TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
DẠY HỌCPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

HÀ NỘI - 2019


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

======

NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY
CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUA
DẠY HỌCPHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

hướng dẫn của ThS. Phạm Thế Quân. Các nội dung, kết quả trong đề tài này
là trung thực, chưa từng được công bố ở đâu và không trùng với công trình
nghiên cứu của tác giả khác.
Ngoài ra, trong khóa luận còn sử dụng một số nhận xét, đánh giá của
các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 5, năm 2019
Sinh viên
Nguyễn Thị Thu Phƣơng


DANH MỤC CỤM TỪ VIẾT TẮT
STT

Viết tắt

Viết đầy đủ

1

CNH – HĐH

Công nghiệp hóa – Hiện đại hóa

2

KTM

Không thỏa mãn

3

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN ............................................................... 3
1.1. Mục tiêu chung của dạy học môn toán................................................ 3
1.2. Năng lực tư duy Toán học ................................................................. 4
1.2.1. Năng lực ..................................................................................... 4
1.2.2. Tư duy ........................................................................................ 6
1.2.3. Năng lực tư duy toán học ............................................................. 9
1.3. Nội dung và mục tiêu dạy học phương trình lượng giác .....................13
1.3.1. Nội dung cơ bản chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 ở trường
THPT.........................................................................................13
1.3.2. Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác ...................................15
1.3.3. Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học chủ đề phương trình
lượng giác lớp 11........................................................................16
TIỂU KẾT CHƢƠNG 1 ......................................................................... 17
CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH
THPT TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC............. 18
2.1. Định hướng phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT trong
dạy học môn toán .............................................................................18
2.2. Biện pháp phát triển năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học
phương trình lượng giác lớp 11 .........................................................19
2.2.1. Cơ sở để đề xuất các biện pháp thực hiện.....................................19
2.2.2. Các biện pháp thực hiện ..............................................................19
2.3. Xây dựng hệ thống bài tập ................................................................36
2.3.1. Các dạng toán liên quan ..............................................................36
2.3.2. Các phương pháp giải cơ bản ......................................................55
TIỂU KẾT CHƢƠNG 2 ......................................................................... 65



Phương trình lượng giác là phần kiến thức tương đối khó nhưng rất
quan trọng đối với học sinh. Thực tế các dạng bài tập về phương trình lượng
giác đa dạng và phong phú khiến cho học sinh gặp nhiều trở ngại khi tìm lời
giải cho bài toán. Tuy nhiên, nếu học sinh phân loại được các dạng bài tập và
phương pháp giải của chúng thì việc tìm ra lời giải cho bài toán trở lên đơn
giản hơn. Từ đó kích thích sự hứng thú và phát triển tư duy của học sinh.
Với tất cả những lý do trên em đã thực hiện đề tài khóa luận “Phát triển
năng lực tư duy cho học sinh THPT qua dạy học phương trình lượng giác”.
2. Mục đích nghiên cứu
1


Xây dựng hệ thống bài tập và đề xuất một số biện pháp dạy học nội
dung phương trình lượng giác lớp 11 nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực tư duy của học sinh THPT.
- Đề xuất hệ thống bài tập chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 góp
phần phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
4. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học nội dung phương trình
lượng giác lớp 11 ở trường THPT.
- Phạm vi nghiên cứu: Nội dung phương trình lượng giác trong chương
trình toán lớp 11.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về phát triển
năng lực tư duy cho học sinh THPT, sách giáo khoa môn toán nội dung
phương trình lượng giác lớp 11.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm giảng dạy đối chiếu
với mục tiêu đề ra nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.

