1Bất đẳng thức Cô-si.
*Bất đẳng thức Cô-si :
Với n số không âm a
1
, a
2
, . . . , a
n
( n 2), ta có:

n
n
a
2
a
1
a
n
n
a
2
a
1
a



+++
(1)
Có đẳng thức khi và chỉ khi a
1

2
= . . . = a
n
thì (1*) trở thành đẳng thức
T
n
= T.T. . . .T = a
1
a
2
. . . a
n
*) Nếu a
1
, a
2
, . . . , a
n
là n số không bằng nhau tất cả thì có bất đẳng
thức T
n
> a
1
a
2
. . . a
n
(1**)
Ta chứng minh (1**) bằng qui nạp ( dành cho học sinh chuyên)
Với n = 2 : dễ thấy (1**) đúng , tức là :

Thật vậy, trong n số a
1
, a
2
, . . . , a
n
không bằng nhau tất cả phải có 1 số bé hơn T và một số lớn
hơn T, giả sử a
1
và a
2
: a
1
< T < a
2
.
Do đó ta có (T - a
1
)(a
2
- T ) > 0
Hay :
0
T
2
a
1
a
T
2

3
a
4
. . . a
n
T
2
a
1
a
Vậy T
n
> a
1
a
2
. . . a
n
.
2.1. Chứng minh một số bất đẳng thức.
2.1.a, Chứng minh các bất đẳng thức đại số và giải tích:
Ví dụ 1: Với mọi n thuộc N*, chứng minh rằng
n
2
1n
n!











+


+

+

=
+++



Dấu = xảy ra khi nào? ( trong bất đẳng thức Cô-si ) Dấu = trong (1)
xảy ra khi và chỉ khi n = 1
Ví dụ 2: Cho a > -1 , n N . Chứng minh rằng : (1 + a )
n
1 + na (2)
Hớng dẫn:
- Bất đẳng thức (2) đựôc gọi là bất đẳng thức Béc-nu-li
- Với a > -1, ta có 1 + a > 0
+) Nếu
0na1
+
, thì (2) hiển nhiên đúng


1 số 1-n
1 + na
n
na1
+
, hay (1 + a )
n
1 + na. (2) đợc chứng minh .
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi hoặc a = 0 hoặc n = 0 hoặc n = 1.
Ví dụ 3: Cho dãy số (u
n
), đợc xác định nh sau:

n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
n
u
++=
. Chứng minh u
n
< 2, n .

n
1
+>+
(5*)
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

n
n
n
n
1
n
n
n
n
1
1n
1...11
>
+

+++

1số

hay
n
n
n
n

lime
=






+
+
=
và kết quả nầy
chỉ đợc công nhận, không chứng minh . Đây là một phát minh quan trọng của
Toán học ở cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17.

H ớng dẫn :
- Ta có u
n
=
(
)
n
1
1
n
+
và u
n + 1
=







+
+
+
1n
1
1
1n
.

áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho n + 1 số không đồng thời bằng nhau


nhau bằng sốn
n
1
1,...,
n
1
1,
n
1
1,1
+++
ta đợc


++
+
2
hay

n
n
1
1
1n
1n
1
1
1n
n
n
1
1
1n
1
1






+>
+


,( n = 1, 2, 3, . . .) là dãy số bị chặn
trên (u
n
< 3, với n = 1, 2, ...) thì u
n
có

giới hạn.
Ví dụ 5: Cho a > 0, b > 0, c> 0. Chứng minh rằng :

c
a
log2c
2
ab
log1.b
a
log1







++
(7)
Giải :
Ta có
ab

log1.b
a
log1
=






++
Suy ra (7) đợc chứng minh . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
2
= b
2
= c
2.1b) Chứng minh bất đẳng thức l ợng giác :
Ví dụ 6: Chứng minh rằng

2
1
1
2
xcos
2
xsin
2

+


+
+
- Suy ra điều phải chứng minh.
- Dấu = xảy ra khi và chỉ khi
.Zk,2k
4
5
x
+

=
Ví dụ 7 : Chứng minh rằng:

8
33
a
4
cos.a2cos
8
33
2










= 2
- Khi đó (9)
8
33
3
xy
2
1

(9*)
- áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

2
1
3
y
3
1
3
y
3
1
3
y
3
1
2
x
4
1

C
cos
2
C
cos.
2
B
cos
2
B
cos.
2
A
cos.
2
C
sin.
2
B
sin.
2
A
sin8
C
2
sinB
2
sinA
2
sin

- áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta đợc:

2
B
gcotBsin
2
A
gcotAsin
2
2
A
gcotBsin
2
B
gcotAsin

+
hay
*)10(
2
A
gcotBsin
2
B
gcotAsin
2
1
2
B
cos





+
Dấu = trong (10**) xảy ra B = C

**)*10(
2
C
gcotAsin
2
A
gcotCsin
2
1
2
A
cos
2
C
cos2






+
Dấu = trong (10***) xảy ra C = A

+
2
A
cos
2
C
cos
2
C
cos
2
B
cos
2
B
cos
2
A
cos4
2
B
gcot
2
A
gcotCsin
2
A
gcot
2
C

2
A
cos
2
C
cos
2
C
cos
2
B
cos
2
B
cos
2
A
cos8
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
2
C
sin

A
sin
2
A
cos2
Asin
2
A
cos
2
C
cos
2
C
cos
2
B
cos
2
B
cos
2
A
cos4
2
B
sin
2
A
sin

8
3
)AsinCsinCsinBsinBsinA(sin
6
1
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
2
A
sin
+++
++
H ớng dẫn :
- Trong mọi ABC, ta có sinA, sinB, sinC,
2
A
sin

2
C
sin
2
B
sin
,
2
A
sin
2
C
sin
,
áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta đợc:

)1.11(
2
B
sin.
2
A
sin
2
B
tg
2
A
tg
8

sin
2
A
tg
2
C
tg
8
3
Asin.Csin
6
1
+
- Cộng từng vế (11.1), (11.2), (11.3) và chú ý đến

1
2
A
tg
2
C
tg
2
C
tg
2
B
tg
2
B

111
++
(12)
H ớng dẫn :
- Trớc tiên, ta phải xác định các tỉ số

111
CC
'CC
,
BB
'BB
,
AA
'AA
? ( thờng theo độ dài các
cạnh của ABC) - lu ý AA, BB, CC là ba
trung tuyến.
- Ta có:
2
2
c
2
b
4
2
a
2
a
m

+
+
==
- Lập luận tơng tự, ta đợc:








+
+
+
+
+
=++
2
b
2
a
2
c
2
a
2
c
2
b

2
a
2
c
2
b
2
c
2
b
2
a

+
+
+
+
+
- Do đó từ (*) (12) đợc chứng minh .
- Dấu = xảy ra ABC đều
Ví dụ 11: Cho 3 đờng tròn có chu vi C
1
, C
2
, C
3
từng đôi một tiếp xúc ngoài tại
A, B, C. Đờng tròn ngoại tiếp ABC có chu vi C. Chứng minh rằng:

3