CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

TÊN ĐỀ TÀI:
MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM
CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
(ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

Họ và tên: TRẦN HẢI NHÂN
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Chí Thanh

Quảng Bình, tháng 01 năm 2019


1. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV:
GIỚI HẠN, đã đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của dãy số
dưới dạng mô tả.
Giới hạn của dãy số là nội dung quan trọng, làm nền tảng cho Giới hạn của
hàm số, đạo hàm và các ứng dụng.
Học sinh lần đầu tiên tiếp xúc với một khái niệm giải tích, gắn liền với tư
tưởng vô hạn nên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn. Cùng với đó khả năng vận dụng
kiến thức cũ đã học của các em để giải quyết các dạng toán giới hạn còn hạn chế.
Vì vậy, tôi thực hiện viết đề tài: “Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố
và mở rộng giới hạn của dãy số” với mục đích góp phần làm sáng tỏ và giúp học
sinh nắm chắc, hiểu sâu, tổng quát hóa vấn đề trừu tượng của Giải tích gặp phải trong
quá trình dạy học phần Giới hạn nêu trên.
1.2. Điểm mới của đề tài
Trong đề tài sử dụng kiến thức giáo viên và học sinh tìm hiểu được qua sách


0
u 100

1

1

4

2
u2

u4

1
u1

a) Nhận xét khoảng cách từ un tới 0, tức là un  0 trở nên càng nhỏ khi n trở nên
rất lớn.
b) Bắt đầu từ số hạng un nào của dãy số thì khoảng cách từ un tới 0 nhỏ hơn các số
sau đây: 0,01 và 0,001 ?
Ta có: un  0  0, 01 

1
1

 n  100 .
n 100




 1
Ví dụ 1. Chứng minh dãy số  un  với un  2 có giới hạn là 0.
n

n

Giải. Ta cần chứng minh un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số
hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn: un 

 1
n

2

n



1
1
1
 0, 01 hay un  2 
2
n
n 100

với mọi n thỏa mãn n2  100 hay n > 10.


vn  lim
Vậy nlim

n 

2n  1
 2.
n

2. Một vài giới hạn đặc biệt
Từ định nghĩa suy ra các kết quả:
1
n

 0 ; lim
a) nlim
n 


1
 0 với k nguyên dương;
nk

q n  0 nếu q  1 ;
b) nlim


un  c .
c) Nếu un  c (c là hằng số) thì nlim


1
3n  n
n .
Giải. Chia tử thức và mẫu thức cho n 2 , ta được

2
1 1
1 n
. 1
n n
3

3

Vì lim  3    lim3  lim  3
n
n
1



1



và lim  .  1  lim .lim  lim1  0.0  1  1 .
n
n
n n 

Ví dụ 4. Tính lim
1  2n
 1

1
1
n2  2  4 
n 2 4
4
2
1  4n
2
n

n
n
 lim
 lim
Giải. Ta có lim
 lim

 1 .
1
1  2n
1  2n

2
1

2

1 1 1
1
b) Tính tổng 1     ...    
2 4 8
 2

1
.
3n

n1

 ...

1
1 1
1
1
1
1
1
Giải a) Vì un  n nên u1  , q  . Do đó S    ...  n  ...  3  .
1
3 9
3
2
3
3
3
1

mỗi tờ có bề dày 0,1mm. Ta xếp chồng liên tiếp,
giả sử có thể thực hiện việc này một cách vô hạn.
Gọi u1 là bề dày của một tờ giấy,
u2 là bề dày của một xếp giấy gồm 2 tờ,
u3 là bề dày của một xếp giấy gồm 3 tờ, …

Trái Đất

un là bề dày của một chồng giấy gồm n tờ.