- Góp phần hình thành, phát triển, giáo dục tư tưởng phẩm chất và
phong cách lao động khoa học.
- Tạo cơ sở để học sinh tiếp tục học tập hoặc đi vào cuộc sống lao động.
Theo chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018 [1],
chương trình môn toán giúp học sinh đạt được các mục tiêu:
- Hình thành và phát triển năng lực Toán học bao gồm các thành tố cốt
lõi sau: năng lực tư duy và lập luận Toán học; năng lực mô hình hóa Toán
học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện Toán học. Đồng thời góp phần
hình thành và phát triển năng lực chung cốt lõi.
- Góp phần thực hiện các quy định về phẩm chất của Chương trình tổng
thể theo các mức độ phù hợp với môn Toán ở từng cấp học.
- Có kiến thức, kỹ năng Toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát
triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và
các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ,
Lịch sử, Nghệ thuật,…; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng
Toán học vào thực tiễn.
- Có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của Toán học đối với
từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như
có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến Toán học
trong suốt cuộc đời.
Như vậy, ở cả hai chương trình môn Toán đều góp phần giúp học sinh
đạt được 4 mục tiêu cơ bản. Tuy nhiên, theo chương trình Giáo dục phổ
3


thông môn toán mới mục tiêu hình thành và phát triển năng lực Toán học
được quan tâm, chú trọng và đặt lên hàng đầu.
1.2. Năng lực tƣ duy Toán học
1.2.1. Năng lực
Trong Nghị quyết Hội Nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản,

7/2017)). Như vậy:
- Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn
luyện của người học.
- Năng lực là sự tích hợp của kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá
nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…
- Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện
ở sự thành công trong hoạt động thực tiễn.
Khái quát lại năng lực có thể hiểu là sự kết hợp của các kiến thức, kĩ
năng, phẩm chất, thái độ và hành vi của một cá nhân để thực hiện một công
việc có hiệu quả. Năng lực không chỉ bao hàm kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, mà
còn cả giá trị, động cơ, đạo đức và hành vi xã hội.
b) Đặc điểm chung của năng lực
- Đề cập tới xu thế đạt được một kết quả nào đó của một công việc cụ
thể, do một con người cụ thể thực hiện (năng lực học tập, năng lực tư duy,
năng lực tự quản lý bản thân, …). Như vậy, không tồn tại năng lực chung
chung.
- Có sự tác động của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thẻ (kiến
thức, quan hệ xã hội, …) để có một sản phẩm nhất định; do đó có thể phân
biệt người này với người khác.
- Năng lực là một yếu tố cấu thành trong một hoạt động cụ thể. Năng
lực chỉ tồn tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể.
Vì vậy, năng lực vừa là mục tiêu, vừa là kết quả hoạt động, là điều kiện
của hoạt động, nhưng cũng phát triển trong chính hoạt động đó. Quá trình dạy
học, giáo dục nhằm hình thành, rèn luyện, phát triển năng lực ở cá nhân tất
yếu phải đưa cá nhân tham gia vào các hoạt động.
c) Phân loại năng lực
Năng lực được chia thành hai nhóm bao gồm năng lực chung và năng
lực chuyên biệt:
Năng lực chung: là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi,…làm
nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề

cách thức giải quyết vấn đề đó. Tức là con người phải tư duy.
Hoàn cảnh (tình huống) có vấn đề kích thích con người tư duy. Song
vấn đề chỉ trở nên tình huống “có vấn đề” khi con người nhận thức được tình
huống có vấn đề, nhận thức được mâu thuẫn chứa đựng trong vấn đề, chủ thể

6


phải có nhu cầu giải quyết và phải có những tri thức cần thiết có liên quan tới
vấn đề. Chỉ có trên cơ sở đó tư duy mới xuất hiện.
Do vậy trong dạy học cũng như trong công tác giáo dục cần phải đưa
học sinh vào “hoàn cảnh có vấn đề” và hướng dẫn các em tự giải quyết vấn
đề.
 Tính gián tiếp của tư duy
Con người không nhận thức thế giới một cách trực tiếp mà có khả năng
nhận thức nó một cách gián tiếp.
Tính gián tiếp của tư duy được thể hiện ở việc con người sử dụng ngôn
ngữ để tư duy và trong quá trình tư duy con người sử dụng những công cụ,
phương tiện để nhận thức đối tượng.
Nhờ có tính gián tiếp mà tư duy của con người đã mở rộng không giới
hạn những khả năng nhận thức của con người, con người không chỉ phản ánh
những gì diễn ra trong hiện tại mà còn phản ánh được cả quá khứ và tương
lai.
 Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Khác với nhận thức cảm tính, tư duy không phản ánh sự vật, hiện tượng
một cách cụ thể và riêng lẻ. Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện
tượng những thuộc tính, những dấu hiệu cá biệt, cụ thể chỉ giữ lại những
thuộc tính bản chất chung cho nhiều sự vật và hiện tượng. Trên cơ sở đó mà
khái quát những sự vật, hiện tượng riêng lẻ nhưng có những thuộc tính bản
chất chung thành một nhóm, một loại, một phạm trù.

