SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN - ĐỐNG ĐA
(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 12
MÔN: TOÁN
NĂM HỌC: 2019 - 2020
Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (4 điểm).
Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3 x 2  mx  2  m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm
A, B, C bằng 3.

Câu 2 (6 điểm).
a. Giải phương trình: 2 sin 2 x  cos 2 x  2  2  sin 2 x.cos x  sin x  2 cos x  .
 x3   y  2  x 2  2 xy  1
b. Giải hệ phương trình: 
.
2
 x  3 x  y  2  0
Câu 3 (4 điểm).

Cho dãy số  un 

Đặt S n 

2020

u1 
xác định bởi 

thức.
P

2
abc
abc

3
.
3  ab  bc  ca
6
1  a 1  b 1  c 

----------------------- HẾT ----------------------Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12
CÂU

Ý

NỘI DUNG

ĐIỂM

Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  3 x 2  mx  2  m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm

4


Giải phương trình: 2 sin 2 x  cos 2 x  2  2  sin 2 x.cos x  sin x  2 cos x 
a

1,0

 
 2cos x  1  sin 2x  2cosx -1  2 s inx  2cosx -1  2 
 cos2x =



 

2 sin 2x.cosx - sin2x 


2cosx -1

2 sin x - sin2x  2 2cosx - 2

2

1,0

2






 2

 k 2

0.5
 k  x 


4

 k 2 ,

Kết luận phương trình có 3 họ nghiệm : ………..


b

 x3   y  2  x 2  2 xy  1
Giải hệ phương trình: 
.
2
 x  3 x  y  2

 x 2  2 x   x  y   1
Viết lại hệ: 
2
 x  2 x  x  y  2

3



u1 
xác định bởi: 
, n  *
2019
2u  u 2  2u
 n 1
n
n
4

Đặt S n 

1
1
1
. Tính: lim Sn .

 ... 
u1  2 u2  2
un  2

Ta chứng minh un  1, n  * (1) bằng phương pháp qui nạp toán học.
3
Với n  1, u1 

2020
 1  (1) đúng với n  1 .
2019


1
1
1

 k

 

uk (uk  2) uk 1
uk (uk  2)
uk 1
uk uk  2 uk 1

1,0

1
1
1
1
1
 
 Sn  
uk  2 uk uk 1
u1 un 1

Ta chứng minh dãy số  un  là dãy số không bị chặn.
Giả sử phản chứng dãy số (un) bị chặn . Do dãy số  un  là dãy tăng (cmt) nên ta có dãy

 un  tăng và bị chặn thì dãy số  un  có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim  un   a



A
O

H

N
C
Chứng minh x  y  3 xy
Kẻ SO  MN , O  MN do  SMN    ABC   SO   ABC 
a.

Do hình chóp S . ABC là hình chóp đều nên O là tâm đương tròn ngoại tiếp tam giác
ABC .
Gọi H là trung điểm của BC .Và O là trọng tâm của tam giác ABC .

1,0


4

 


AB  AC 
1  1 
3 
Ta có AB  AC  2. AH 
AM 
AN  2 AH  . AM  AN  2 AO .

Từ (1) ta có 3 xy  x  y  2 xy  xy 

4
9

 x  1 y  1  0  xy  1  x  y  xy  1  3 xy  xy 

0.5
1
2

4 1
Đặt t = xy, t   ;   MN 2  9t 2  3t
9 2
4 1
Lập bảng biến thiên của hàm số f  t   9t 2  3t ; t   ;  ta được
9 2

MN nhỏ nhất khi t 

4
2
khi x  y 
9
3

1
x  1

1


3
3  ab  bc  ca
6
1  a 1  b 1  c 

2

0.5


2

Áp dụng bất đẳng thức:  x  y  z   3  xy  yz  zx  x, y, z  
0.5

Với a, b, c  0 ta có:
5

 ab  bc  ca 

2

 3abc  a  b  c   9abc  0  ab  bc  ca  3 abc



Ta có: 1  a 1  b 1  c   1  3 abc








abc
abc

3
6
1  abc

abc  t  3 abc  t 2 ,

0.5

abc  t 3 .
3

 abc
Vì a, b, c  0 nên 0  abc  
 1 0  t 1
3



Xét hàm số f (t ) 

f '(t) 



(1  t )(1  t 5 )
t2
 2t.
  0, t  (0;1]
(1  t 2 ) 2 .(1  t 3 ) 2 2
Suy ra f (t ) đồng biến trên f (t ) trên (0;1] ta có f (t )  f (1)  1, t  (0;1] .



2
abc
abc

3
1
3  ab  bc  ca
6
1  a 1  b 1  c 

Dấu ‘=’ xảy ra khi a  b  c  1 .
Vậy MaxP  1 khi a  b  c  1

Lưu ý: Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa

0.5