ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HOÀN

VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ HOÀN

VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Thị Kiều Nga

THÁI NGUYÊN - 2019



3

1.1

1.2

Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4



2.4

Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố . . . . . . . . . . . . 18

2.5

Đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố

2.6

Đồng dư x2 ≡ a (mod m)

2.7

Phương trình đồng dư bậc hai tổng quát . . . . . . . . . . . 35

. . . . . . 23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong giải toán sơ
cấp

38

3.1

Tìm đa thức dư khi chia đa thức f (x) cho g(x) trong A[x] . 38


Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học. Đa thức
không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ quan
trọng được sử dụng trong các nghiên cứu của Giải tích như Lý thuyết điều
khiển, Lý thuyết tối ưu... Trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoài
nước các bài toán về đa thức cũng thường được đề cập đến. Vì thế trong
chương trình toán phổ thông đa thức là một chuyên đề quan trọng và cần
thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
Đồng dư đa thức là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm
khi nghiên cứu về đa thức mà trường hợp đặc biệt là các phương trình
đồng dư hoặc các đồng dư thức. Theo [4], cho A là một trường, f (x), g(x),

p(x) ∈ A[x], p(x) = 0. Ta nói f (x) đồng dư với g(x) theo môđun p(x)
nếu và chỉ nếu f (x) − g(x) chia hết cho p(x) trong A[x]. Vì thế "đồng dư
đa thức theo môđun một đa thức" có thể coi là tổng quát của khái niệm
"đồng dư thức" đã biết.
Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu về đồng dư đa thức theo
môđun một đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố và lũy
thừa một số nguyên tố. Các kết quả trong luận văn được tham khảo ở các
tài liệu [2], [4], [6], [7]. Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra được đặc trưng của
đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Mệnh đề 2.1.2) và một số tính
chất của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Định lý 2.1.3). Sử
dụng đồng dư đa thức, chúng tôi nghiên cứu một số ứng dụng của đồng
dư đa thức trong giải toán sơ cấp.
Luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức và một số
tính chất số học cần thiết cho các chương sau.
Chương 2: Nghiên cứu về đồng dư đa thức: Đồng dư đa thức theo môđun
1




ai gọi là các hệ số thứ i của đa thức, ai xi gọi là hạng tử thứ i của đa thức,
a0 gọi là hạng tử tự do. Kí hiệu A[x] là tập các đa thức một biến x với hệ
số trong A.
Cho hai đa thức
f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
và

g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm
3


thuộc A[x]. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử m

n và

m = n + t. Khi đó
g(x) = b0 + b1 x + ... + bn xn + bn+1 xn+1 + ... + bn+t xn+t .
Ta nói hai đa thức f (x) và g(x) là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i = 0, n
và bn+1 = ... = bn+t = 0.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hai đa thức

f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn
và

g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm
thuộc A[x]. Khi đó
max {n,m}

(ai + bi )xi .



(i) Nếu f (x) + g(x) = 0 thì
deg f (x) + g(x)

max

deg f (x), deg g(x)

(ii) Nếu f (x)g(x) = 0 thì
deg f (x)g(x)

deg f (x) + deg g(x),

đẳng thức sẽ xảy ra nếu A là miền nguyên.
1.1.3

Phép chia với dư

Định lý 1.1.5. (Định lý phép chia với dư). Cho A là một vành giao hoán
có đơn vị và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc A[x], g(x) là đa thức có hệ số
cao nhất khả nghịch trong A. Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x]
sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) = 0.
Các đa thức q(x) và r(x) trong định lý trên lần lượt gọi là đa thức
thương và dư trong phép chia f (x) cho g(x). Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x)
chia hết cho g(x).
Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý phép chia với dư trong
trường hợp đa thức g(x) là đa thức bậc nhất có hệ số cao nhất là 1.
Hệ quả 1.1.6. (Định lý Bezout). Cho A là một vành giao hoán có đơn vị
và g(x) ∈ A[x], α ∈ A. Khi đó dư của phép chia f (x) cho x − α là f (α).

1.1.4

Nghiệm của đa thức

Trong toàn bộ mục này, ta luôn giả sử A là một vành giao hoán có
đơn vị.
Định nghĩa 1.1.9. Giả sử A là một vành con của vành giao hoán K . Cho

f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x]. Khi đó, số α ∈ K được
gọi là nghiệm của đa thức f (x) trong K nếu
f (α) = a0 + a1 α + ... + an−1 αn−1 + an αn = 0,
Từ Định lý Bezout ta có ngay bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.10. Phần tử α ∈ A là nghiệm của f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi

f (x) chia hết cho x − α.
Định nghĩa 1.1.11. Cho K là vành giao hoán chứa vành A, f (x) ∈ A[x],

α ∈ K . Nếu tồn tại số tự nhiên k = 0 sao cho f (x) chia hết cho (x − α)k
nhưng f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bội
bậc k của f (x).
Nếu k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm
kép.
Từ Định nghĩa 1.1.11, ta có ngay bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.12. Phần tử α ∈ K là nghiệm bội bậc k của f (x) ∈ A[x] khi
và chỉ khi f (x) chia hết cho (x − α)k .
Sau đây là công thức Viete về mối liên hệ giữa các nghiệm của đa thức
với các hệ số của đa thức đó.

