MỤC LỤC
STT

Nội dung

Trang

1

1. Mở đầu

1

2

1.1.

Lý do chọn đề tài

1

3

1.2.

Mục đích nghiên cứu

1

4


4

9

2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử
dụng để giải quyết vấn đề

5

10

2.4. Hiêu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường

17

11

3. Kết luận, kiến nghị

18

12

3.1.

Kết luận

18


toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Trong dạng toán này lại được chia
thành nhiều dạng nhỏ khác nhau như: dãy tổng các số nguyên cách đều, dãy
tổng của các tích có các thừa số cách đều viết theo quy luật; dãy tổng của các
lũy thừa cùng cơ số nguyên có số mũ cách đều; dãy tổng các phân số viết theo
quy luật,... Đây đều là các dạng toán khó đối với học sinh các lớp đại trà vì phần
lý thuyết không có trong sách giáo khoa, phần bài tập cũng chỉ có một vài bài
trong sách bài tập. Tuy nhiên trong chương trình bồi dưỡng và nâng cao Số học
cho học sinh THCS nói chung, cho học sinh khá giỏi lớp 6 nói riêng lại không
thể thiếu dạng toán tính tổng của dãy số viết theo quy luật. Thực tế là có yêu cầu
đối với học sinh khá giỏi, vì trong bài kiểm tra cuối học kì, trong các đề thi học
sinh giỏi lớp 6 đều có dạng toán đó. Tuy nhiên nhiều học sinh khá giỏi khi mới
bắt đầu gặp dạng toán này cũng bị lúng túng, nhiều bài không tìm ra cách giải.
Trong khuôn khổ và thời gian không cho phép tôi chỉ xin trình bày những sáng
kiến của mình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán 6 ở phần tính
tổng của dãy phân số viết theo quy luật mà trên nền tảng là khai thác từ bài tập
87 chương III- Sách bài tập. Đề tài có tên: “ Rèn luyện kĩ năng tính tổng của
dãy phân số viết theo quy luật cho học sinh lớp 6”
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Tôi chọn đề tài này nhằm phát triển tư duy toán cho học sinh lớp 6, góp
thêm một cách làm có hiệu quả đối với việc rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy
phân số viết theo quy luật. Góp phần tạo sự tự tin, chủ động kiến thức cho các
học sinh trong quá trình giải bài tập, trong thi cử, kiểm tra, đặc biệt là trong các
kì thi học sinh giỏi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Trong đề tài này, tôi nghiên cứu về:
+ Nội dung bài tập 87 chương III- Sách bài tập. Các hướng khai thác bài
toán để vận dụng vào các dãy phân số tương tự.
+ Các dãy phân số viết theo quy luật thường gặp
+ Các kĩ năng biến đổi cần có để tính tổng dãy phân số viết theo quy luật.
1

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong chương trình Số học ở trường THCS nói chung, Số học 6 nói riêng
dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật có vai trò quan trọng vì nó rèn
luyện và phát triển tư duy cho học sinh rất nhiều, không những thế nó còn giúp
học sinh học tốt dạng toán tìm x có chứa dãy phân số viết theo quy luât, dạng
toán chứng minh bất đẳng thức mà một vế là tổng dãy phân số viết theo quy
luật, dạng toán so sánh ,... Ngoài ra nó còn vận dụng vào tính tổng các phân thức
viết theo quy luật và giải phương trình ở lớp 8. Tuy dạng toán tính tổng của dãy
phân số viết theo quy luật không phải là dạng khó của phần Số học song nhiều
học sinh vẫn chưa làm được vì chưa nắm được bản chất của nó cũng như các
phép tính về phân số còn chưa thành thạo. Trong khi đó qua theo dõi tôi thấy
dạng toán tính tổng dãy phân số viết theo quy luật hoặc toán phải vận dụng dãy
2


