Mục lục

Mở đầu

3

1

Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Định nghĩa đạo hàm, đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Định nghĩa vi phân, vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Các định lí về hàm số khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2


Giải phương trình f(x)=0 theo phương pháp Newton . . .

23

Một số bài toán có liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.1

Bài toán tìm kích thước lô hàng tối ưu . . . . . . . . . . . .

25

2.2.2

Đạo hàm và giá trị cận biên trong kinh tế . . . . . . . . . .

27

2.2.3

Hàm cầu và tính co giãn của cầu . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.2.4

Lựa chọn tối ưu trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.3

Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình . . . . . . . . . .

43

3.4

Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.5

Chứng minh bất đẳng thức và đánh giá các tổng hữu hạn . . . . .

47

3.6

Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó . . . . . . . . .

56

Kết luận

61


2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Khóa luận tập trung nghiên cứu các vấn đề

sau:

3


- Hệ thống hóa kiến thức của phép tính vi phân, nghiên cứu một số áp dụng
của phép tính vi phân và các bài toán có liên quan.
- Sử dụng định lí trung bình để giải một số bài toán sơ cấp.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các phép tính vi phân về hàm một biến.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu khái quát các định lí cơ bản của phép tính vi phân, các bài toán có
liên quan.
- Sử dụng các định lí một cách linh hoạt, khéo léo để giải quyết các bài toán
một cách hiệu quả.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Sưu tầm, đọc và nghiên cứu tài liệu, phân tích tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn, trình bày cũng như seminar với
tổ bộ môn.
6. TÍNH MỚI VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA KHÓA LUẬN
6.1. Tính mới mẻ của khóa luận
Đây là một vấn đề khá được quan tâm và được sử dụng thường xuyên khai
thác trong các kì thi Olympic, quốc gia và quốc tế (ở cấp độ học sinh THPT hoặc
sinh viên Đại học).
6.2. Hướng phát triển của khóa luận
Nghiên cứu và tổng hợp, thống kê các định lí, các bài toán có liên quan tới

Định nghĩa đạo hàm, đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.1. Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a, b) chứa điểm x0 . Nếu
tồn tại:
lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
∈R
x − x0

thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 , kí hiệu là f ( x0 ).
Như vậy
f ( x0 ) = lim

x → x0

f ( x ) − f ( x0 )
x − x0

nếu giới hạn tồn tại.
Đặt h = x − x0 , ta được x = x0 + h và
f ( x0 ) = lim

h →0

f ( x0 + h ) − f ( x0 )
.
h

Đạo hàm cấp n: y(n) = f (n) ( x ), hoặc

dn y
dn f ( x )
=
.
dx n
dx n

Đạo hàm cấp cao của hàm số còn được gọi là đạo hàm lặp. Để tính đạo hàm cấp
n của hàm số y = f ( x ), ta thực hiện phép toán đạo hàm liên tiếp n lần:
y = f ( x ); y” = (y ) ; y = (y”) ; ...; y(n) = [y(n−1) ]
Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì đồ thị tại điểm M( x0 , f ( x0 )) có
phương trình: y − y0 = f ( x0 )( x − x0 ).

1.2

Định nghĩa vi phân, vi phân cấp cao

Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trong khoảng X ⊂ R. Như ta đã biết,
nếu f ( x ) liên tục tại điểm x0 ∈ X thì số gia ∆ f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) là một
vô cùng bé khi ∆x → 0.
Định nghĩa 1.3. Hàm số f ( x ) được gọi là hàm khả vi tại điểm x0 nếu tồn tại số
thực k sao cho ∆ f ( x0 ) là một vô cùng bé tương đương với k∆x (khi ∆x → 0), tức

7


là:

Ta thấy biểu thức vi phân cấp cao không có tính bất biến như biểu thức vi phân
cấp một, tức là với n > 1 công thức trên chỉ đúng khi x là biến độc lập.
Liên hệ với đạo hàm
Định lý 1.5. Hàm số f ( x ) khả vi tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại điểm đó.
Khi đó, hằng số k trong hệ thức (1.1) chính là đạo hàm của hàm số f ( x ) tại điểm x0 tức
là:
d f ( x0 ) = f ( x0 ).∆x