6


Định nghĩa 1.1.14. i) Một đa thức a(x) ∈ A[x] gọi là một ước chung
của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) ∈ A[x] nếu a(x) là ước của fi (x) với
mọi i = 1, s.
ii) Một ước chung a(x) của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) gọi là một ước
chung lớn nhất của f1 (x), ..., fs (x) nếu a(x) là bội của mọi ước chung của

f1 (x), ..., fs (x).
Chú ý rằng ước chung lớn nhất của hai đa thức f (x), g(x) chỉ khác
nhau một nhân tử là hằng số khác 0 thuộc A.
Bổ đề 1.1.15. Cho a(x) ∈ A[x] là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) ∈ A[x].
Khi đó đa thức t(x) ∈ A[x] cũng là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) nếu
và chỉ nếu tồn tại 0 = c ∈ A sao cho t(x) = c.a(x).
Ta có thể tìm ước chung lớn nhất của các đa thức dựa vào Định lý phép
chia với dư.
Bổ đề 1.1.16. Giả sử f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0 hoặc
deg r(x) < deg g(x). Khi đó đa thức a(x) là ước chung lớn nhất của f (x)
và g(x) nếu và chỉ nếu nó là ước chung lớn nhất của g(x) và r(x).
7


Định nghĩa 1.1.17. i) Một đa thức b(x) ∈ A[x] được gọi là một bội chung
của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) ∈ A[x] nếu b(x) là bội của fi (x) với mọi

i = 1, s.
ii) Một bội chung b(x) của các đa thức f1 (x), ..., fs (x) gọi là một bội
chung nhỏ nhất của f1 (x), ..., fs (x) nếu mọi bội chung m(x) của fi (x) với
i = 1, s đều là bội của b(x).
Tương tự như ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của các đa thức

f (x), g(x) chỉ khác nhau các nhân tử là hằng số khác 0 trong A.

1
... 1 −
.
p2
pk

Định lý 1.2.4. (Định lý Euler). Cho a là số nguyên, n là số nguyên dương
và (a, n) = 1. Khi đó

aϕ(n) ≡ 1( mod n).
8


Định lý sau là hệ quả của Định lý Euler.
Định lý 1.2.5. (Định lý Fermat). Cho p là số nguyên tố và với a là số
nguyên bất kỳ. Khi đó

ap ≡ a( mod p).
Hoặc phát biểu dưới dạng khác: Cho p là số nguyên tố, a là số nguyên,

(a, p) = 1. Khi đó
ap−1 ≡ 1( mod p).

9


Chương 2
Đồng dư đa thức
Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề về đồng dư đa
thức là: Đồng dư đa thức với môđun một đa thức, đồng dư đa thức với

Nếu r(x) = 0 thì deg r(x) < deg p(x) và g(x) = p(x)h(x) + s(x).
Nếu s(x) = 0 thì deg s(x) < deg p(x).
Ta xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1. Nếu ít nhất một trong hai đa thức r(x), s(x) bằng 0,
không mất tính tổng quát, ta giả sử r(x) = 0. Khi đó,

f (x) − g(x) = p(x) q(x) − h(x) − s(x).
.
.
Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên f (x) − g(x)..p(x). Suy ra s(x)..p(x). Điều
này xảy ra khi và chỉ khi s(x) = 0 (vì deg s(x) < deg p(x)).
.
+ Trường hợp 2. Nếu r(x) và s(x) = 0 thì f (x) − g(x)..p(x) khi và chỉ khi
.
r(x) − s(x)..p(x). Vì
deg (r(x) − s(x)) = max {deg r(x), deg s(x)} < deg p(x)
nên r(x) − s(x) = 0. Do đó r(x) = s(x).

