TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

VŨ THỊ HƯƠNG GIANG

RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ
CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT
QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán

HÀ NỘI – 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

VŨ THỊ HƯƠNG GIANG

RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ
CHO HỌC SINH LỚP 10 THPT
QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
Người hướng dẫn khoa học
ThS. PHẠM THẾ QUÂN

Hà Nội, ngày tháng năm 2018
Sinh viên
Vũ Thị Hương Giang


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU

............................................................................................................. 1

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN .............................................................................. 3
1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán .............................................................. 3
1.1.1. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học ............. 3
1.1.2. Phát triển năng lực trí tuệ ........................................................................... 5
1.1.3. Giáo dục chính trị tư tưởng phẩm chất và phong cách lao động khoa học 8
1.1.4. Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động .. 11
1.2. Tổng quan về các hoạt động trí tuệ ................................................................. 12
1.2.1. Hoạt động trí tuệ chung trong môn Toán ................................................. 12
1.2.2. Hoạt động trí tuệ phổ biến ........................................................................ 20
1.3. Định hướng chung rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh.......................... 21
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ....................................................................................... 23
CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH LỚP 10
QUA CÁC BÀI TOÁN VECTƠ Ở TRONG MẶT PHẲNG ........... 24
2.1. Nội dung và mục đích dạy học chương vectơ lớp 10 ở THPT ....................... 24
2.1.1. Nội dung dạy học chương vectơ hình học cơ bản lớp 10 ở THPT .......... 24
2.1.2. Mục đích dạy học chương vectơ lớp 10 ở THPT ..................................... 25
2.1.3. Tiềm năng rèn luyện cho học sinh trong chương vectơ ........................... 27
2.2. Rèn luyện hoạt động trí tuệ qua các bài toán vectơ ở trong mặt phẳng ......... 29
2.2.1. Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vectơ ............................................... 29
2.2.2. Dạng 2: Chứng minh hai điểm trùng nhau ............................................... 37

VP

: Vế phải

ĐPCM : Điều phải chứng minh


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Trung Ương 2 Khóa VIII, Ban chấp hành Trung Ương Đảng
cộng sản Việt Nam đã chỉ rõ “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải
hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải
quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở
trường phổ thông…áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng
cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”.
Luật giáo dục nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy
định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, chủ động, tự giác, tư duy
sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên”. (Chương 1 điều 4)
Trước nhu cầu đó, đáng tiếc là trong tình hình hiện nay, phương pháp
dạy học ở nước ta còn có những nhược điểm phổ biến thầy thuyết trình tràn lan;
kiến thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, phát hiện; thầy áp đặt,
trò thụ động; thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo
của người học.
Môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của
giáo dục phổ thông. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách. Cùng với việc tạo
điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học cần
thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như
phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa.
Vectơ là một nội dung quan trọng trong môn toán ở trường phổ thông.

toán vectơ ở trong mặt phẳng.

2


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán
1.1.1. Trang bị tri thức, kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học
Môn Toán cần cung cấp cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, phương
pháp toán học phổ thông cơ bản, thiết thực. (Chương trình 2002, tr.2 và tr.26)
Học sinh kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng, đó là cơ sở để thực hiện các
mục tiêu về các phương diện khác. Để đạt được mục tiêu quan trọng này, môn Toán
cần trang bị cho học sinh một hệ thống vững chắc những tri thức, kĩ năng, phương
pháp toán học phổ đồng thời bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng những hiểu biết
toán học vào việc học tập các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất và tạo
tiềm lực tiếp thu khoa học kĩ thuật.
Việc thực hiện mục tiêu này được cụ thể hóa như sau:
Thứ nhất, cần tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những dạng tri thức khác
nhau. Người ta thường phân biệt 4 dạng tri thức:
 Tri thức sự vật;
 Tri thức phương pháp;
 Tri thức chuẩn;
 Tri thức giá trị.
Tri thức sự vật trong môn Toán thường là một khái niệm (ví dụ khái niệm
vectơ), một định lý (chẳng hạn định lý hàm số sin), cũng có khi là một yếu tố lịch
sử, một ứng dụng toán học.
Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất :
những phương pháp là những thuật giải (ví dụ như giải phương trình bậc hai) và
những phương pháp có tính chất tìm tòi (chẳng hạn phương pháp tổng quát của

