/>HÀM SỐ
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )x x K x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng
0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
3 2 2

Chứng minh hàm số
2
2y x x= −
nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
a. Chứng minh hàm số
2
9y x= −
đồng biến trên nửa khoảng [3; +
∞
).
b. Hàm số
4
y x
x
= +
nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
a. Hàm số
3
2 1
x
y
x
−
=
+
nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số
2

5 6
( )
3
x x m
f x
x
+ + +
=
+
đồng biến trên khoảng
(1; )+∞
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−
đồng biến trên mỗi khoảng xác định
của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số
3
2
( 1) ( 3)
3
x
y m x m x= − + − + +
đồng biến trên khoảng (0; 3)

+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ()f a f x f≤ ≤
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì
( ) ( ) ( )f a f x f b≥ ≥
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
π
− < + < + ∞
≠
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2
π
 
÷

 

4
f x x
π
π
= − ∈
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên
[0; ]
4
π
b. Chứng minh rằng
4
tan , [0; ]
4
x x x
π
π
≤ ∀ ∈
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0
hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và

2

3
y x x
y x x
x
x
= + −
= ⇔ + − =
=

⇔

= −

+
∞
-
∞
- 54
71
+
+
-
0
0
2
-3
+
∞

= −

y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
y
ct
= - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3
và
y
cđ
=71
3
/>Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5
a x x
c x x
− − +
− − +
3
f. y = - x - 5x
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
2 2
2 2
2

x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c
π
∈ y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị
tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x
3
– 3mx
2
+ ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
2
' 3 6 1y x mx m= − + −
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0
2
3.(2) 6 .2 1 0 1m m m⇔ − + − = ⇔ =

Bài 3. Tìm m để hàm số
2
1
®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2
x mx
y
x m
+ +
=
+
Bài 4. Tìm m để hàm số
3 2 2
2 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1y x mx m x= − + −
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số:
3 2
( ) axf x x bx c= + + +
đạt cực tiểu tại điểm x = 1,
f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số
( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-
2) = -2
Hướng dẫn:
2

= +

Lp bng bin thiờn xem hm t cc ti ti giỏ tr x no.
Dng 3. Tỡm iu kin hm s cú cc tr
Bi toỏn: Tỡm m hm s cú cc tr v cc tr tho món mt tớnh cht no ú.
Phng phỏp
B1: Tỡm m hm s cú cc tr.
B2: Vn dng cỏc kin thc khỏc Chỳ ý:
Hm s
3 2
ax ( 0)y bx cx d a= + + +
cú cc tr khi v ch khi phng trỡnh y = 0 cú hai
nghim phõn bit.
Cc tr ca hm phõn thc
( )
( )
p x
y
Q x
=
. Gi s x
0
l im cc tr ca y, thỡ giỏ tr ca y(x
0
)
cú th c tớnh bng hai cỏch: hoc
0 0
0 0
0 0
( ) '( )

2
m
m m
m
>

= >

<

b. TX:
{ }
\ 2Ă

2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
àm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 ó hai nghiệm phân biệt khác -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m

2( 1) 4 1
3
m
y x m x mx= + +
. Tỡm m hm s cú cc i cc tiu.
Bi 5. Cho hm
2
1
x mx
y
x
+
=

. Tỡm m hm s cú cc tr
Bi 6. Cho hm s
2
2 4
2
x mx m
y
x
+
=
+
. Xỏc nh m hm s cú cc i v cc tiu.
Dng 4. Tỡm tham s cỏc cc tr tho món tớnh cht cho trc.
Phng phỏp
+ Tỡm iu kin hm s cú cc tr
5

x
d
x
+ −
+ + − +
− +
− +
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x
10 - x 6
a
d
x
+
−
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c

( )
1
q
f x xp
x
= +
+
đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-
2) = -2
Bài 11. Tìm m để hàm số
3 2
3 2. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT?y x mx= − +
Bài 12. Tìm m để hàm sô
2 3
( 1) 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số
3 2
2 · 12 13y x x= + − −
. Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm
cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số
3 2
2( 1) 4 1
3

:
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x
0
thì f’(x
0
) bằng 0 hoặc khơng xác định
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i

[ ]
;a b∈
(i = 1, 2, ..., n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
đònh .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
B3: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )

2
2 3 4
3
x
y x x= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16
Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈

cosx 2 2
π π
 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
8
GTLN
-
+
y
y'
b
x
0
a
x
GTNN
+
-
y
y'
b
x
0
a
x
+
∞
+
∞
0

0a
≠
) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện
sau thoả mãn:
lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0
x x
f x f x
→+∞ →−∞
− −
II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ
( )
( )
P x
y
Q x
=
Phương pháp
• Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm
cận đứng.
• Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử
và mẫu.
+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được
xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b +
( )x
ε
với
lim ( ) 0

= −∞ = +∞
+ +
nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì
1
2
2 1
lim lim 2
2
2
1
x x
x
x
x
x
→±∞ →±∞
−
−
= =
+
+
nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+
2
3
7
lim
3