khả năng tư duy, học sinh không học tập và rèn luyện được.
- Muốn kích thích học sinh tư duy thì phải đưa các em vào những tình
huống có vấn đề và tổ chức cho học sinh độc lập, sáng tạo giải quyết tình
huống có vấn đề.
- Việc phát triển tư duy phải được tiến hành song song và thông qua
truyền thụ tri thức.
- Việc phát triển tư duy phải gắn với việc trau dồi ngôn ngữ. Bởi lẽ,
phải nắm vũng ngôn ngữ thì học sinh mới có phương tiện để tư duy. Đây là
nhiệm vụ chung của các nhà giáo dục.
- Việc phát triển tư duy phải gắn liền với việc rèn luyện cảm giác, tri
giác, năng lực quan sát và trí nhớ cho học sinh. Bởi lẽ, thiếu những tài liệu
cảm tính thì tư duy không thể diễn ra được.
c) Quá trình tư duy
 Các giai đoạn của quá trình tư duy gồm:
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề.

8


Giai đoạn 2: Huy động các tri thức kinh nghiệm.
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết.
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết.
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
 Các hoạt động trí tuệ phổ biến:
- Phân tích và tổng hợp.
- So sánh.
- Trừu tượng hóa và khái quát hóa.
1.2.3. Năng lực tư duy toán học
Năng lực tư duy là tổng hợp những khả năng ghi nhớ, tái hiện, trừu
tượng hóa, khái quát hóa, trừu tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý và

hoặc sự hơn kém nhau. So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm
chung và những đặc điểm riêng khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện. Mục
đích thứ nhất thường dẫn đến tương tự và đi đôi với khái quát hóa [9].
Tương tự là một dạng so sánh mà từ hai đối tượng giống nhau ở một số
dấu hiệu, rút ra kết luận hai đối tượng đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác.
Như vậy, tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và
quan hệ của những đối tượng toán học khác nhau [9].
 Khái quát hóa và đặc biệt hóa
Theo Nguyễn Bá Kim “ Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối
tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách
nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [5,
tr51]. Từ đó, khái quát hóa trong toán học có thể được hiểu là khái quát một
hoặc nhiều yếu tố của định nghĩa, định lý,…thành một kết quả tổng quát.
Đặc biệt hóa là quá trình ngược lại của quá trình khái quát hóa. Đặc
biệt hóa là yêu cầu đi từ cái chung đến cái riêng và làm rõ mối quan hệ chung
riêng giữa cái tổng quát và cái cụ thể từ đó tìm được nhiều trường hợp riêng
lẻ từ một bài toán xuất phát [9].
 Trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là tách riêng trong tư duy một đăc tính, một quan hệ
nào đó khỏi những đặc tính, quan hệ khác của sự vật để nhận thức một cách
sâu sắc hơn. Về mặt Toán học, trừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối
tượng Toán học một tính chất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc logic
của thế giới khách quan) để nghiên cứu tính chất đó. Trừu tượng hóa gắn liền
với cụ thể hóa. Nó cũng có liên hệ mật thiết với khái quát hóa. Nhờ trừu

10


tượng hóa, ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn. Trừu tượng hóa và khái
quát hóa là nguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học [9].


11


- Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định định phù hợp với
một thuật toán.
- Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo một
trình tự xác định.
- Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ
thành một quá trình diễn ra trên cùng một lớp đối tượng.
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
- Phát hiện thuật toán tối ưu để giải quyết một công việc.
Đó chính là hoạt động tư duy của thuật toán. Hoạt động đầu tiên thể
hiện khả năng thực hiện thuật toán, bốn hoạt động sau thể hiện năng lực xây
dựng thuật toán.
 Tư duy hàm
Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những
mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự
vận động của chúng.
 Tư duy phê phán
Tư duy phê phán là quá trình vận dụng tích cực trí tuệ vào việc phân
tích, tổng hợp, đánh giá sự việc, xu hướng, ý tưởng, giả thuyết từ sự quan sát,
kinh nghiệm, chứng cứ, thông tin và lý lẽ nhằm mục đích xác định đúng – sai,
tốt - xấu, hay – dở, hợp lý – không hợp lý, nên – không nên, và rút ra quyết
định, cách ứng xử của mỗi cá nhân.
Trong dạy học môn Toán ở phổ thông, việc rèn luyện và phát triển tư
duy phê phán cho học sinh có vai trò quan trọng. Tư duy phê phán là nền tảng
để phát triển tư duy độc lập, là bước đi thiết yếu dẫn đến tư duy sáng tạo.
 Tư duy sáng tạo
Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo

