MỤC LỤC
1. Mở đầu…………………………………………………………………..1
1.1. Lí do chọn đề tài………………………………………………….1
1.2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………..1
1.3. Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….1
1.4. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………1
2. Nội dung………………………………………………………………...3
2.1. Cơ sở lí luận………………………………………………….…....3
2.2. Thực trạng của đề tài…………………………………………...….4
2.3. Biện pháp thực hiện…………………………..………………..…..4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm………………………..….....14
3. Kết luận……….…………………………………………………..…….17
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………18
Danh mục sáng kiến kinh nghiệm đạt giải…………………………………19

0


1. Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình giải tích 12, cực trị của hàm số là một trong những vấn
đề quan trọng, có nhiều ứng dụng và thường xuất hiện trong đề thi trung học phổ
thông (THPT) quốc gia.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn
và mắc phải những sai lầm khi giải các bài toán liên quan đến cực trị. Các em
thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu
không có sự hướng dẫn của người thầy.
Trong sách giáo khoa (SGK) chương trình chuẩn thời lượng để giáo viên
cung cấp kiến thức về bài toán cực trị của hàm số hơi ít. Mặt khác có nhiều học
sinh còn có tư tưởng xem nhẹ và không thích giải các loại bài toán này. Qua thực tế
giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp, chấm bài kiểm tra của học sinh, còn nhiều học sinh

1.4.3. Phương pháp thực tập sư phạm
Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quy trình
của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên
cứu.
1.4.4. Phương pháp thống kê toán học
Sử dụng phương pháp thống kê toán học để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả
thu được.

2


2. Nội dung
2.1. Cơ sở lý luận
Nội dung cực trị của hàm số (chương I - Giải tích 12 - Cơ bản)
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
Các định lí về điều kiện đủ để hàm số có cực trị
y  f  x
K   x0  h; x0  h
 Định lí 1: Giả sử hàm số
liên tục trên khoảng
và có
K \  x0
đạo hàm trên K hoặc trên
, với h  0 .
f ' x  0
 x  h; x0  và f ' x  0 trên khoảng
a. Nếu
trên khoảng 0
 x0; x0  h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số y  f  x .

+ Tìm tập xác định.
(x) . Giải phương trình f �
(x)  0 tìm các nghiệm xi (i  1, 2, ..., n) .
+ Tính f �

�
(xi ) .
�
(x) và f �
+ Tính f �
+ Kết luận.

3


2.2. Thực trạng của đề tài
Trong thực tế, khi học sinh học phần cực trị của hàm số - chương I “Ứng
dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn
sau:
- Không nắm vững định nghĩa và các khái niệm liên quan đế cực trị của hàm
số.
- Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
- Nhầm lẫn giữa cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
2.3. Biện pháp thực hiện
Để khắc phục những sai lầm mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề
tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
Sai lầm thứ nhất: Không phân biệt được các khái niệm liên quan đến
cực trị
3

Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được các khái niệm về cực trị
Cách khắc phục: Nắm vững các khái niệm sau:
Cho hàm số y  f  x  nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì:
4


Hàm số đạt cực trị tại x0 ( x0 là điểm cực trị của hàm số).
Giá trị cực trị của hàm số là

f  x0  .

Điểm cực trị của đồ thị hàm số là M  x0 ; f  x0   .
Bài tập tương tự
3
2
Bài 1: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y  x  3 x  1 là
A. xCÐ  0 ;
B. yCÐ  1 ;
C.  2; 3 ;

D.  0;1 .

'
Sai lầm thứ hai: Phương trình f  x   0 vô nghiệm thì kết luận hàm số
không có cực trị

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số
Sai lầm thường gặp:
Ta có:


y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

5


  có bao nhiêu điểm cực trị?
Đồ thị hàm số
A. 3 ;
B. 2 ;
C. 4 ;
D. 1 .
Trong ví dụ này học sinh không nắm vững sẽ chọn phương án B tuy nhiên hàm số
vẫn đạt cực trị tại x = 0.
y f x

Suy ra hàm số

y  f  x

có ba nhiêu điểm cực trị.