5


Biểu diễn bảng sau đây, cho ta biết bề dày của một số chồng giấy.
…
…

u1
0,1

u1000
100

…
…

u1000000
100000

…

Nhận xét: lim un    lim  un    .
Ví dụ 6. Cho dãy số  un  với un  n2 .
Biểu diễn các số hạng của  un  trên trục số
0

1
u1

4
u2

n2
un

Ta thấy, khi n tăng lên vô hạn thì un  n2 trở nên rất lớn.
Ta chứng minh được lim un   , nghĩa là un có thể lớn hơn một số dương bất kì,
kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Chẳng hạn, un  10000 , hay n2  10000 khi n  100 tức là kể từ số hạng thứ 101 trở
đi ta có un  10000 .
Tương tự, un  1020 kể từ số hạng thứ 1010  1 .

6


2. Một vài giới hạn đặc biệt
Ta thừa nhận các kết quả sau
a) lim nk   với k nguyên dương.
b) lim qn   nếu q > 1.
3. Định lí
Ta thừa nhận định lí dưới đây

2

5
2n  5
5
Vì lim  2    0 và lim3n   nên lim
 lim n n  0 .
n
n.3
3
n

2

Ví dụ 8. Tính lim  n2  2n  1 .
Giải. Ta có n2  2n  1  n2 1   2  .
 n n 
2

1

Vì lim n2   và lim 1   2   1  0 nên limn2 1   2    .
n n
n n
2



1



1
 0 ; lim nk   , với k nguyên dương.
k
n

b) lim q n  0 nếu q  1 ; lim q n   nếu q > 1.
c) limc = c (c là hằng số).
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
a) Nếu lim un  a và lim vn  b thì
lim  un  vn   a  b ;

lim  un  vn   a  b ;

lim  un .vn   a.b ;

lim

un a
 (nếu b  0).
vn b

b) Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a .
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
a) Nếu lim un  a và lim vn   thì lim

un
vn

 0.

Giải. Cách 1
Ta cần chứng minh un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào
đó trở đi.
Chẳng hạn: un 

 1
n

n



2

1
1
1
 0, 01 hay un  2 
2
n
n 100

với mọi n thỏa mãn n2  100 hay n > 10.
Nghĩa là kể từ số hạng thứ 11 trở đi thì un  0, 01 .

un  0 .
Vậy nlim

Cách 2
Theo cách 1, thay 0,01 > 0 bởi một số dương bé tùy ý (cũng có thể lấy   0,01 )

n2

Ví dụ 2. Cho dãy số  un  thỏa mãn un  n2 với mọi n. Chứng minh lim un   .
Giải: Cách 1
Vì limn2   (theo giới hạn đặc biết) nên n 2 có thể lớn hơn một số dương lớn tùy
ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số
dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy lim un   .
Cách 2. Nhìn nhận từ cách 1
Đặt dãy số  un  với vn  n2 .
Cho số dương A, khi đó n2  A kể từ số hạng n  A trở đi.
Mặt khác, theo giả thiết un  n2 với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số
dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy lim un   .
2. Mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực
Định nghĩa mở rộng
a) Dãy số  un  có giới hạn là 0 và viết lim un  0 hay un  0 khi n   , nếu
với mỗi số dương cho trước  , tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho
n  n0  un   .

b) Dãy số  un  có giới hạn là số thực a và viết lim un  a hay un  a khi n  
.
Hay lim un  a nếu lim  un  a   0 .
Như vậy: lim un  a  với mỗi số dương  cho trước, tồn tại một số nguyên
dương n0 sao cho n > n0  un  a   .
Hơn nữa: un  a      un  a    a    un  a   .
Do đó các điểm un 1; un 2 ;... thuộc khoảng  a   ; a    .
0


q

n

 (1   )n  1  n.  n. .

1 1
với mọi n.
n 

Từ đó suy ra q n  .

1 1

1

Vì lim  0 nên theo định lí trên ta có lim  .   0 .
n
n  
Vậy lim q n  0 nếu q  1 .
d) Chứng minh lim
Giải. Đặt un 

1
 0.
n

1
.
n

a) (0,9; 1,1);

b) (0,99; 1,01).