các cộng sự [7, tr.53], cần có ý thức để học sinh phối hợp giữa chiếm lĩnh tri thức và
rèn luyện kĩ năng thể hiện ở 6 chức năng trí tuệ từ thấp lên cao:
 Biết: ghi nhớ và tái hiện thông tin;
 Thông hiểu: giao tiếp sử dụng các thông tin đã có;
 Vận dụng: áp dụng các thông tin (quy tắc, phương pháp, khái niệm,…) vào
tình huống mới mà không cần sự gợi ý;

4


 Phân tích: chia thông tin thành các bộ phận và thiết lập sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa chúng;
 Tổng hợp: cải tổ các thông tin từ các nguồn khác nhau, trên cơ sở đó tạo nên
mẫu mới;
 Đánh giá: phán đoán về giá trị của một tư tưởng, phương pháp, tài liệu nào
đó.
Thứ tư, cần làm nổi bật những mạch tri thức, kĩ năng xuyên suốt chương trình,
chẳng hạn:
 Các tập hợp số;
 Các phép biến đổi đồng nhất;
 Phương trình và bất phương trình;
 Hàm số và đồ thị;
 Những yếu tố của phép tính vi tích phân;
 Vectơ và tọa độ;
 Những yếu tố tổ hợp và xác suất;
 Định nghĩa và chứng minh toán học.
Cách làm này giúp học sinh thấy được cái bộ phận trong cái toàn thể, tránh
tình trạng thấy cây mà không thấy rừng.
1.1.2. Phát triển năng lực trí tuệ
Môn Toán cần góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình

nhưng phải có căn cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không
phải là đoán mò càng không phải là nghĩ liều.
 Tập luyện cho học sinh khả năng hình dung được những đối tượng, quan
hệ không gian và làm việc với chúng dựa trên những dữ liệu bằng lời hay những
hình phẳng, từ những biểu tượng của những đối tượng đã biết có thể hình thành,
sáng tạo ra hình ảnh của những đối tượng chưa biết hoặc không có trong đời sống.
Thứ ba, là rèn luyện những hoạt động trí tuệ cơ bản. Môn Toán đòi hỏi học
sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích,
tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa v.v… do đó có tác dụng rèn luyện cho học
sinh những hoạt động trí tuệ này.
Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật
thành những bộ phận riêng lẻ.

6


Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết
nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái
ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt
động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra
trên nền tảng phân tích và tổng hợp.
Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không
bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý
nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn
chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật lên một số đặc điểm chung của các phần tử
trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy ngay rằng trừu tượng hóa là một điều kiện
cần của khái quát hóa.
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong môn Toán,
học sinh còn thường phải thường xuyên thực hiện các phép tương tự hóa, so sánh,

Để thực hiện mục tiêu này, môn Toán cần được khai thác nhằm góp phần bồi
dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện cho họ những phẩm
chất và phong cách lao động khoa học của người lao động mới trong học tập và sản
xuất như làm việc có mục đích, có kế hoạch, có phương pháp, có kiểm tra, tính cẩn
thận, chính xác, kỷ luật, tiết kiệm, sáng tạo, dám nghĩ dám làm, biết hợp tác lao
động, có ý chí và thói quen tự học, có óc thẩm mĩ, có sức khỏe, dũng cảm bảo vệ
chân lí, xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
Cũng như ở các bộ môn khác, quá trình dạy học môn Toán phải là một quá
trình thống nhất giữa dạy chữ và dạy người. Để làm được việc này, người thầy giáo
Toán một mặt phải thực hiện phần nhiệm vụ chung giống như giáo viên các bộ môn
khác: phát huy tác dụng gương mẫu, tận dụng ảnh hưởng của tập thể học sinh, phối
hợp với giáo viên chủ nhiệm,… nhưng mặt khác còn cần khai thác tiềm năng của
nội dung môn Toán để đóng góp phần riêng của bộ môn vào việc thực hiện mục tiêu
này.
Nhìn chung, cần chống hai khuynh hướng:
 Khuynh hướng thứ nhất phủ nhận nhiệm vụ giáo dục tư thưởng chính trị
của môn Toán, hay nhẹ hơn một chút là chỉ hạn chế tác dụng giáo dục của môn này
ở chỗ ra một số bài tập ứng dụng.

