1 NHỮNG BÀI TOÁN
GIẢI TÍCH CHỌN LỌC

3
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN



Biên soạn
TS. TÔ VĂN BAN

5
MỤC LỤC

Trang
Lời giới thiệu

Một số ký hiệu sử dụng trong sách
9
Chương I.
Số thực, giới hạn dãy số, chuỗi số
11

= f(u
n+1
, u
n
, n) 110
§1.15. Nghiệm các phương trình f
n
(x) = 0 114
§1.16. Sơ lược về chuỗi số 119
Chương II. Hàm số - Giới hạn - Liên tục
125
§2.0. Tóm tắt lý thuyết 125
§2.1. Giới hạn - liên tục theo ngôn ngữ "ε - δ", theo ngôn ngữ dãy
130
§2.2. Giới hạn - liên tục trái, phải 132
§2.3. Tìm giới hạn - Thay tương đương - Quy tắc L' Hôpital 134
§2.4. Giới hạn - liên tục của hàm đơn điệu 137
§2.5. Các phép toán với các hàm có giới hạn, với các hàm liên tục 141
§2.6. Hàm liên tục trên đoạn đóng -
Định lý giá trị trung gian 141
§2.7. Liên tục đều 149
§2.8. Liên tục với hàm ngược 153

6
§2.9. Liên tục và tuần hoàn 155
§2.10. Phương trình hàm không sử dụng tính liên tục, khả vi 167
§2.11. Phương trình hàm với tính liên tục 167
Chương III. Đạo hàm - Vi phân
181
§3.0. Tóm tắt lý thuyết 181

325
§5.0. Tóm tắt lí thuyết 325
§5.1. Giới hạn 331
§5.2. Sự liên tục 333
§5.3. Đạo hàm riêng 339
§5.4. Hàm ẩn 352
§5.5. Cực trị 355
Tài liệ
u tham khảo
365

77
LỜI GIỚI THIỆU

Nhằm góp phần giúp cho sinh viên với một nỗ lực nhất định tiệm cận được tới
một số phương pháp luận của toán học, chúng tôi xin ra mắt bạn đọc cuốn
"Những bài toán giải tích chọn lọc". Sách là bộ sưu tập những bài tập hay, khá
khó, điển hình và rất đa dạng từ các cuộc thi Olympic sinh viên trong nước và
quốc tế, từ các cuốn sách của các tác giả nổi tiếng trong và ngoài nướ
c, các tạp
chí Americal Mathematical Monthly, Putnam Problem, Delta... với những lời giải
đôi khi được cải tiến cùng một số bài tập khác của chúng tôi.
Để khắc phục tình trạng thiếu thời gian nghiêm trọng của sinh viên, chúng tôi
đã dẫn ra toàn bộ các lời giải - dẫu rằng chúng tôi không bao giờ khuyên độc giả
chỉ đọc những lời giải này. Chúng tôi đã cố gắng trình bày theo ý chủ đạo xuyên
suốt: Sách không chỉ giúp độc giả biết được lời giả
i của bài toán, mà hơn cả, làm

Trang chẵn bỏ

9

(a; b) khoảng mở
{
x
∈

R
, a < x < b
}
.
•
[a; b) khoảng nửa mở
{
x
∈
R
, a
≤
x < b
}
.
• [a; b] đoạn { x ∈
R
, a ≤ x ≤ b}.
•[x], E(x) phần nguyên của số thực x.
•{x} phần phân (lẻ) của số thực x {x} = x - [x] ;
tập hợp gồm 1 phần tử x
•
n ! giai thừa n ! = 1. 2. 3... n.
•
n!! giai thừa kép (2n-1)!! = 1. 3. 5... (2n-1);

•
()
ax
xf
=
- giá trị của hàm f tại điểm x = a.
•
BA:f →
- Ánh xạ từ A vào B; - hàm số với tập xác định là A, tập giá trị
chứa trong B.
•
∞→n
n
xlim
giới hạn của dãy số {x
n
}.
•