Giải
lim un  1  lim un  1  0 . Do đó, un  1 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể

từ một số hạng nào đó trở đi.
1,1  0,9
a) Lấy số dương này là 0,1 (tức là số dương bé tùy ý   0,1 ) bằng
, ta có
2

un 1  0,1  0,1  un 1  0,1  0,9  un  1,1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Vậy tất cả các số hạng của  un  đều nằm trong khoảng (0,9; 1,1).
1, 01  0,99
b) Lấy số dương này là 0,01 (tức là số dương bé tùy ý   0,01 ) bằng
,
2

ta có un  1  0,01  0,01  un  1  0,01  0,99  un  1,01 kể từ một số hạng nào đó
trở đi.
Vậy tất cả các số hạng của  un  đều nằm trong khoảng (0,99; 1,01).
Ví dụ 2. Biết dãy số  un  thỏa mãn un 

n 1
với mọi n.
n2

Chứng minh rằng lim un  0 .

a b
3

a3b

a b
.
3
a  3 ab  3 b

2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính lim

n 2  4n  1
.
2  3n2

Giải


n2 1   2 
1  2 

n  4n  1
n n   lim  n n   1 .
Ta có lim
 lim 
2
2
2  3n


1



1

4

1



n  3   2  1
 3   2  1
n n
n
n n
3n2  4n  1  n


  0.

lim

lim
Ta có lim
2
2
2

lim

lim

1
2
n2
n2

 3
2
n n
1

Ví dụ 4. Tính lim  n2  n n  1 .
Giải
Ta có lim  n2  n n  1  lim  n2  1 
Ví dụ 5. Tính lim





1



n



n2  11n  n2 10

n2  11n  n2 10





10 

10
11 
11n  10
n 
11

n
 lim 2
 lim
 lim
 .
2
11
10
11
10 2
n  11n  n 10
n 1 2  n 1 2
1 2  1 2
n

un 1  1
2  un


với n  1. Dãy số  un  có giới hạn hay không khi n  +. Nếu có, hãy tính lim un .
Giải

n
1
2
3
4
Ta có u1  ; u2  ; u3  ; u4  . Dự đoán un 
(1).
n 1
3
5
2
4
Chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp:
- Với n = 1, ta có u1 

1 1
 (đúng).
11 2

- Giả sử đẳng thức (1) đúng với n = k (k  1), nghĩa là uk 
Khi đó ta có uk 1 

k


15


Dạng 4. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1. Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Các bài toán có yêu cầu tìm cấp số nhân lùi vô hạn khi biết một số điều kiện: Ta
dung công thức đó để tìm số hạng đầu và công bội.
Viết một số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng một phân số hữu tỉ: Khai triển
số đã cho dưới dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng này.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính tổng S  2  2  1 

Giải. Dãy số vô hạn 2; 2;1;
Vì q  

1 1
  ...
2 2

1 1
1
.
; ;... là cấp số nhân có công bội q  
2 2
2

1
1

1
 32  4q 2  4q  1  0  q  .
thức trên ta có
q 1  q 
2
Giải. Từ giả thiết suy ra

Từ đó: vn  v2 q n2  8.

1
1
 n 5 .
n2
2
2

Vậy dạng khai triển của  vn  là: 16; 8; 4; 2; 1;

1
1
;... n5 ;...
2 2

16


Ví dụ 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ
a  2;131313... (chu kì 13).

Giải

 ...  2  100
1
100 10000
100n
1
100

, với mọi n nguyên dương.

;...;

13
100

n

;... các số hạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q 

1
100

).

17


III. Bài tập củng cố
Bài 1. Nếu dãy số  un  có giới hạn là 0. Khi đó dãy số un có giới hạn 0 hay không
? Ngược lại có đúng không ?
Bài 2. Chứng minh dãy số  un  với un   1 không có giới hạn 0. Từ đó chứng

.

