MỤC LỤC
1.

MỞ ĐẦU .............................................................................. Trang 01
1.1. Lí do chọn đề tài ........................................................

Trang 01

1.2. Mục đích nghiên cứu ………………………………. Trang 01
1.3. Đối tượng nghiên cứu ……………………………… Trang 01
1.4. Phương pháp nghiên cứu …………………………
2.

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ...................... Trang 02
2.1. Cơ sở lí luận của Sáng kiến kinh nghiệm ................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến
kinh nghiệm
................................................................
2.3. Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề ...............................................................
2.3.1. Một số bài toán về sự đồng biến, nghịch biến
của hàm số....................................................................
2.3.2. Mốt số bài toán về cực trị và giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số...........................................
2.3.3. Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị
hàm
số ..........................................................................
2.3.4. Một số bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm
số..................................................................................
2.4. Hiệu quả của Sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt
động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí quan
trọng. Nó là môn học giúp chúng ta rèn luyện tư duy, phương pháp suy luận,
rèn luyện trí thông minh, sáng tạo. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện tính cần
cù, nhẫn nại, ý chí vươn lên, ham chuộng chân lí, yêu thích chính xác. Trong
bất cứ công việc gì, kiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần thiết đối
với mọi người.
Ở trường THPT, đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ
yếu của hoạt động toán học, là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy
học toán. Các bài toán ở trường THPT là một phương tiện rất có hiệu quả
trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, hình thành kỹ năng, ứng dụng
toán học vào cuộc sống. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có
vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán, nhằm rèn luyện cho học
sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất quý báu của con người lao động.
Tuy nhiên qua giảng dạy, để tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán,
tôi nhận thấy cần phải giúp học sinh nhận thức được sai lầm, khắc phục sai
lầm và có sự phòng tránh sai lầm tiếp theo. Bởi bất kỳ một sai lầm nào cũng
có thể làm học sinh học kém đi nếu như giáo viên không chú ý ngay tới sai
lầm đó, không hướng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm.
Người học phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình.
Xuất phát từ điều đó, trong năm học 2017 – 2018, tôi có Sáng kiến kinh
nghiệm trong giảng dạy là: “Giúp học sinh nắm vững kiến thức Chương I
– Giải Tích 12 thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Sáng kiến kinh nghiệm này phục vụ cho quá trình giảng dạy của tôi
trong năm học 2017 – 2018, giúp học sinh lớp 12 THPT nắm vững kiến thức

cho tư duy mà tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề.
Mặt khác, sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ khêu gợi được hoạt
động học tập mà học sinh sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm
và tìm lời giải đúng. Tìm ra cái sai của chính mình hay của bạn mình đều là
sự khám phá. Từ sự khám phá này, học sinh chiếm lĩnh được kiến thức một
cách trọn vẹn.
Bên cạnh đó, các biện pháp sửa chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán
phải tác động vào hoạt động của học sinh. Trước hết cần tạo ra động cơ học
tập sửa chữa các sai lầm và cần gây niềm tin cho học sinh là bản thân mình có
thể tìm ra được sai lầm trong một lời giải toán nào đó. Học sinh phải thấy việc
sửa chữa các sai lầm khi giải toán là một nhu cầu và cần phải tham gia như
một chủ thể một cách tự nguyện, say mê, hào hứng. Học sinh phải có được
động cơ hoàn thiện tri thức. Từ đó học sinh sẽ tự tin sửa chữa sai lầm, hình
thành năng lực tìm ra các sai lầm khi giải toán và sẽ tạo ra năng lực giải toán
cho bản thân.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm:
Qua nhiều năm giảng dạy Chương I - Giải Tích 12 “Ứng dụng đạo hàm
để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” tại trường THPT Như Xuân, tôi nhận thấy
học sinh rất hay mắc sai lầm trong các bài toán về hàm số. Mặc dù đây là nội
dung quan trọng của chương trình nên học sinh được ôn luyện nhiều. Sai lầm
xảy ra đối với cả học sinh khá, giỏi và từ những dạng toán cơ bản nhất.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm chủ yếu là do học sinh chưa nắm vững kiến
thức cơ bản, chưa có thói quen nghiên cứu kỹ lí thuyết, kiểm tra lại lời giải,
thiếu kỹ năng phát hiện và phòng tránh sai lầm. Bên cạnh đó, hiện nay có
không ít tài liệu tham khảo chạy theo thị trường, viết ẩu, tùy tiện, trình bày
nội dung kiến thức, lời giải toán không chính xác, mắc sai lầm. Khi học sinh
sử dụng các cuốn tài liệu này dễ bị mắc sai lầm theo do học sinh chưa có nền
tảng kiến thức rộng và sự bao quát vấn đề để nhận ra cái đúng, cái sai.
Thực trạng đó ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập của học sinh. Nếu
không khắc phục thì sẽ dẫn đến học sinh không nắm vững kiến thức và những