phân số viết theo quy luật thường xuyên có trong các kì thi hết học kì II, kì thi
học sinh giỏi môn toán lớp 6 ở huyện Cẩm Thủy và các huyện khác trong tỉnh
Thanh Hóa và các tỉnh khác trong nước. Thế nhưng sách giáo khoa thì không đề
cập một bài toán nào về dãy phân số viết theo quy luật, sách bài tập thì chỉ có
hai bài là bài 87 và bài 95 (trong cả chương III - Phân số). Bài 87 có thể coi là
bài toán gốc của dạng toán tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật, phải biết
vận dụng linh hoạt nội dung bài 87 thì mới làm được bài 95 và các bài tập khác.
Từ thực tế đó trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú trọng rèn luyện kĩ năng tính
tổng của dãy phân số viết theo quy luật mà điểm xuất phát là khai thác bài toán
87. Từ việc giải theo trình tự các câu của bài tập 87 tôi xây dựng cho học sinh kĩ
năng quan sát, nhận xét, đánh giá các dãy phân số tương tự, đặc biệt là kĩ năng
vận dụng toán.
2.1.1.Muốn rèn luyện kĩ năng tính tổng của dãy phân số viết theo quy luật
cho học sinh lớp 6 thì trước tiên các em phải nắm được các công thức cơ bản
sau:

+ =
m m m
(a,b,m  Z ;m 0)
3


+ Cộng hai phân số không cùng mẫu : Ta viết chúng dưới dạng hai phân số có
cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

a c
a  c
   
b d
b  d
a c a.b
. 
f) Nhân hai phân số:
b d c.d
a c a.d
: =
(c �0)
g) Chia hai phân số:
b d b.c
e) Trừ hai phân số:

k) Tính chất cơ bản của phép nhân phân số :
a c c a
* Giao hoán : .  .
b d d b
 a c  p a  c p

Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
34
0
0
6
17,6 9
26,5% 19
55,9%
Cần chú thích thêm là: Không có học sinh nào tính được giá trị biểu thức
B bằng cách vận dụng kết quả câu a (6 học sinh đạt điểm khá cũng chỉ biết áp dụng
câu a vào tính giá trị biểu thức A), một số học sinh tính giá trị biểu thức B bằng cách quy
đồng mẫu số các phân số nên chưa ra đến kết quả cuối cùng (không kịp thời gian).
4


Qua kết quả khảo sát cho thấy mặc dù tỉ lệ học sinh khá, giỏi học kì I
trong lớp rất cao, song khả năng tự học và tư duy linh hoạt với dạng toán này
còn rất nhiều hạn chế. Vì vậy trong các tiết luyện tập, ôn tập và các buổi dạy
thêm tiếp theo tôi phải chữa bài và hướng dẫn học sinh khai thác lại bài tập 87,
đồng thời soạn thêm nhiều bài tập về dạng toán tính tổng của dãy phân số viết
theo quy luật để hướng dẫn học sinh tự giải. Với cách làm này qua khảo sát và

Chẳng hạn: = . = Với cách gợi ý này của tôi học sinh đã biến đổi tương tự được các phân số còn
lại.
Yêu cầu một học sinh trình bày hoàn chỉnh:
B= + + + + + +
B= + + ++++
B= . + . + . + . + . + . + .
5


B= - + - + - + - + - + - + B= - =
GV: Vì . = nên nếu đề bài cho các phân số có dạng thì ta có thể áp dụng ngay công
thức (1) mà không cần biến đổi sang dạng . nữa. Như trong tổng B ở trên ta có thể
biến đổi từ đề bài đến bước 1, bỏ qua bước 2 để đến bước 3 luôn cho nhanh gọn.
Vậy, tổng quát ta có :

= -

(2)

* Khai thác bài toán:
+ Quan sát công thức (2) ta thấy: Nếu một phân số có mẫu là tích của hai số tự
nhiên liên tiếp (cách nhau 1 đơn vị), có tử số bằng 1, đúng bằng khoảng cách giữa hai
thừa số ở mẫu thì phân số đó viết được thành hiệu hai phân số có tử đều bằng 1, hai mẫu
số lần lượt là hai thừa số ở mẫu của phân số đã cho. Nhờ cách làm đó ta đã biến dãy
cộng thành dãy cộng, trừ đan xen để ước lược các số hạng đối nhau. Chẳng hạn - và + ;
- và + ; … Do đó bài toán được giải quyết nhanh chóng , chứ nếu quy đồng mẫu các
phân số trên chắc chắn sẽ gặp nhiều khó khăn (như một số bạn đã làm). Đó là chưa kể
đến có bài cần tính tổng của dãy gồm cả trăm , cả nghìn phân số thì việc quy đồng mẫu
số là không thể.
Từ công thức tổng quát và nhấn mạnh bằng lời, yêu cầu học sinh làm một số bài tập vận