3n2  5n  1
b) lim
;
2n  3

n3  4n  9

Bài 8. Tính giới hạn
n

 3n 
3
a) lim     n  ;
   4 



b) lim  2n 


11 
;
n 

c) lim

3n n
.

n

 3
lim

 2.5n
.
1  5n
n

18


Bài 11. Tính giới hạn
a) lim

1
1.2  2.3  ...  (2n 1)2n  ;
n3

b) lim

1  2  3  ...  n
.
n2  n  1

Bài 12. Cho dãy số xác định bởi công thức truy hồi
u1  2



n1

1 1 1  1
Bài 16. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 1;  ; ;  ;...;    ;...
2 4 8  2
Bài 17. Tính tổng S  1 0,9   0,9  ...   0,9  ...
2

n 1

Bài 18. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công
2
bội q  .
3
Bài 19. Cho dãy số  un  có số hạng tổng quát un  sin   sin 2   ...  sin n  với


   k . Tính lim un .
2

Bài 20. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn x  34,121212... (chu kì 12). Viết lại x
dưới dạng số hữu tỉ.

19


IV. Phần hướng đáp số, hướng dẫn giải
Bài 1. Vì  un  có giới hạn 0 nên un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ
một số hạng nào đó trở đi.
Mặt khác, un  un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào

un  vn
un  vn
un  vn

un2  vn2
0.
Suy ra điều cần chứng minh là lim
un  vn
Bài 5. Đặt p 

1
. Vì q  1 nên 0 < p < 1. Do đó lim pn  0 .
q

Suy ra lim q n  lim

1

pn

  .

Bài 6. a) Ta có nq n  n q  n
n

1
1
với mọi n, và lim n n  0 .
n
a

b) +;

c) 1 .

Bài 8. a) 0;

b) +;

c) +.

Bài 9. a) 1 ;

b)

Bài 10. a) +;

b) +;

Bài 11. a) un 



4

n

3

n


n

1)2
n

 2k  1 2k 


n3
n3 
k 1
4 n(n  1)(n  2) 2 n(n  1)
 3
3
6
n
2

n

k  n
k 1

2(n  1)(2n  1) n  1
4
 2 . Vậy lim un  .
2
3n
n
3

1 a

1
1
 lim  un  
1 a
1 a
1

4

Bài 15. Ta có un1   un    2 theo bất đẳng thức Cô-si vì un  0, n  N *
2
u


n



21


Do đó un  2, n  2 suy ra

un1 1 
4
 1  2   1, n  2 hay un1  un .
un
2  un 

Bài 20. x 

sin 
.
1  sin 

1126
.
33

22


3. Phần kết luận
3.1. Ý nghĩa của đề tài
Đề tài tóm tắt kiến thức giáo khoa về giới hạn của dãy số nảy sinh vấn đề là
hạn chế về mặt bản chất của định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy
số, định nghĩa được trình bày mức độ mô tả nên hạn chế về mặt tổng quát. Hầu hết
các định lí cụ thể là các phép toán giới hạn cũng như các giới hạn đặc biệt là thừa
nhận. Do vậy, bằng cách nào đó khi truyền đạt được ý tưởng của đề tài đến học sinh
có thể giúp học sinh hiểu rõ kiến thức, các em có thể hiểu, tự chứng minh được các
định lí là các phép toán giới hạn để khi sử dụng trong quá trình giải bài tập không
còn bị động.
Trong quá trình viết, việc đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số
được xuất phát từ các ví dụ trong sách giáo khoa hoặc ví dụ đơn giản làm cơ sở. Mặc
dù sử dụng ngôn ngữ “số dương bé tùy ý” của “Giải tích hiện đại” song học sinh vẫn
có thể tiếp thu và là nền tảng khi các em tiếp tục học chương trình Toán năm đầu
của hầu hết các trường Đại học, cao đẳng.
Song song với đó, đề tài dựa vào kiến thức được tóm tắt là hệ thống dạng toán
được phân loại ở mức độ cơ bản (dành cho học sinh trung bình) và một số bài tập