∞→
=
n
n
kxlim
hay x
n

→
k (n
→

→ axax
xfxf lim,lim
giới hạn của hàm số f(x) khi x dần đến a về bên phải (về
bên trái).
•

()
()
dx
xdf
xf ;'
đạo hàm bậc nhất của hàm f(x).
•
( ) ( )
( )
00
xfxf
''
−+
đạo hàm phía phải (trái) của hàm f(x) tại x
0
.
•
()
()
()
n
n
n
dx

2
∂∂
∂
∂
∂
các đạo hàm riêng bậc hai của hàm nhiều biến.
•
fd,df
2
... vi phân cấp một, cấp hai,... của hàm f(x).
•
∞
.,.,.,.
21
chuẩn, chuẩn tổng các giá trị tuyệt đối, chuẩn Euclide,
chuẩn Max trên
n
R
.
• B(a,r) hình cầu mở tâm a, bán kính r.
() ()
a
f
;a
f
υ∂
∂
υ∂
∂
→

xf
∼
)x(g

()
xf
là vô cùng bé tương đương với vô cùng bé g(x). 11
Chương I
GIỚI HẠN DÃY SỐ §1.0. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
SỐ THỰC
* Ta nói x ∈
R
là một cận trên của tập A ⊂
R
nếu ∀a ∈ A, a ≤ x.
Ta nói y ∈
R
là một cận dưới của tập A ⊂

R

đều có cận dưới đúng.
* Nếu A không bị chặn trên, ta quy ước viết Sup(A) = + ∞; nếu A không bị
chặn dưới, ta quy ước viết Inf(A) = -
∞
.
* Cho A ⊂
R
là tập con không rỗng. Khi đó:

+ M là một cận trên của A;
M = Sup(A)
⇔

+ ∀ε > 0, ∃a ∈ A, M - ε< a ≤ M.
* Căn bậc n của số dương. ∀a ∈
+
R
, ∀n nguyên dương, tồn tại duy nhất

12
b ∈
+
R
sao cho b
n
= a. Phần tử b này được kí hiệu bởi
n
a

sao cho n ≤ x <
n + 1. Số nguyên như vậy được gọi là phần nguyên của x, kí hiệu [x], hoặc E(x).
* Cho 2 tập số thực A, B, hơn nữa A
⊂
B. Ta nói tập A là trù mật trong tập B
nếu
ε+<<ε−∈∃>ε∀∈∀ bab:Aa;0,Bb
.
* Tập các số hữu tỉ
Q
trù mật trong
R
.
* Tập các số vô tỉ
QR
\
trù mật trong
R
.
* Khoảng mở rộng. Cho a, b
∈

R
, a < b. Có 9 loại khoảng: [a;b]; [a;b); (a;b];
(a;b); (- ∞;a] ; (-∞; a); [a; + ∞); (a; + ∞); (- ∞; + ∞), được gọi chung là các khoảng mở
rộng; 4 loại đầu được gọi là bị chặn; a (b) được gọi là mút của khoảng.
DÃY SỐ
* Dãy
{}
n

n
u
là dãy hội tụ nếu tồn tại
λ
∈
R
để
λ=
∞→
n
n
ulim
. Ta nói
{}
n
u
phân
kì nếu nó không hội tụ.
* Ta nói
{}
n
u
tiến đến +
∞
(hay
{ }
n
u
dần ra +
∞

n
u
có giới hạn
∞
,...) và viết
∞=
∞→n
n
ulim
nếu:
∀ L > 0; ∃ N ∈
N
, ∀n > N,
Au
n
≥
.
* Tính chất về thứ tự của giới hạn.
+ Nếu a
n
≤ b
n
với n ≥ n
0
nào đó,
bblim,aalim
n
n
n
n

n
w
cũng hội tụ
đến
λ
.
* Các tính chất của dãy hội tụ.
{}
n
u
,
{ }
n
v
là 2 dãy; r,
λ
,
'
λ
là 3 số thực. Ta có:
1.
() ( )
∞→→⇒∞→→
nunu
nn
λλ
.
2.
() ( )
∞→→⇒∞→→