(ii) ⇒ (iii). Giả sử f (x) = p(x)h(x) + r(x), g(x) = p(x)k(x) + r(x).
Nếu r(x) = 0 thì deg r(x) < deg p(x). Khi đó r(x) = g(x) − p(x)k(x).
Do đó, f (x) = g(x) + p(x)t(x) với t(x) = h(x) − k(x).
(iii) ⇒ (i). Hiển nhiên.
Sau đây, chúng tôi đưa ra một số tính chất của đồng dư đa thức
với môđun một đa thức. Chú ý rằng các đa thức trong phần này đều
thuộc A[x].
Định lý 2.1.3. a) Quan hệ đồng dư của các đa thức thuộc A[x] theo môđun
đa thức p(x) là quan hệ tương đương trên A[x];
b) Nếu fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k thì

f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) ≡ g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x) mod p(x) ;


p(x), t(x) = 1 thì
f (x) g(x)
≡
t(x)
t(x)

mod p(x) ;

m) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p1 (x) , f (x) ≡ g(x) mod p2 (x) , ...,

f (x) ≡ g(x) mod pk (x) thì f (x) ≡ g(x) mod p(x) với p(x) ∈ A[x]
là bội chung nhỏ nhất của p1 (x), ..., pk (x);
n) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) , t(x) là ước của p(x) thì
f (x) ≡ g(x) mod t(x) ;

p) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì (f (x), p(x)) = (g(x), p(x)).
Chứng minh. a) + Với mọi f (x) ∈ A[x], hiển nhiên

f (x) ≡ f (x) mod p(x) .
Do đó quan hệ đồng dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất phản xạ.
.
+ Giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x) . Suy ra f (x) − g(x) .. p(x). Do đó
12


.
g(x) − f (x)..p(x). Kéo theo g(x) ≡ f (x) mod p(x) . Vì thế quan hệ đồng
dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất đối xứng.
+ Với mọi f (x), g(x), h(x) ∈ A[x], giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x) và


Do đó
i=0

ai [f (x)]i ≡

n

ai [g(x)]i mod p(x) .

i=0

Vì thế h f (x) ≡ h g(x)

mod p(x) .

k) Vì f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho

f (x) = g(x) + h(x)p(x).
13


Vì t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x) nên ta có

f (x) g(x)
p(x)
=
+ h(x)
.
t(x)

= p(x)m(x).
t(x)
t(x)
Vậy

f (x) g(x)
≡
(mod p(x)).
t(x)
t(x)
.
m) Vì f (x) ≡ g(x) mod pi (x) , ∀i = 1, k nên f (x)−g(x)..pi (x), ∀i = 1, k .
Suy ra f (x) − g(x) là bội chung của p1 (x), ..., pk (x). Giả sử p(x) là bội
.
chung nhỏ nhất của p1 (x), p2 (x), ..., pk (x). Khi đó, ta có f (x) − g(x)..p(x).
Vậy f (x) ≡ g(x) (mod p(x))
n) Theo giả thiết f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho

f (x) = g(x) + h(x)p(x).

(2.1)

Vì t(x) là ước của p(x) nên tồn tại (x) sao cho

p(x) = t(x) (x).

(2.2)

Thay (2.2) vào (2.1) ta có f (x) = g(x)+h(x)p(x) = g(x)+[h(x) (x)]t(x).
Vậy f (x) ≡ g(x) (mod t(x)).


f (x) = m(x)(x2 + 2x + 2) + (x + 1).
Vậy x + 1 chính là phần dư có bậc nhỏ nhất của f (x) theo môđun m(x).

2.2

Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ
đồng dư môđun một đa thức

Cho p(x) ∈ A[x], p(x) = 0. Khi đó quan hệ đồng dư theo môđun p(x)
là một quan hệ tương đương trên A[x]. Với mọi f (x) ∈ A[x], lớp tương
đương của f (x) theo quan hệ đồng dư môđun p(x), hay gọi là lớp đồng
dư của f (x) môđun p(x), viết [f (x)]p(x) hoặc [f (x)] nếu p(x) đã rõ.

[f (x)]p(x) = g(x) ∈ A[x] g(x) ≡ f (x) mod p(x)

.

Chú ý rằng [f (x)]p(x) = [g(x)]p(x) khi và chỉ khi f (x) ≡ g(x) mod p(x) .
15


Định nghĩa 2.2.1. Tập hợp gồm các lớp đồng dư của các đa thức thuộc

A[x] theo môđun p(x) được ký hiệu là A[x]

p(x) .