1�
2 2�
3 3�
4 4�
5
n�
(n 1)
* Lời giải:
a) Học sinh tự làm
1
1
1
1
1



�
�
�
�
�
�
�

b) B =
1�
2 2�
3 3�
4 4�

+

)
B = - (1-

)=

b) Học sinh giải tương tự câu a)

S=

)

S=-(

)

S=-(
S=-(
Bài 3 (Bài 95- Chương III - SBT toán 6 tập hai). Tính nhanh:

M=
Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã rất lúng túng và mắc sai lầm như
sau (vì làm tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):

M=
M=
M=

+


C=1

Bài 5: Tính tổng: S = + + + …… +

3
50.53

Hướng dẫn: Tử số bằng 3 đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu. Vậy hãy thử
làm tương tự bài 3, 4 .
Lời giải: S = + + + …… +

3
50.53

S = - + - + - + ……+
S= S=

1
50

-

1
53

1
53

51

liên tiếp, tử là 1 đúng bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu.
b) B =

A= 2
A= 2. (1

)

A = 2.(1-

= 2.

b) Khi gặp bài toán này một số học sinh của tôi đã mắc sai lầm như sau (vì làm
tương tự bài 1, bài 2 một cách máy móc.):
1
1
1
1
1



�
�
�
�
�
�
�
�


=

2010
(kết quả này là sai đáng tiếc)
2011

8


Từ cách làm trên tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được sai lầm của các em đó là

≠

1-

;

;…
;

Như vậy, vì

; … nên ta phải

biến đổi B như sau:
1
1
1
1


=

Bài 7. Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất mà không dùng máy tính:

S=

+

+

+

+

Tương tự bài 6b) ta có: S = - ( +

S=-(

+

S=- (

+

+

+

+

2
2
2


 .... 
1.4 4.7 7.10
97.100

Lời giải:
1

1

1

1

C = 2. ( 1.4  4.7  7.10  ....  97.100 )
C=
C=
C=

3
3
3
3


 .... 


�
�
�
�
�
�
�

a) A = 2 �
4 4�
6 6�
8
98 �
100

9


b) B =

1
1
1
1


�
�
�

1 �
 � 

�
�
�
�
�
�
�

�
�
�
�
�
 
� �       �
�
2 �2 �
4 4�
6 6�
8
98 �
100 � 2 �2 4 4 6 6 8
98 100 �
5 �1 1 � 49
 �
�
2 �2 100 � 40


�
�
�
�
�
�
�

�
3�
1�
4 4�
7 7�
10
(3k  1) �
(3k  4) �
1�
1 1 1 1 1 1
1
1 �
 �     �
�
�
�
�
�


�

mẫu thành tích hai thừa số thì giữa các mẫu không có quy luật gì cả. Tôi hướng
dẫn học sinh trước hết rút gọn mỗi phân số cho 2 để được các phân số có mẫu
quen thuộc và có quy luật:
5
5
5
5
10 10
10
10


 ......... 


 ......... 
=
56 140 260
1400 28 70 130
700
5
5
5
5
= 4.7  7.10  10.13  ......... 25.28
5
3
3
3
3

các mẫu không có quy luật gì cả. Tôi gợi ý học sinh quan sát các mẫu xem có
liên hệ gì với các mẫu của câu a) không thì có học sinh phát hiện ra được.
Lời giải:

B=
B=
B = 2(

)

B=

+

B=

.(1-

+

B=

(1-

)=

)
)

=

)

11


=

=

=

b) Là dãy tổng quát của dãy ở câu a )

B = + + + …… +
=

( + + + …… + )

= . ( - + - + - + …+ - )
- )=

=

.

c) Vẫn theo nguyên tắc phải tách mỗi phân số thành hiệu hai phân số.Vận dụng
cách thử tương tự câu a) ta có:

;


;

; ….

Vậy: A =
=

+

)

=
=

)
=

=

2.3.3. Vận dụng phương pháp tính tổng dãy phân số viết theo quy luật vào dạng toán
so sánh, chứng minh.

12


Bài 13: Chứng minh rằng : S

=

1

Lời giải: Ta có

1
1
1 1
=
2


.
Chứng
minh
rằng
22 32 42
92
5
9
Tương tự bài 13 giáo viên để học sinh tự phát hiện
Lời giải:
1 1 1
1
+ Ta có: 2  2  2  ...  2 >
2 3 4
9
1
1
1 1 1 1 1
1 1 2
 2  ...  2      ...  

Suy ra:
2
2
3
9
2 3 3 4
9 10 5





...