()
{} ( )
⎩
⎨
⎧
∞→→⇒
∞→→
.n0vucnbiv
n0u
nnn
n

6.
() ()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∞→→⇒∞→→
→
.nvunv
u
'
nn
'
n
n
λλλ
λ

n
n
v
u
lim
λ
λ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∞→
.
* Sự hội tụ của dãy đơn điệu.
{}
n
u
được gọi là dãy tăng (giảm) nếu u
n+1
≥ u
n
(u
n+1
≤ u
n

{ }
n
v
giảm và
v
n
- u
n
→ 0 (n → ∞).

14
Hai dãy
{}
n
u
và
{}
n
v
kề nhau thì chúng hội tụ đến cùng một giới hạn
λ
.
Hơn nữa

n1n1nn
vvuu ≤≤≤≤
++
λ
∀
n

.
* Nếu
{}
n
u
có giới hạn
λ
thì mọi dãy con trích ra từ đó cũng có giới hạn
λ
.
* Cho
{}
n
u
là một dãy,
λ
∈
R
. Khi đó u
n
→
λ
(n→∞) khi và chỉ khi
λ=
∞→
n2
n
ulim

và

n
u
là dãy số.
{ }
k
n
u
là một dãy con của nó thoả mãn
-
λ=∃
∞→
k
n
k
ulim
;
- Đối với mọi dãy con
{ }
k
m
u
khác mà
'
k
m
k
ulim λ=∃
∞→
thì
λλ≤

ulim
.
b) Nếu
{}
n
u
bị chặn trên bởi M thì
Mulim
n
≤
.
c)
λλ==⇔=
∞→
nnn
n
ulimulimulim
.
* Dãy Cauchy. Dãy
{}
n
u
được gọi là dãy Cauchy nếu
∀

ε
> 0,
∃
N
∈

u
là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ.
* Dãy
{}
n
a
được gọi là vô cùng bé so với dãy
{ }
n
b
, viết a
n
= o (b
n
) nếu
0
b
a
lim
n
n
n
=
∞→
.
* Dãy
{}
n
a
được gọi là cùng bậc với dãy

n
n
n
=
∞→
lim
, viết a
n

∼
b
n
.
* Một số giới hạn đặc biệt
+
()
;ne
n
1
1
n
∞→→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+


∞→
π
→++++ n
6
n
1
...
3
1
2
1
1
2
222
.
CHUỖI SỐ
* Cho
{}
n
u
là một dãy số. Tổng hình thức
∑
∞
=
=++
1n
n21
u...uu
được gọi là một
chuỗi số.

uR
được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Chuỗi hội
tụ khi và chỉ khi R
n
hữu hạn và
( )
∞→→ n0R
n
.

16
* Sự hội tụ hay phân kì của chuỗi không thay đổi khi ta thêm, hoặc bớt, hoặc
thay đổi một số hữu hạn số hạng của chuỗi.
* Nếu các chuỗi
∑∑
∞
=
∞
= 1n
n
1n
n
v,u
hội tụ thì các chuỗi

()( ) ( )
∑∑
∞
=
∞

n
1n
n
vuvu;uaua
.
* Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi số. Chuỗi
∑
∞
=
1n
n
u
hội tụ
:0q,Np,N,0 >∀≥∀∃>ε∀⇔

ε≤=−
∑
+
+=
+
qp
1pn
npqp
uSS
.
* Khi
n0a
n
∀≥
, chuỗi

. Khi đó
+ Nếu
∑
∞
=
1n
n
v
hội tụ thì
∑
∞
=
1n
n
u
hội tụ;
+ Nếu
∑
∞
=
1n
n
u
phân kì thì
∑
∞
=
1n
n
v

∞
=
1n
n
u
tồn tại giới
hạn
λ=
+
∞→
n
1n
n
u
u
lim
.