Phương
trình
lượng
giác”
như
sau:

13


Tên bài học

Số tiết

§1. Hàm số lượng giác

5 tiết

§2. Phương trình lượng giác cơ bản

6 tiết

§3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

6 tiết

Ôn tập chương 1

2 tiết


Kiểm tra 45 phút chƣơng 1

1 tiết

Tổng số tiết

20 tiết

Bảng 1.2. Phân phối chương trình chương “Hàm số lượng giác và
phương trình lượng giác” lớp 11 nâng cao
Như vậy, trong chương trình nâng cao ngoài tập trung vào giải các
phương trình lượng giác còn chú trọng nội dung các hàm số lượng giác. Bởi
trong nội dung đó đề cập tới tính chất tuần hoàn liên quan đến phần dao động
điều
hòa
trong
vật
lý
10
nâng
cao.

14


1.3.2. Mục tiêu dạy học phương trình lượng giác
Tên bài học

Mục tiêu
Kiến thức:


sin x  m, cos x  m, tan x  m, cot x  m.

như

- Điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm của các
phương trình lượng giác trên.
Kĩ năng:
§2. Phương trình
- Giải thành thạo phương trình lượng giác cơ bản.
lượng giác cơ bản
- Biết sử dụng máy tính để hỗ trợ tìm nghiệm
phương trình lượng giác cơ bản.
Kiến thức:
- Biết được dạng và cách giải phương trình bậc
nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác,
phương trình bậc nhất đối vớisin x và cos x .

§3. Một số phương
trình lượng giác - Biết đưa các phương trình phức tạp về các dạng đã
15


thường gặp

biết.
Kĩ năng:
- Giải được phương trình thuộc các dạng nêu trên.

1.3.3. Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học chủ đề phương trình

đó đặc biệt tập trung tới các vấn đề sau:
- Các khái niệm năng lực, đưa ra định nghĩa năng lực một cách tổng
quát, đặc điểm chung của năng lực và phân loại năng lực.
- Một số vấn đề của tư duy: khái niệm tư duy, đặc điểm của tư duy, quá
trình tư duy và đưa ra khái niệm năng lực tư duy.
- Những nội dung cơ bản của năng lực tư duy Toán học: khái niệm, các
thao tác tư duy Toán học và các loại hình tư duy Toán học.
- Nội dung cơ bản chủ đề phương trình lượng giác lớp 11 ở trường
THPT.
- Những thuận lợi và khó khăn khi dạy học chủ đề phương trình lượng
giác lớp 11.
Với các lí luận trên là cơ sở để xây dựng hệ thống bài tập về phương
trình lượng giác.

17


CHƢƠNG 2. PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƢ DUY CHO HỌC SINH
THPT TRONG DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
2.1. Định hƣớng phát triển năng lực tƣ duy cho học sinh THPT trong dạy
học môn toán
Việc định hướng và phát triển năng lực tư duy cho học sinh ở trường
THPT là yếu tố cần thiết cho tất cả các môn học nói chung và đối với môn
Toán nói riêng. Bởi lẽ, lượng kiến thức và bài tập trong bộ môn này khá đa
dạng, phức tạp, đặc biệt trong nội dung phương trình lượng giác khiến học
sinh gặp không ít khó khăn để tìm ra lời giải cho bài toán. Do đó, trong quá
trình học tập nên chú trọng các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy cho
học sinh.
Trên cơ sở tìm hiểu, nghiên cứu về các biện pháp phát triển năng lực tư
duy cho học sinh THPT, cần có những kế hoạch, hoạt động cụ thể góp phần