 
22 32 42
92
2 2 3
8 9 9
S


Hướng dẫn:
Giáo viên: Thử tính xem các mẫu của các phân số trong tổng có đặc điểm gì?
Học sinh tính được: A = +
Hay: A =

+

Giáo viên: Hãy so sánh tổng A với một tổng quen thuộc mà ta có thể tính được tổng đó?
Học sinh làm được: A

x = 10
Bài 19: Tìm số tự nhiên x biết :
�1
� 1
1
1
1
2. �


 ... 
�
9.10 10.11 11.12
x(x  1) � 9
�

15


Hướng dẫn : Có nhận xét gì về tổng các phân thức trong dấu ngoặc ?
Học sinh nhận ra các phân thức trong dấu ngoặc viết theo quy luật từ đó biến đổi
được:
2.

2.

:2

-


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

16


Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của tôi về rèn luyện kĩ năng tính tổng
của dãy phân số viết theo quy luật được đúc rút từ thực tế giảng dạy (đặc biệt là
trong quá trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi) ở trường THCS Cẩm Phong. Sau
khi dạy xong phần này tôi cũng đã cho học sinh làm lại bài kiểm tra 15 phút để
có số liệu đối chứng. Đề kiểm tra 15 phút như sau (đề dài hơn và phải vận dụng
nâng cao hơn đề 15 phút ban đầu):
Bài 1: (4 điểm) Tính các tổng sau bằng cách hợp lý nhất:
a, A =

1
1
1
1


 ..... 
1.2 2.3 3.4
49.50

b, B =

5
5
5

1
2
3
50

Với đề bài như trên tôi thu được được kết quả như sau:
Tổng
số
34

SL
10

Giỏi
%
29,4

SL
15

Khá
%
44,1

Kết quả
Trung bình
SL
%
9
26,5

trong quá trình ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi Toán 6 của nhà trường.
Học sinh hứng thú, chăm chỉ học tập, yêu thích bộ môn vì thế chất lượng
môn toán ngày càng được nâng cao. Trong kì thi học sinh giỏi lớp 6 năm học
2017-2018 lớp 6B trường THCS Cẩm Phong cũng đạt được 4 giải cấp huyện
trong đó có một câu liên qua đến tính tổng dãy phân số viết theo quy luật các
học sinh trường tôi đều làm tốt. Sự tiến bộ đó của học sinh chính là động lực để
tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm của mình.
3. Kết luận, kiến nghị:
3.1. Kết luận:
Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh không phải là công việc có thể
thực hiện trong ngày một ngày hai mà cần phải có sự kiên trì, bền bỉ và sáng tạo
của giáo viên trong suốt quá trình giảng dạy.
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và áp dụng vào giảng dạy tôi rút ra một
số bài học kinh nghiệm sau:
+ Phải trang bị cho học sinh đầy đủ, chính xác các phép tính về phân số
và rút gọn phân số, nắm được các dạng toán thường gặp liên quan đến tính tổng
của dãy phân số viết theo quy luật.
+ Học sinh phải được rèn luyện nhiều các bài và dạng bài toán tính tổng
của dãy phân số viết theo quy luật từ bài đơn giản, cơ bản đến bài nâng cao, vận
dụng. Cần rèn luyện về cách lập luận và trình bày của học sinh.
+ Giáo viên cần sưu tầm bài tập, sắp xếp theo dạng bài để khi dạy hướng
dẫn học sinh tìm ra quy luật giải của mỗi dạng toán.
+ Với mỗi bài toán giáo viên phải để lại cho học sinh một ấn tượng, một
bước đi nào đó để khi gặp bài toán tương tự học sinh có thể liên hệ, vận dụng
được.
3.2. Kiến nghị:
Tôi xin đề xuất một ý nhỏ sau:
Đối với Sở và Phòng giáo dục: Hàng năm, sau mỗi kì chấm sáng kiến kinh
nghiệm Sở giáo dục và Phòng giáo dục nên gửi cho các trường học những sáng
kiến kinh nghiệm hay, thiết thực được xếp loại A cấp huyện và cấp tỉnh để giáo

DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Xuân
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS Cẩm Phong,
Cấp đánh giá
xếp loại
TT

Tên đề tài SKKN

(Ngành GD cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

20



C

2013-2014

4.

Phương pháp rút gọn biểu
thức chứa căn thức bậc hai

Cấp huyện

C

2016-2017

21