17
Nếu
1<λ
thì chuỗi
∑
∞
=
1n
n
u
hội tụ;
1>λ

∞+;a
. Khi đó tích phân suy rộng
()
dxxf
a
∫
∞+
và tổng
∑
∞
=1n
n
u
với u
n
= f(n) cùng
hội tụ hoặc cùng phân kì.
§1.1. SỐ THỰC
Bài 1.1.1.
Tìm Inf, Sup, Min, Max (nếu có) của các tập:
a)
[] [ ]
{}
0x:x/1xA >+=
;
b)
()
⎪
⎭
⎪

⎪
⎨
⎧
∈−
−+
=
*2
n
n:n
n
11
C N
;
d)
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∈
π
+
−
=
*
n:
3
n2
sco

1
x
1
≥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
, từ đó
[]
1
x
1
x
≥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
.
Mặt khác
1
3
2
2

⎡
+=
x
1
xxf
trên các tập
{}{}
[]
∞+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎜
⎝
⎛
;2;1;1\2;
2
1
;
2
1
;0
rồi suy ra kết luận.
Vì

3
k2
1
2
1
u =≤+=
.
+
;
8
1
2
1
1k2
1
2
1
u
1k21k2
1k2
≤≤
+
−=
++
+

2
1
u
3

c) Đặt
()
*2
n
n
n,n
n
11
u
N
∈−
−+
=
.
+
,n2n
n
2
u
22
n
−≤−<
vậy B không bị chặn dưới.
+
1u
1
−=
.
+
242n2u

12
1
2k32
k3
u0
1k3
.
+
()
()
∞→−↓
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−=
+
+
−=≥
+
k
2
1
1k3
2
12

1
InfD =−=
.

19
e) Ta có
( )
4222222
2x/1xx/1x
=≥≥+
+
;
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1/x hay x = 1.
Vậy
4MinEInfE ==
, đạt được tại x = 1.
+
( )
∞+=+
∞+→
x/1x
x
22lim
, vậy
∞+=SupE
.
Bài 1.1.2. Cho A, B là hai tập con khác trống trong
R
, kí hiệu:



hay
xM ≤−
; vậy
M−
là một cận dưới của (-A).
Cho n là một cận dưới của
()
an,Aa:A −≤∈∀−
. Suy ra
na −<
, thế thì
n−
là một
cận trên của A. Vậy
nM −≤
hay
Mn −≤
. Suy ra
M−
là cận dưới bé nhất của (-A).
Nếu A không bị chặn trên:
∞+=SupA
, dễ thấy (-A) không bị chặn dưới hay
()
∞−=− AInf

Tương tự, Sup(-A) = -InfA ; (a) được chứng minh.
b) Giả sử cả A và B đều bị chặn trên đặt M = SupA; N = SupB. Lấy
;BAc +∈

trên. Từ định nghĩa ta suy ra
( )
SupBSupABASup +=∞=+
.

20
c) Đẳng thức (c) là hệ quả của (a) và (b). Thật vậy,
Sup(A-B) = Sup (A+(-B)) = SupA + Sup(-B) = SupA - InfB.
Lưu ý. Lập luận tương tự như trên ta còn chứng minh được:
+ Inf(A+B) = InfA + InfB;
+ Inf(A-B) = InfA - SupB;
+ Với
( )
()
ASup/1AInf;A
1*
=⊂
−
+
R
...
Bài 1.1.3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
∑
=
=
n
1k
2
k

n
1k
2
k
n
1k
2
k
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
≥
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞


Khi thể hiện góc lượng giác của 7 số nguyên này lên vòng tròn đơn vị, có ít
nhất một điểm nằm trên cung
AC
(vì độ dài cung
AC
bằng
13/2 >π
).
Vậy có ít nhất một trong 7 số nói trên có sin lớn hơn 1/2, chẳng hạn đó là
{}()
7...;;1;0iiNN
0
∈+=
. Từ đó
CA
B
0
,5
O1
x
y