Với mọi b(x) ∈ [g(x)]p(x) thì b(x) gọi là đại diện của lớp đồng dư


[x3 + x], [x3 + x + 1], [x3 + x2 ], [x3 + x2 + 1], [x3 + x2 + x], [x3 + x2 + x + 1].
16


2.3

Trường A[x] (p(x))

Trên A[x] (p(x)) định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau:

[a(x)]p(x) + [b(x)]p(x) = [a(x) + b(x)]p(x)
và

[a(x)]p(x) .[b(x)]p(x) = [a(x)b(x)]p(x) ,
Khi đó phép cộng và phép nhân trên không phụ thuộc vào phần tử đại
diện. Nghĩa là, nếu [a(x)]p(x) = [a (x)]p(x) và [b(x)]p(x) = [b (x)]p(x) ,
hay a(x) ≡ a (x) mod p(x) , b(x) ≡ b (x) mod p(x) thì

a(x) + b(x) ≡ a (x) + b (x) mod p(x)

và

a(x)b(x) ≡ a (x)b (x) mod p(x) .
Do đó

[a(x) + b(x)]p(x) = [a (x) + b (x)]p(x)
và

[a(x)b(x)]p(x) = [a (x)b (x)]p(x) .
Suy ra A[x] (p(x)) là một vành giao hoán có đơn vị là 1 := [1]p(x) và

= [a(x)r(x)]p(x)
= [a(x)]p(x) [r(x)]p(x) .
Do đó [r(x)]p(x) là phần tử nghịch đảo của [a(x)]p(x) . Suy ra A[x] (p(x))
là một trường.
Ví dụ 2.3.2. Q[x] (x2 − 5) là một trường vì x2 − 5 là đa thức bất khả
quy trên Q. Nếu [a + bx] là phần tử khác [0] thì nghịch đảo của nó là

a/d − (b/d)x với d = a2 − 5b2 .
Trong các mục tiếp theo của chương này, chúng ta xét các trường hợp
đặc biệt của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức. Các kết quả chính
trong các mục này tham khảo ở [2], [6], [7]. Trước hết ta xét đồng dư tuyến
tính.

2.4

Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố

Trong phần này, chúng ta xét trường hợp đặc biệt của đồng dư đa thức
với môđun đa thức p(x) là số nguyên tố và g(x) = 0. Trong suốt phần này
ta luôn giả thiết các đa thức thuộc Z[x].
Định lý sau đây được suy ra từ Định lý phép chia với dư.
18


Định lý 2.4.1. Cho f (x) là một đa thức nguyên. Số nguyên c là nghiệm
của đồng dư f (x) ≡ 0 (mod m) khi và chỉ khi tồn tại đa thức p(x) và số
nguyên b sao cho

f (x) = (x − c)p(x) + mb.
Chứng minh. Theo Định lý phép chia với dư, giả sử


19

r

p − 1.


Chứng minh. Vì n ≡ r mod (p − 1) nên n = q(p − 1) + r.
Nếu x ≡ 0 (mod p) thì theo Định lý Fermat ta có xp−1 ≡ 1 (mod p).
Nếu x ≡ 0 (mod p) thì hiển nhiên xn ≡ xr (mod p).
Sử dụng Bổ đề 2.4.3 ta có thể thay thế tất cả các số hạng có bậc của x
lớn hơn bằng p trong đồng dư đa thức f (x) bằng các số hạng tương đương
có bậc nhỏ hơn p và nó cho ta đa thức nguyên r(x) có bậc nhỏ hơn p có
nghiệm tương tự trong đồng dư đa thức môđun p như đa thức f (x).
Ví dụ 2.4.4. Xét đồng dư x11 + 2x8 + x5 + 3x4 + 4x3 + 1 ≡ 0 (mod 5).
Đặt f (x) = x11 + 2x8 + x5 + 3x4 + 4x3 + 1 chia f (x) cho g(x) = x5 − x.
Ta có f (x) = (x6 + 2x3 + x2 + 1)(x5 − x) + 5x4 + 5x3 + x + 1. Do đó
đồng dư trên tương đương với 5x4 + 5x3 + x + 1 ≡ 0 (mod 5), suy ra

x + 1 ≡ 0 (mod 5) có nghiệm là x ≡ 4 (mod 5).
Theo Bổ đề 2.4.3 vì 11 ≡ 3, 8 ≡ 4, 5 ≡ 1 theo môđun 4. Ta thay
x11 , 2x8 , x5 tương ứng bằng x3 , 2x4 , x. Từ đó ta có
x3 + 2x4 + x + 3x4 + 4x3 + 1 = 5x4 + 5x3 + x + 1 ≡ x + 1 (mod 5).
Định lý 2.4.5. Cho p là một số nguyên tố. Các số a1 , a2 , ..., ak ∈ Z, ai
không đồng dư với 0 môđun p với mọi i = 1, k . Khi đó ai , i = 1, k là
nghiệm của đồng dư đa thức f (x) ≡ 0 (mod p) nếu và chỉ nếu tồn tại
hai đa thức nguyên q(x) và r(x) sao cho: f (x) = (x − a1 )(x − a2 )...(x −

ak )q(x) + pr(x) và deg r(x) < k.