(1.2)

Ứng dụng của vi phân
Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập mở U ⊂ R và x0 ∈ U. Giả sử f khả vi tại
x0 ∈ U. Cho x0 một số gia h sao cho x0 + h ∈ U, khi đó:
∆ f ( x0 , h ) = f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = f ( x0 ) h + σ ( h ).
Nếu |h| đủ nhỏ thì σ(h) nhỏ tùy ý và ta có xấp xỉ:
f ( x0 + h ) − f ( x0 ) ≈ f ( x0 ) h
hay
f ( x0 + h) ≈ f ( x0 ) + f ( x0 )h.

1.3

Các định lí về hàm số khả vi

Định lý 1.6. (Định lí Fermat). Nếu hàm số f : ( a, b) → R đạt cực trị tại c ∈ ( a, b) và
nếu f khả vi tại c thì f (c) = 0.
Chứng minh. Giả sử c là điểm cực đại của f .
Theo giả thiết f khả vi tại x = c nên tồn tại đạo hàm f (c). Ta có

f (c) = lim


tự.
Định lý 1.7. (Định lí Rolle). Nếu f ( x ) là hàm liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm
trên khoảng (a, b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f’(c) = 0.
Chứng minh. Vì f ( x ) liên tục trên [ a, b] nên theo định lí Weierstrass f ( x ) nhận
giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m trên [ a, b].
- Khi M = m, ta có f ( x ) là hàm hằng trên [ a, b], do đó với mọi c ∈ ( a, b) luôn có
f (c) = 0.
- Khi M > m, vì f ( a) = f (b) nên tồn tại c ∈ ( a, b) sao cho f (c) = m hoặc f (c) = M,
theo bổ đề Fermat suy ra f (c) = 0.
Hệ quả 1.8. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ( a, b) và phương trình f ( x ) = 0 có
n nghiệm phân biệt (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên ( a, b) thì phương trình
f ( x ) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm trên ( a, b).
Hệ quả 1.9. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ( a, b) và phương trình f ( x ) = 0 vô
nghiệm trên (a, b) thì phương trình f ( x ) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên ( a, b).

10


Hệ quả 1.10. Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm trên ( a, b) và phương trình f ( x ) = 0 có
nhiều nhất n nghiệm (n là số nguyên dương) trên ( a, b) thì phương trình f ( x ) = 0 có
nhiều nhất n + 1 nghiệm trên ( a, b).
Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ định lí Rolle và nó vẫn đúng nếu các
nghiệm là nghiệm bội (khi f ( x ) là đa thức).
Các hệ quả trên cho ta ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng như
xác định số nghiệm của phương trình. Hơn nữa, nếu như bằng một cách nào đó
ta tìm được tất cả các nghiệm của phương trình thì khi đó phương trình đã được
giải.
Từ định lí Rolle cho phép ta chứng minh định lí Lagrange, tổng quát hơn, chỉ
cần ta để ý tới ý nghĩa của đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên của hàm số).
Định lý 1.11. (Định lý Lagrange). Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn [ a, b], có đạo


Định lý Rolle là một hệ quả của Định lý Lagrange (trong trường hợp f ( a) =
f (b)).
Ý nghĩa hình học
Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn các giả thiết của Định lý Lagrange. Gọi (C ) là đồ
thị của hàm số, giả sử A( a, f ( a)) và B(b, f (b)) là hai điểm phân biệt tùy ý thuộc
đồ thị (C ). Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm C (c, f (c)) thuộc đồ thị sao cho tiếp
tuyến của (C ) tại C song song với đường thẳng AB.
Định lý Lagrange cho phép ta ước lượng tỉ số

