đề thi vào lớp 10 chuyên
Năm học 2006 - 2007
môn toán
( Thời gian làm bài 150' )

Bài 1
Cho biểu thức :
P =
(
3x 9x 3
x x 2
+
+
+
1
x 1
+
1
x 2+

) :
1
x 1

a.Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P ?
b.Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên ?
c.Tìm giá trị của P với x = 4 - 2
3

Bài 4
Cho phương trình : x
3
- m(x+2) + 8 = 0
1/Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ?
2/Khi phương trình có 3 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
.
Chứng minh: x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
= 3x
1
x
2
x
3

Bài 5
Cho đường tròn (O) và dây AB; điểm M chuyển động trên đường tròn. Từ M kẻ

x 3 x 2
x 1
x 1 x 2
+ +

+
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x 1 x 2
x 1 x 1
x 1 x 2
+ +
+
+
=
( )
2
x 1+ 0,5 đ
b.Do
( )
2
x 1+
0
với
x
nên 0
( )
2

x 1+
=1

x = 0 Khi đó
1
P
=1 là số tự nhiên
c.x = 4 - 2
3
=
( )
2
3 1 suy ra
P =
( )
2
2
3 1 1

+=
( )
2
3 1 1 + = 3 0,5 đ
Bài 2 (2điểm)
Từ giả thiết 0

a,b,c

4 + a
2
+b
2
+c
2
(a + b + c)
2


4 + a
2
+b
2
+c
2
9

4 + a
2
+b
2
+c
2



b
2
+ b - a
2
= 0 (2)


= 1 + 4a
2
0,5đ
Để phương trình (2) có nghiệm nguyên thì

là số chính phương suy ra
4 a
2
+ 1 = k
2
(k

N)

(k - 2a)(k + 2a) = 1 0,5 đ
Ta có bảng sau: k - 2a 1 -1
k + 2a 1 -1
a 0 0

=



x 0
y 0
=


=


* Với
a 0
b 1
=


=



x y 0
xy 1
+ =


=




Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình
x
2
- 2x + 4 - m = 0 (2)
phải có 2 nghiệm phân biệt khác (-2)


,
m 3
1 4 m 0
m 12
4 4 4 m 0
>
= + >





+ +


0,25 đ
b. Gọi x
1
,x
2
là các nghiệm của (2). Khi đó x
3



3 3 3
1 2 1 2 3 3
x x 3x x x x+ + =

3 3 3
1 2 3 1 2 3
x x x 3x x ( x ) 0+ + + =



3 3 3
1 2 3 1 2 3
x x x 3x x x+ + =
0,25 đ

B i 5 (3 điểm)
a. Tứ giác MEHF nội tiếp đường tròn vì
có MEH + MFH = 180
0

Vậy MD luôn đi qua một điểm cố định. 0,5đ
b. Kẻ DI MA, DK MB. Ta có:

MAH
MBD
AH S AM.HE
BD S BM.DK
= =MAD
MBH
AD S AM.DI
BH S BM.HF
= =
Vậy
2
2
AH AD MA HE.DI
BD BH MB DK.HF
= (*) 0,5 đ
Ta có HMB = FHB (cùng phụ với MHF)
mà FHB = EMD (chứng minh trên)


HMB = EMD

AMH = DMB
)2(


ID DK
HF HE
=


ID.HE DK.HF=



ID.HE
1
DK.HF
=

Kết hợp với (*) ta có
2
2
MA AH AD
MB BD BH
= 0,5đ