8


 Khuynh hướng thứ hai muốn ôm đồm thực hiện tất cả các nhiệm vụ giáo
dục toàn diện của nhà trường mà không căn cứ vào đặc điểm bộ môn.
Vấn đề đặt ra là phải khai thác tiềm năng đặc thù của nội dung môn Toán với
tư cách là một thành phần trong tất cả các môn học, góp phần giáo dục chính trị tư
tưởng, phẩm chất đạo đức, phong cách lao động khoa học và thẩm mĩ.
Thứ nhất, cần giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội. Trong phạm vi
môn Toán, có thể thực hiện mục tiêu này theo các cách sau:
 Đưa những số liệu về công cuộc xây dựng và bảo vệ tổ quốc vào những đề

thân lao động toán học cũng đòi hỏi những phẩm chất và phong cách như thế.
Những phẩm chất và phong cách này thể hiện ở tính cẩn thận, chính xác, tính kế
hoạch, kỉ luật, tính kiên trì, vượt khó, ý chí tiến công, tinh thần trách nhiệm, khả
năng hợp tác lao động, ý chí và thói quen học hỏi, rút kinh nghiệm, thái độ phê
phán, thói quen tự kiểm tra v.v…
Trong khi việc giáo dục lòng yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội, việc bồi dưỡng
thế giới quan duy vật biện chứng chỉ có thể thực hiện ở những cơ hội nhất định thì
việc rèn luyện phẩm chất đạo đức, phong cách khoa học cho học sinh diễn ra hàng
ngày, hàng giờ trong môn Toán. Điều quan trọng là thầy giáo không nên vì thế mà
ôm đồm, muốn bồi dưỡng cho học sinh quá nhiều phẩm chất, phong cách một cách
dàn trải trong cùng một tiết học. Phải căn cứ vào đặc thù của nội dung, vào tình
hình cụ thể của học sinh về mặt đạo đức mà lúc thì tập trung vào phẩm chất, phong
cách kia một cách có trọng tâm, trọng điểm. Như vậy mới có thể đạt được hiệu quả
giáo dục mong muốn.
Thứ tư, là việc giáo dục thẩm mĩ qua môn Toán. Để giáo dục văn hóa thẩm mĩ
cho học sinh, cần chú ý phát triển đồng thời các thành tố: tri thức và tầm nhìn thẩm
mĩ, quan niệm và thị hiếu thẩm mĩ, tình cảm và năng lực thẩm mĩ. Môn Toán cũng
có thể đóng góp phần mình vào giáo dục thẩm mĩ cho học sinh về một số phương
diện như sau:
Môn Toán có những cơ hội để học sinh cảm nhận và thể hiện cái đẹp theo nghĩa
thông thường trong đời sống. Những hình vẽ đẹp trong sách giáo khoa, cách trình
bày bảng sáng sủa của thầy, cô giáo, những trang hình màu sắc hòa hợp trên máy vi
tính, những hình cân đối, hài hòa mà nhiều khi đã được người ta sử dụng trong kiến
trúc và trong nghệ thuật tạo hình v.v… có tác dụng bồi dưỡng óc thẩm mĩ, làm cho