f (b) − f ( a)
do đó nó còn được
b−a

gọi là định lý Gía trị trung bình (Mean Value Theorem). Từ đó cho ta ý tưởng
chứng minh các định lý về sự biến thiên của hàm số, đặt nền móng cho những
ứng dụng của đạo hàm.
Định lý 1.12. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( a, b). Khi đó:
a) Nếu f ( x ) > 0, ∀ x ∈ ( a, b) thì f là hàm số đồng biến trên ( a, b);
b) Nếu f ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( a, b) thì f là hàm số nghịch biến trên ( a, b);
c) Nếu f ( x ) = 0, ∀ x ∈ ( a, b) thì f là hàm hằng trên ( a, b).
Chứng minh. a) Giả sử f ( x ) > 0, ∀ x ∈ ( a, b) và x1 , x2 ∈ ( a, b) (x1 < x2 ), theo định
lý Lagrange, tồn tại c ∈ ( a, b) sao cho f (c) =

f ( x2 ) − f ( x1 )
.
x2 − x1

Mà f (c) > 0 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇒ f là hàm số đồng biến trên ( a, b).
Hai khẳng định còn lại được chứng minh hoàn toàn tương tự.

f (b) − f (c)
với c ∈ [ a, b]. Điều này cho ta ý tưởng để chứng minh bất đẳng thức
b−c
như bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức hàm lồi,...
Định lý 1.14. (Định lý Cauchy). Giả sử f và g là các hàm liên tục trên đoạn [ a, b] và
có đạo hàm trên khoảng ( a, b) thỏa mãn g( x ) = 0 với mọi x ∈ ( a, b). Khi đó, tồn tại ít
nhất một điểm c ∈ ( a, b) sao cho
f (b) − f ( a)
f (c)
=
.
g (c)
g(b) − g(c)
Chứng minh. Xét hàm số
h( x ) = g( x )( f ( a) − f (b) − f ( x )( g( a) − g(b)).
Dễ thấy, đây là hàm liên tục trên đoạn [ a, b] và có đạo hàm trên khoảng ( a, b),
đồng thời h( a) = h(b) = g(b) f ( a) − g( a) f (b).
Áp dụng định lý Rolle, tồn tại c ∈ ( a, b) sao cho:
h (c) = 0 ⇔ g (c)( f ( a) − f (b)) − f (c)( g( a) − g(b)) = 0.
Tức là
f (b) − f ( a)
f (c)
=
.
g (c)
g(b) − g( a)

Định lý 1.15. (Công thức Taylor). Giả sử f : [ a, b] → R khả vi liên tục tới cấp n trên

[ a, b], tồn tại f n+1 hữu hạn trong ( a, b). Khi đó, ta có khai triển( hoặc công thức) Taylor

(1.3)

trong đó
n

P( x ) = P( x, f ) =

∑

k =0

f (k )( x0 )
( x − x0 ) k
k!

(1.4)

Đặt
g(t) = f (t) − P(t) − M(tx0 )n+1 , ( a ≤ t ≤ b)

(1.5)

Ta cần chứng minh rằng

(n + 1)!M = f (n+1) (c)
với c nào đó nằm giữa x và x0 . Thay (1.4) và (1.5) ta có
g(n + 1)(t) = f (n + 1)(t) − (n + 1)!M, ( a ≤ t ≤ b).
Mật khác, ta có
P(k) ( x0 ) = f (k) ( x0 ), ∀k = 0, 1, ..., n
Suy ra

Một số áp dụng của đạo hàm và vi phân

2.1.1

Khử dạng vô định

Một trong những ứng dụng quan trọng của công thức Lagrange và Cauchy
là dùng để "khử các dạng vô định". Thực chất của vấn đề này là sử dụng các
phương pháp của phép tính vi phân để tìm giới hạn của tỷ số các vô cùng bé
hay vô cùng lớn.
Định lý 2.1. (De L’Hospital). Giả sử các hàm số f ( x ), g( x ) xác định, khả vi tại lân
cận x = a( a ∈ R), có thể trừ tại x = a.
Nếu

lim

x→a f (x)