Nguyên nhân sai lầm: Ngộ nhận kết quả: Hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số
phải có đạo hàm tại điểm đó.
Cách khắc phục: Khi gặp các bài toán tìm cực trị tại x0 mà hàm số không có đạo
hàm tại x0 thì ta phải lập bảng biến thiên của hàm số.
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho hàm số
hình vẽ

Ví dụ 5: Hàm số f  x   x  1 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Trong ví dụ này học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án B do khi tính đạo hàm của
2
f
'
x

3
x


hàm số đã cho
có nghiệm là x  0 . Tuy nhiên ở đây, tại x  0 là
nghiệm kép, đạo hàm f '  x  không đổi dấu khi đi qua x  0 nên hàm số không đạt
cực trị tại điểm này. Phương án đúng là A.
Học sinh quan sát bảng biến thiên sau để thấy rõ hơn.

4
2
Ví dụ 6: Hàm số f  x   x  6 x  8 x  10 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0;
B. 1;
C. 2;
D. 3.
Trong ví dụ này học sinh dễ sai lầm lựa chọn đáp án C do khi tính đạo hàm của

 3x  4 có bao nhiêu cực trị?
Bài 1: Hàm số

A. 1 ;

B. 2 ;

C. 0 ;

D. 3 .

Bài 2: [THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc-lần 1-năm 2017-2018] Cho hàm số
y  f  x

có bảng biến thiên như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực

trị?

A. 4 ;

B. 2 ;

Bài 3: Cho hàm số
hàm số
A. 3 ;

y  f  x

y  f  x


x   4 x 3  2mx
f�
x   12 x 2  2m


+) Ta có:
và

8


�f �
 0   0 �0  0
��
�m0
�
�
�
f
0

0
m

0


�
�
+) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 là:

ngược lại thì chưa chắc đúng. Vì nếu x0 là điểm cực tiểu thì vẫn có thể  0 
�x  0
f�
do là điều kiện  0 
chỉ là điều kiện đủ.
Lời giải đúng là:
f �x  4 x3  2mx
+) Ta có:  
+) Nếu m �0 thì ta có bảng biến thiên

Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
+) Nếu m  0 ta có bảng biến thiên

9


Khi đó hàm số đạt cực đại tại x = 0.
+) Vậy với m �0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x  0. Phương án đúng là A.
y  f  x   mx 4  1
Ví dụ 8: Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực đại tại x  0 ?
A. m  0 ;
B. m ��;
C. m �0 ;
D. m  0 .
Cách giải sai:
+) Ta có:

f�

Bảng biến thiên:

y�
 f �x  4 x 3  0 � x  0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn

�f �
 x0   0
�x
�
�
 x0   0 0
�f �

là điểm cực đại của hàm số, còn điều

�x  0
f�
ngược lại thì chưa chắc đúng. Vì nếu x0 là điểm cực đại thì vẫn có thể  0 
do

là điều kiện  0 
Lời giải đúng là:

�x  0
f�


Nguyên nhân sai lầm: Khi sử dụng quy tắc 2 để xác định cực trị của hàm số các
em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:
�
�f ' x0   0
�
�f '' x0   0 � x0
�
là điểm cực tiểu
�
�f ' x0   0
�
�f '' x0   0 � x0 là điểm cực đại
�
Điều ngược lại nói chung là không đúng .
Cách khắc phục: Lập bảng biến thiên của hàm số.
Bài tập tương tự
Bài 1. Cho hàm số y = mx4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực đại tại x  0 ?
A. m �0 ;
B. m  0 ;
C. m �0 ;
D. m  0 .
11


Bài 2. Cho y = x4 + mx3 + 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số đạt cực tiểu tại x  0 ?
A. m �0 ;
B. m  0 ;

y   x 3  m  m2  2 x 2  3m 2  1 x  m
3
Ví dụ 10: Cho hàm số
. Tìm m để
hàm số đạt cực trị tại điểm x  2 .
A. m  1 ; B. m  1 hoặc m  3 ;
C. m  3 ;
D. Đáp án khác.
Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án B và phương án C.
y '   x 2  2  m  m 2  2  x   3m 2  1
Đạo hàm của hàm số:
.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x  2 là y '  2   0