10


học sinh biết thưởng thức cái đẹp. Việc yêu cầu học sinh giữ vở sạch, viết chữ đẹp,
vẽ hình rõ ràng, sáng sủa, vẽ đồ thị với đường nét trơn tru, trình bày những phép


có thể thực hiện giáo dục suốt đời dựa trên bốn trụ cột có rất nhiều mối quan hệ,
liên hệ, tác động giữa chúng với nhau và làm thành một thể thống nhất [12, tr.71 và
tr.82]:
 Học để biết là nắm được những công cụ để “hiểu”;
 Học để làm là phải có khả năng hoạt động sáng tạo tác động vào môi trường
của mình;
 Học để cùng chung sống là tham gia và hợp tác với những người khác trong
mọi hoạt động của con người;
 Học để làm người là sự tiến triển quan trọng nảy sinh từ ba loại hình học tập
trên, nhằm phát huy tốt hơn nhân cách của mình và sẵn sàng hành động với một khả
năng ngày càng gia tăng về các mặt tự chủ, suy xét và về trách nhiệm cá nhân.
1.2. Tổng quan về các hoạt động trí tuệ
1.2.1. Hoạt động trí tuệ chung trong môn Toán
Theo Nguyễn Bá Kim thì nội dung dạy học môn Toán có mối liên hệ chặt chẽ
với các hoạt động của học sinh. Mỗi nội dung môn học đều liên hệ với những hoạt
động nhất định, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành
hoặc vận dụng nội dung đó [9].
Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động trên
những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học. Nội dung môn
Toán ở trường phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động. Trong đó có
các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát
hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cụ thể hóa.
a) Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt
của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Trái lại, tổng hợp là dùng
trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể
hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.

12

𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 =VP(đpcm)
Cách 2:
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
VP=𝐴𝐷
𝐶𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = 𝑉𝑇(đpcm)
Cách 3:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐷 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 𝐴𝐵
𝐴𝐷 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐷 𝐷𝐵
𝐷𝐵 (đpcm)
b) So sánh:

𝑀𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶  ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = (𝐴𝐶
𝐴𝑀 )
 (1 − )⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 (1)
 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐶 =  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑁 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑁𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − )𝐴𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 𝐴𝐶

(2)

⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴 =  ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐴 = (𝐴𝐵
𝐴𝑃 )
⃗⃗⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = ( − 1)𝐴𝑃

𝑀𝐶 ̅̅̅̅
𝑁𝐴 ̅̅̅̅
𝑃𝐵

(1)

Giải
Giả sử M, N, P thẳng hàng. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt
đường thẳng qua M, N, P tại D. Áp dụng định lí Ta lét, ta có:
̅̅̅̅̅
𝑀𝐵 ̅̅̅̅
𝑁𝐶 ̅̅̅̅
𝑃𝐴 ̅̅̅̅
𝑃𝐵 ̅̅̅̅
𝐷𝐶 ̅̅̅̅
𝑃𝐴
.
.
=
.
.
=1
̅̅̅̅̅
𝑀𝐶 ̅̅̅̅
𝑁𝐴 ̅̅̅̅
𝑃𝐵 ̅̅̅̅
𝐷𝐶 ̅̅̅̅
𝑃𝐴 ̅̅̅̅
𝑃𝐵
Ngược lại, giả sử có hệ thức (1). Gọi P’ là giao điểm của các đường thẳng MN

khác nhau, ví dụ 1 là dạng vectơ của định lý còn ví dụ 2 là dạng thông thường của
định lí.
Bằng so sánh ta có thể thấy cùng chứng minh 1 định lý nhưng có các chứng
minh khác nhau, học sinh có thể chọn cách chứng minh phù hợp.
c) Tương tự:
Theo Polya: Hai hệ được gọi là tương tự nhau nếu chúng phù hợp với nhau
trong các mối quan hệ xác định rõ ràng giữa các bộ phận tương ứng.
Kết luận dựa theo sự tương tự có thể mô tả như sau:
A có tính chất a, b, c
B có tính chất a, b
Thế thì B có tính chất c.
Người ta thường xét sự tương tự trong toán học theo các khía cạnh sau:
– Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng minh là
giống nhau.
– Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu vai trò
của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương ứng có
quan hệ giống nhau.
– Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc tính
của hai hình tương tự. Chẳng hạn:
Tam giác trong hình học phẳng được xem tương tự với tứ diện trong hình học
không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới hạn bởi một số đường