21
L
2
1
NNsinN
000
>>

.
Giải. Cho hai số thực x, y: x < y.
* Nếu
0x ≥
thì
yx
≤
. Do
Q
trù mật trong
R
, tồn tại
Q
∈q
sao cho
yqx
<<
, từ đó
yqx
2
<<
, trong đó
Dq
2
∈
.
* Nếu
0y ≤
thì
xy −<−

n2m =
.
Suy ra
2m
2
Μ
, do đó
2mΜ
. Vậy
2
2
m
n
2
2
Μ=
, suy ra
2nΜ
.
Vậy m và n nhận 2 làm một ước chung, mâu thuẫn.
Có thể nhận được mâu thuẫn bằng cách khác. Từ chỗ
22
n2m =
suy ra
()()
.nmnmnmn
222
+−−=Μ
(*)


→=
xác định bởi
( ) ( )
Fxxfxg
∈∀=
là một
song ánh nên ta chỉ cần chứng minh f(F) đếm được. Xây dựng ánh xạ
()
Ff:
→ϕ
N
như sau:
() ()
FfMin0
=ϕ
;

() ( ) ( ){}()
0\FfMin1 ϕ=ϕ
;
() () () ( ){}()
...1n,...,0\FfMinn
−ϕϕ=ϕ

Dễ thấy
ϕ
là một ánh xạ và là một song ánh. Từ đó f(F) đếm được và ta nhận
được đpcm.
b) Giả sử E, F là hai tập đếm được bất kì.
Trường hợp 1:

0EE
'
×=
và
{}
1FF
'
×=
; chúng đều là những
tập đếm được và không giao nhau. Theo trường hợp 1,
''
FE ∪
là tập đếm được.
Mặt khác, đặt
{}()( )
{ }
.Ex&Fx:1,x0EG ∈∈∪×=

Đây là tập vô hạn, được chứa trong tập đếm được
''
FE ∪
nên nó là tập
đếm được.

23
Xây dựng ánh xạ
GFE: →∪ϕ
như sau:
()
⎩

HEFE\FEFE ∪=∩∪=∪
với
( )
FE\FH ∩=
.
Rõ ràng
∅=∩EH
và H là tập con của F.
+ Nếu H gồm vô hạn phần tử, theo (a) H đếm được; theo trường hợp 1,
EH∪
đếm được.
+ Giả sử
{}
.h,...,hH
n1
=
Gọi
E:f
*
→
N
là song ánh từ
*
N
lên E. Xét
HE:g
*
∪→
N
xác định bởi:

, tồn tại (duy nhất)
N
∈n
sao cho
n
2N Μ
và
1n
2N
+
Μ
.
Đặt
n
2/Np=
thì p là một số nguyên lẻ, do đó
1m2p +=
. Vậy
()
nn
21m22pN +==
, suy ra f là ánh xạ lên.
Nếu N
*
N
∈
và
()
n
21m2N +=

2
ZQ
⊂
suy ra tập
Q
đếm được.
§1.2. TÌM GIỚI HẠN THEO ĐỊNH NGHĨA
+ Điều quan trọng là ta phải làm trội
λ−
n
u
bởi g(n) nào đó sao cho dễ giải
được bất đẳng thức g(n) < ε, hoặc dễ chỉ ra nó nghiệm đúng với n > N nào đó.
+ Có thể ta làm trội
λ−
n
u
bởi tổng h(n) + k(n) rồi giải riêng

()
2
nh
ε
<
với n > N
1
,

()
2

lim
a
n
uu
n1
n
=
++
∞→

b) Chứng minh rằng nếu

0u;aulim
nn
n
>=
∞→
thì
a
u
1
u
1
n
n1
n
=
++
∞→
...

. Hơn nữa với ε > 0,
∃N
1
để ∀n > N
1
,
1n
Nn.2au
>∀ε<−
ta có

()
()
()
n
au...au
n
au...au
au...uu...u
n
1
n1NN1
n1NN1
11
11
−++−
+
−++−
≤
≤−+++++