� 4  4  m  m 2  2    3m 2  1  0

m 1
�
��
m3
�
Khi giải đến đây hàm số vội vàng lựa chọn phương án B mà quên mất việc xét điều

Ví dụ 11: Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất là 3;
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là 0;
C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 3và có giá trị nhỏ nhất là 0;
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Trong ví dụ này học sinh dễ nhầm lẫn giữa phương án C và phương án D.
Đây là sai lầm rất nghiêm trọng khi coi giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất và giá trị
cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số. Điều này chỉ đúng khi hàm số chỉ có đúng
một cực trị là cực tiểu thì giá trị cực tiểu là giá trị nhỏ nhất hoặc hàm số chỉ có
đúng một cực trị là cực đại thì giá trị cực đại là giá trị lớn nhất của hàm số.
Nguyên nhân sai lầm: Không nắm vững được các khái niệm về cực trị và giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Bài tập tương tự
y  f  x
Bài 1. Cho hàm số
xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên như
hình vẽ. Tìm khẳng định đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị;
B. Hàm số đạt cực đại tại x  1 và đạt cực tiểu x  2 ;
13


C. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 ;

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Tôi đã chọn lớp 12A5 là lớp thực nghiệm dạy học theo phương pháp mới,
hướng dẫn học sinh khắc phục sai lầm khi giải toán về cực trị của hàm số còn lớp
12A6 là lớp đối chứng dạy theo phương pháp truyền thống. Kết quả thực nghiệm
sau khi cho hai lớp làm bài tập khảo sát như sau:
Các bài tập khảo sát:
Bài 1. Cho hàm số

y  f  x

có bảng biến thiên như sau

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là
A. xCÐ  0 ;
Bài 2. Cho hàm số

f  x

B. yCÐ  2 ;
có đạo hàm

của hàm số f  x  là

C.  0;1 ;
f�
 x    x  1

4

3
Bài 4. Cho hàm số
. Tìm m để hàm số
đạt cực trị tại điểm x  2 .
A. m  1 ; B. m  1 hoặc m  3 ;
C. m  3 ;
D. Đáp án khác.
y  f  x
y f�
 x  trên �
Bài 5. Cho hàm số
có đạo hàm trên � và đồ thị hàm số
như hình vẽ. Mệnh đề nào đúng?
y  f x  x  mx  1
4

3









y

x


0

3
0

4
0

Điểm số Xi
5
6
7
3
5
9

39

0

0

0

6

7

Lớp



3

4

5

6

7

8

9

10

TN
(%)

0.0
0

0.00

0.0
0

0.00


17.9
4

23.0
7

20.5
1

12.8
5

7.69

2.56

Bảng phân bố tần suất bài khảo sát
Từ bảng số liệu phân tích điểm số qua bài khảo sát cho thấy:
Lớp TN:
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chiếm hơn 80,00%.
- HS trung bình dưới 20,00%, không có yếu kém.
Lớp ĐC:
- Tỷ lệ HS đạt điểm khá, giỏi chỉ chiếm 43,61%.
- Tỷ lệ HS đạt điểm trung bình 41,01%
- Tỷ lệ HS đạt điểm yếu 15,38%.
Thông qua tỷ lệ trên chứng tỏ rằng kết quả học tập của HS lớp TN tốt hơn
lớp ĐC.
Kết luận chung về thực nghiệm
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của học
sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng đạo


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm
17


2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Trương Văn Hòa

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Bá Kim(2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học sư
phạm Hà Nội.
2. Sách giáo khoa Giải tích 12 – cơ bản (NXB Giáo dục)
3. Thư viện: violet.vn › Toán

18


DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN


19


2.

Tạo hứng thú học tập môn Toán Sở GD và ĐT
cho học sinh thông qua giải bìa Tỉnh Thanh
tập trong sách giáo khoa Đại số Hóa
10 nâng cao.

C

2009- 2010

3.

Tạo hứng thú học tập môn Toán Sở GD và ĐT
cho học sinh thông qua giải bìa Tỉnh Thanh
tập trong sách giáo khoa.
Hóa

C

2010-2011

4.

Hướng dẫn học sinh sử dụng
đạo hàm vào giải một số dạng
bài tập về lượng giác trong tam

2015- 2016

20