= lim g( x ) = 0, g ( x ) = 0 ở lân cận x = a,
x→a

và
f (x)
f (x)
= A thì lim
= A.
x→a g( x )
x→a g ( x )

nếu lim

Vậy nếu lim
2.1.2

Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Việc áp dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số dựa vào định lí
sau:
Định lý 2.2. Cho f là một hàm số xác định, liên tục trong một khoảng đóng hữu hạn

[ a, b] và khả vi trong khoảng mở ( a, b), khi đó:
(1) Điều kiện cần và đủ để f ( x ) tăng (giảm) trong [ a, b] là f ( x ) ≥ 0( f ( x ) ≤ 0) với
mọi x ∈ ( a, b).

(2) Nếu f ( x ) ≥ 0( f ( x ) ≤ 0) với mọi x ∈ ( a, b) và nếu f ( x ) > 0( f ( x ) < 0) tại ít
nhất một điểm x thì f (b) > f ( a)( f (b) < f ( a)).
Chứng minh. Cách chứng minh trường hợp f ( x ) giảm tương tự trường hợp f ( x )
tăng, ở đây chúng ta chỉ chứng minh trường hợp f ( x ) tăng.

(1) Giả sử f tăng, khi đó f ( x + h) ≥ f ( x ) với h > 0 và f ( x + h) ≤ f ( x ) với h < 0
f ( x + h) − h( x )
Do đó
≥ 0, h = 0 bằng cách chuyển qua giới hạn ta có f ( x ) ≥ 0.
h
Ngược lại, giả sử f ( x ) ≥ 0 với mọi x ∈ ( a, b), lấy tại điểm u < v của đoạn [ a, b],
theo Định lý Lagrange có
f (v) − f (u) = (v − u) f (w) với u < w < v.

17



x ∈ ( a, b) do đó h tăng trong [ a, b].
Nghĩa là, h( x ) ≥ h( a), theo giả thiết h( a) ≥ 0, từ đó h( x ) ≥ 0 hay g( x ) ≥ f ( x ) với
mọi x ∈ [ a, b].

(2) Cho x ∈ ( a, b), khi đó h (t) > 0, với mọi t ∈ ( a, x ), định lý trên chứng tỏ rằng:
h( x ) > h( a) ≥ 0.
Do đó
g ( x ) > f ( x ).

18


Tìm cực trị của hàm số
Bây giờ ta xét một vài mệnh đề giúp cho việc tìm cực trị một hàm số f ( x ) khả vi
trong khoảng ( a, b).
Định lý 2.4. Cho hàm số f xác định, liên tục trong [ a, b], khả vi trong ( a, b) (có thể trừ
ra một số hữu hạn điểm, giả sử c là một điểm thỏa mãn a < c < b (có thể tại x = c hàm
f không khả vi).

(1) Nếu khi x vượt qua c mà f (c) đổi dấu từ + sang - thì f ( x ) đạt cực đại tại x = c.
(2) Nếu khi x vượt qua c mà f ( x ) đổi dấu từ - sang + thì f ( x ) đạt cực tiểu tại x = c.
(3) Nếu khi x vượt qua x mà f ( x ) đổi dấu từ - sang + thì f ( x ) không đổi dấu thì f ( x )
không đạt cưc trị tại c.
Chứng minh. Chứng minh trường hợp (1) các trường hợp sau cũng lập luận
tương tự.
Giả sử x là một điểm thuộc lân cận điểm x = c và x < c, khi đó theo giả thiết
f (t) > 0 với x < t < c, do đó f ( x ) tăng trong [ x, c]( định lý về hàm tăng ).
Do đó, f ( x ) giảm trong [c, x ], nghĩa là f (c) ≥ f ( x ).
Như thế với mọi x thuộc lân cận điểm c ta luôn có f (c) ≥ f ( x ).
Vậy f ( x ) đạt cực đại tại x = c.

Hơn nữa, vì g(0) = g(1) = 0.
Do đó g chỉ có thể lấy các giá trị dương trong (0, 1).