2
1
2
lim .
1
x
x
x
+
→
+
= = +∞
−
Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+
2
1
2
lim
1
x
x
x
−
→−
+
= +∞
−
. Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+

b
bx c a x x
a
ε
+ + ≈ + +
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→+∞
=
khi đó
( )
2
b
y a x
a
= +
có tiệm cận xiên bên phải
Với
lim ( ) 0
x
x
ε
→−∞
=
khi đó
( )
2

lim
( )
0
f x
x x
g x

L

Tuỳ ý 0
L > 0 0
+ +

- -

L < 0 0
- +

+ -

Bài 1. Tìm tiệm cận các hàm số sau:
2x - 1 3 - 2x 5 -4
. y = b. y = c. y = d. y =
x + 2 3x + 1 2 - 3x x + 1
x+ 1 1
e. y = f. y = 4 +
2x + 1 x- 2
a
-x + 3 4 - x
g. y = h. y =

Bài 3. Tìm tiệm cận các hàm số
2
2
x
. y =
1
x+ 3
b. y =
x+ 1
1
.
4
x
a
x
x
c y
x
+

+
=

Bài 4. Xác định m để đồ thị hàm số:
2 2
3
2( 2) 1
x
y
x m x m

1
x x m m
y
x
+ +
=

(1)
a. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị đi qua điểm
(4; 3)A
b. Tìm m để đờng tiệm cận xiên của (1) cắt Parabol
2
y x=
tại hai điểm phân biệt.
11
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
2
-2
-4
-5 5
/>4. khảo sát và vẽ hàm bậc ba
Dạng 1: Khảo sát và vẽ hàm số
3 2

lim ( 3 1) lim (1 )
3 1
lim ( 3 1) lim (1 )
x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
+ +

+ = + = +
+ = + =
c. Bảng biến thiên
2 2
0
' 3 6 ' 0 3 6 0
2
x
y x x y x x
x
=

= + = + =

=

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ;0) và (2; + )
Và nghịch biến trên khoảng (0; 2).


+

-1
--
+
0
0
2
0
+

-

y
y'
x
2
-2
-5 5
/>Các bài toán về hàm bậc ba
Bài 1(TNTHPT 2008)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biệm luận theo m số nghiệm của phơng trình
3 2
2 3 1x x m+ =
Bài 2 (TN THPT- lần 2 2008)

a/ Kho sỏt v v th hm s .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im có hoành độ là nghiệm của phơng trình y=0 .
c/ Vi giỏ tr no ca m thỡ ng thng y=x+m
2
-m i qua trung im ca on thng
ni cc i vo cc tiu .
Bi 6 (TNTHPT 2004 - KPB)
Cho hm s y=
3 2 3
3 4x mx m +
.
a/ Kho sỏt v v th hm s khi m=1 .
b/ Vit phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x=1 .
Bài 7 (ĐH- A- 2002)
Cho hàm số
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= + + +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m= 1
b. Tìm k để phơng trình:
3 2 3 2
3 3 0x x k k + + = có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phơng trình đờng thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Bài 8 (CĐ SP MGTW- 2004)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 4m
a. Chứng minh đồ thị hàm số luôn có 2 cực trị.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

3 2y x x= +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Gọi d là đờng thẳng qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc m. Tìm m để đờng thẳng d cắt (C
) tại 3 điểm phần biệt. (Gợi ý đờng thẳng d qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc m có dạng: y =
m(x - x
0
) + y
0
)
Bài 7
Cho hàm số y = (x - m)
3
- 3x
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1
b. Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
Bài 8
Cho hàm số y = (x -1)(x
2
+ mx + m)
c. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
d. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m= 4
Bài 11
Cho hàm số y =
3 2 2
2 2x mx m x +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m =1

/>Bài tập hàm số trùng phơng
Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
. y= -x 2 b. y = x 2 c. y = x 6 1
1 5
. y = 3 e.y = -x +2x +3 f. y = x +2x +
2 2
a x x x
d x x
+ + +
= 1
Bài 2.
Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= +
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m =1
b. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị là ba đỉnh của tam giác vuông cân.
Bài 3 (ĐH Đà Lạt - 2002)
a. Giải phơng trình
4 2
2 1 0x x + =
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
4 2
2 1x x +
c. Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình
4 2
2 1 0x x m + =
Bài 4 (ĐH Thái Nguyên - 2002)
Cho hàm số

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1
b. Xác định m để đồ thị
( )
m
C
của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm
Bài 8. (ĐH Cần thơ - 2002)
Cho hàm số
4 2
2 2y x x m= +
(C
m
)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 0
b. Tìm các giá trị của m để đồ thị (C
m
) của hàm số chỉ có hai điểm chung với Ox
c. Chứng minh với mọi m tam giác có 3 đỉnh là ba cực trị là một tam giác vuông cân.
16