trong giao thông vận tải, ngƣời ta dùng phƣơng trình tuyến tính để lựa
chọn phƣơng án vận chuyển tiết kiệm nhất, chọn phƣơng án hợp lý để giảm
bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ƣu nhất.
Các phi công máy bay, các thủy thủ đi trên các chuyến tàu vƣợt đại
dƣơng, các chuyên gia quân sự,… đều cần sử dụng khái niệm góc để di
chuyển tới đích một cách hiệu quả.

cho ngƣời học để đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó thông qua các dữ liệu đã
cho.
Ví dụ 1: Cho CSC  un  có u20  52 và u51  145 . Hãy tìm số hạng tổng
quát của CSC đó.

14


Bài toán ở ví dụ 1 đặt ra yêu cầu là tìm số hạng tổng quát của CSC
thông qua dữ liệu đã cho là CSC  un  có u20  52 và u51  145 . Bài toán
này có thể dùng để củng cố hoặc luyện tập.
Ví dụ 2: Một ngân hàng quy định đối với việc gửi tiền tiết kiệm theo thể thức
có kì hạn nhƣ sau: “Khi kết thúc kì hạn mà ngƣời gửi không đến rút tiền thì
toàn bộ số tiền (bao gồm cả vốn và lãi) sẽ đƣợc chuyển gửi tiếp với kì hạn mà
ngƣời đã gửi”.
Giả sử có một ngƣời gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân
hàng nói trên và giả sử lãi suất của loại kì hạn này là 0, 4%.
a) Hỏi sau 6 tháng, kể từ ngày gửi, ngƣời đó đến ngân hàng để rút tiền thì số
tiền đƣợc (gồm cả vốn và lãi) là bao nhiêu?
b) Cũng câu hỏi nhƣ trên, với giả thiết thời điểm rút tiền là 1 năm sau, kể từ
ngày gửi?[1]
Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học CSC. Bài toán
cho các dữ liệu là gửi 10 triệu đồng với kì hạn 1 tháng vào ngân hàng và lãi
suất của loại kì hạn này là 0,4%. Câu hỏi đặt ra là sau 6 tháng, sau 1 năm sẽ
đƣợc bao nhiêu tiền.
BTTT là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội
dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự việc, tình
huống trong cuộc sống xã hội mà còn đƣợc hiểu là các tình huống nảy sinh
trong các ngành khoa học nhƣ vật lí, hóa học, sinh học,… Trong khóa luận
này chủ yếu đề cập đến các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày.

trong bài toán, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc
củng cố qua lại nhiều lần. Qua đó, ngƣời học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng
thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc
trình bày trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào
việc giải quyết những tình huống cụ thể.
Thông qua giải bài toán, HS cũng đƣợc rèn luyện các kĩ năng, kĩ xảo ở

16


các khâu khác nhau của quá trình giải bài toán, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán
học vào thực tiễn.
1.3.2.2. Rèn luyện phát triển tư duy cho học sinh
Bài toán giúp phát triển năng lực tƣ duy, giúp HS năng động, sáng tạo
trong học tập, phát huy khả năng suy luận tích cực, đặc biệt là rèn luyện
những thao tác trí tuệ và hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học.
Trong bất kì bài toán nào cũng có mâu thuẫn, những điều đã biết và
những điều chƣa biết. Khi giải bài toán, trí tuệ của HS phải vận động đi từ
những điều kiện đã biết để tìm ra câu trả lời. Hoạt động trí tuệ của HS rất đa
dạng: quan sát, vận dụng trí nhớ, các thao tác tƣ duy nhƣ so sánh, tổng hợp,
khái quát, suy luận,… Cho nên sau mỗi lần giải bài toán thành công, niềm tin
và năng lực của HS càng đƣợc phát triển và củng cố. Đó là một trong những
cơ sở quan trọng để các em mạnh dạn bƣớc vào con đƣờng sáng tạo.
1.3.2.3. Rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức Toán học cho học sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững kiến thức của bất cứ bộ
môn khoa học nào là hiểu, nhớ, vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học
đó vào giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết đƣợc các bài toán đặt
ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Hơn nữa, mỗi bài toán là giá mang hoạt động liên hệ với những nội
dung Toán học nhất định, là một phƣơng tiện cài đặt nội dung đề hoàn chỉnh

Bên cạnh đó, BTTT giúp HS thêm hiểu biết về các môn học khác, về
thiên nhiên, môi trƣờng, những vấn đề thiết thực trong cuộc sống.
BTTT còn giúp HS bƣớc đầu biết vận dụng kiến thức để lí giải và cải
tạo thực tiễn nhằm nâng cao chất lƣợng cuộc sống.
- Về kĩ năng
Việc giải BTTT giúp HS:
+ Rèn luyện và phát triển các kĩ năng thu thập thông tin, vận dụng kiến
thức để giải quyết tình huống có vấn đề của thực tế một cách linh hoạt, sáng

18