Các bất đẳng thức lồi
(a) Bất đẳng thức Jensen
Cho f là một hàm số lồi trên I := ( a, b), khi đó với x1 , x2 , ..., xn ∈ I và với λ1 , λ2 , ..., λn ∈
n

[0; 1] sao cho ∑ λk = 1, luôn có:
k =1

n

f

n

∑ λk xk

∑ λk f ( xk ) *

k =1

k =1

20


Chứng minh. Bất đẳng thức trên là tầm thường khi n = 1 và n = 2 thì đó chính là
định nghĩa tính lồi của f .

n

c=

∑ λ k = 1 − λ n +1 > 0

k =1

và
1 n
x = ∑ λk xk
c k =1
Vì xi ∈ 1; i = 1; 2; ...; n nên x ∈ 1. Theo định lí hàm lồi, ta có
n +1

f

∑ λk xk

= f (cx + (1 − c) xn+1 ≤ c f ( x ) + (1 − c) f ( xn+1 ) = c f ( x ) + λn+1 f ( xn+1 )

k =1

Mặt khác, dùng giả thiết quy nạp ta được:
n

λ
∑ ck xk
k =1


(b) Bất đẳng thức về số trung bình.

21


Cho ai

0, i = 1, n đặt

C :=

1 n
ak ; N :=
n k∑
=1

n

∏ ak

1
n

k =1

Khi đó:
N

C


∑ λk ak

≤

∑ λk (− ln ak )

k =1

k =1

tức là
n

n

k =1

k =1

∑ λk ak ≤ ∏ aλkk (*)

Đặc biệt, lấy λ1 = λ2 = ... = λn =

1
suy ra
n
N≤C

(c) Các bất đẳng thức Holder và Minkwski.
Cho p > 1, q > 1 sao cho

k =1

∑ | xk |q

k =1

22

1
q


Với ab = 0, dùng bất đẳng thức có được ở phần (i) với x :=

| xk |
|y |
; y := k và được
a
b

1 | xk | p 1 |yk |q
+
, k = 1, n
p ap
p bq

| xk yk | | xk | |yk |
=
.
ab

qb

=

1 1
+ =1
p q

Thay giá trị của a, b vào bất đẳng thức trên ta suy ra bất đẳng thức Holder dưới
đây:
n

n

∑ xk yk

∑ | xk | p

k =1

1
p

k =1

n

∑ |yk |q

1

k =1

2.1.4

1
p

n

∑ | xk | p

k =1

1
p

n

+

∑ |yk | p

1
p

.

k =1

Giải phương trình f(x)=0 theo phương pháp Newton

với c ở giữa x0 và x. Thế f ( x ) vào phương trình f ( x ) = 0, được
1
f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 ) + ( x − x0 )2 f ( c ) = 0
2
Vậy nghiệm của phương trình trên cũng chính là nghiệm của phương trình
nguyên thủy f ( x ) = 0.
24


Bây giờ ta xây dựng công thức tìm dãy { xn } hội tụ đến nghiệm α bằng cách bỏ
qua số hạng bình phương trong phương trình (2.1) ta được:
f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 ) = 0
Gọi x1 là nghiệm của (2.2) ta có
x1 = x0 −

f ( x0 )
f ( x0 )

Từ x1 có thể tìm tương tự x2 , x3 , ... một cách tổng quát
x n = x n −1 −

f ( x n −1 )
f ( x n −1 )

với x0 chọn trước, x0 ∈ ( a, b).
Tóm lại, với công thức (2.3) ta có một dãy { xn } với x0 ∈ ( a, b).
Nếu { xn } hội tụ thì lim xn = α là nghiệm của phương trình nguyên thủy.
Thật vậy, giả sử xn → c chuyển qua giới hạn hệ thức (2.3) và lim f ( xn ) = f (lim xn )
Suy ra f (c) = 0.
Mặt khác, phương trình f ( x ) = 0 có duy nhất nghiệm α ∈ ( a, b).