15


thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn bởi một số mặt
phẳng tối thiểu.
Tính chất đường cao của tam giác tương tự với các tính chất các đường cao
của đường tứ diện. Với ý nghĩa đó từ các đường cao, đường trung tuyến, đường
phân giác của tam giác có thể đề xuất và chứng minh các tính chất tương tự của

Giải
Gọi M là trung điểm của BC.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (quy tắc trung điểm)
Khi đó ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐶 = 2𝐺𝑀
𝐺𝐴 = 2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0
Ta có: {⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴 + 2𝐺𝑀
𝐺𝐴, 𝐺𝑀 𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎươ𝑛𝑔, 𝑛𝑔ượ𝑐 ℎướ𝑛𝑔

16


⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗ + 2𝐺𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗ . (đpcm)
Khi đó: 𝐺𝐴
Bài toán 1.3.3. (Trang 21, Bài 1.12, Bài tập Hình học 10)
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0
⃗
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
𝑂𝐶 + 𝑂𝐷

𝑂𝐴 + 𝐴𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀
Cộng vế với vế, từ điều kiện M là trung điểm của đoạn thẳng AB (phân tích) ta có
hệ thức: ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐵 = ⃗0
Từ đó ta có hệ thức cần tìm.
Cho học sinh trình bày lại lời giải của bài toán (tổng hợp)
Cho học sinh giải bài toán tương tự với G là trọng tâm của tam giác (tương
tự).
Bài toán 1.4.2. Cho  ABC với trọng tâm G. CMR với điểm O bất kỳ ta có:
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = (𝑂𝐴
𝑂𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐶 )
3

Phân tích
Từ vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 , để xuất hiện các vectơ có điểm cuối là A, B, C, ta dùng quy tắc
tam giác để “xen điểm” A, B, C vào và có cách phân tích vectơ dưới đây:

17



bài toán 1.3.3.(khái quát hóa)
Bài toán 1.5. Cho n điểm 𝐴1 , 𝐴2 , …, 𝐴𝑛 . CMR có duy nhất 1 điểm G sao cho:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2 +…+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴𝑛 = ⃗0 thì ta gọi G là trọng tâm của hệ n-điểm.
Giải
Lấy O cố định.
⃗
Khi đó ta có được ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴2 +…+ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐴𝑛 = 0
Chèn O vào ta phân tích các vectơ được kết quả:
1
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛 )
𝑂𝐺 = (𝑂𝐴
𝑂𝐴2 +…+𝑂𝐴
𝑛

Vậy G hoàn toàn xác định.
Giả sử có G’ cũng thỏa mãn điều kiện đề bài.
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑛 )
Khi đó ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺′ = (𝑂𝐴
𝑂𝐴2 +…+𝑂𝐴

𝑂𝐴1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴1 𝐺
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴2 𝐺
………………..
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐺 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴𝑛 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑛 𝐺
Cộng vế với vế, ta được điều cần chứng minh.
Cho học sinh hoàn thiện lời giải. (tổng hợp)
Nhận xét: Các bài toán 1.4.1 và bài toán 1.4.2 là các trường hợp đặc biệt
(đặc biệt hóa) của bài toán 1.5.1 với n = 2 và n = 3.
e) Trừu tượng hóa và cụ thể hóa:
Trừu tượng hóa theo Nguyễn Bá Kim là tách những đặc điểm bản chất khỏi
những đặc điểm không bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản
chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
Quá trình ngược lại nhưng có mối quan hệ mật thiết với trừu tượng hóa là cụ
thể hóa. Cụ thể hóa là quá trình minh họa, giải thích những khái niệm, quy luật khái
quát, trừu tượng bằng ví dụ.

19