Qua đó tạo tình huống có vấn đề giúp học sinh ghi nhớ, nắm vững và khắc
sâu kiến thức, rèn luyện kỹ năng và phương pháp giải toán; đồng thời tạo cho
học sinh tính cẩn thận, thói quen kiểm tra kết quả, phòng và tránh sai lầm
trong giải toán cũng như trong cuộc sống.
Sau đây, trong khuôn khổ của Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi giới thiệu
một số bài toán học sinh dễ mắc sai lầm mà tôi đã sử dụng để giảng dạy nội
dung Chương I - Giải Tích 12 (Chương trình chuẩn) “Ứng dụng đạo hàm để
khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” theo giải pháp nêu trên, qua đó giúp học sinh
nắm vững kiến thức, khắc phục được những sai lầm trong giải toán.
2.3.1. Một số bài toán về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bài 1. Cho hàm số y = x −

1
(1). Trong các khẳng định sau, khẳng định
x

nào sai?
A. Hàm số (1) có tập xác định là D = R \ { 0} .
1
B. Hàm số (1) có đạo hàm y ' = 1 + 2 > 0, ∀x ∈ R \ {0} .
x
C. Hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.
4


D. Hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; −1) và (1; +∞) .
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: D = R \ { 0} .
1
Ta có y ' = 1 + 2 > 0, ∀x ∈ R \ {0} nên hàm số (1) đồng biến trên tập xác định

dấu “ ∪ ”. Nếu giáo viên không nhắc nhở thì học sinh khó phát hiện ra sai lầm
này.
mx − 2m − 3
Bài 2. Cho hàm số y =
với m là tham số. Gọi S là tập tất cả các
x−m
giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số
phần tử của S.
A. 5.
B. 4.
C. Vô số.
D.3
5


(Câu 31, mã đề 103, đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]).
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: D = R \ { m} .
− m 2 + 2m + 3
Ta có: y ' =
.
( x − m) 2
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng xác định khi và chỉ khi
− m 2 + 2m + 3
y' =
≥ 0, ∀x ≠ m ⇔ −m 2 + 2m + 3 ≥ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 3 .
2
( x − m)
Suy ra S = { −1;0;1;2;3} .
Vậy chọn phương án A (?).

*Lưu ý với HS:
-Lưu ý 1:
Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm trên (a; b) , khi đó:
1) f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) là điều kiện cần để hàm số y = f ( x ) đồng biến
trên (a; b) .
2) f '( x) > 0, ∀x ∈ (a; b) là điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến
trên (a; b) .
6


3) f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b)
là điều kiện đủ để hàm số y = f ( x ) đồng biến trên (a; b) .
4) f '( x) = 0, ∀x ∈ (a; b) là điều kiện cần và đủ để hàm số y = f ( x )
không đổi trên (a; b) .
(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).
-Lưu ý 2:
Trong Sáng kiến kinh nghiệm này, nếu không nói gì thêm ta luôn giả sử
K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc một nửa khoảng.
Từ lời giải Bài 2, có thể rút ra cách giải ngắn gọn dạng toán này đối với
ax + b
hàm số y =
(1) như sau:
cx + d
Hàm số (1) đồng biến trên K
ad − bc
> 0, ∀x ∈ K
⇔ Hàm số (1) xác định trên K và y ' =
(cx + d ) 2
⇔ Hàm số (1) xác định trên K và ad − bc > 0 .
(Phát biểu tương tự đối với trường hợp hàm số nghịch biến).

( x − m) 2
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞;1)
3− m
> 0, ∀x ∈ (−∞;1)
⇔ Hàm số xác định trên khoảng (−∞;1) và y ' =
( x − m) 2

7


m ∉ (−∞;1)
⇔
3 − m > 0
m ≥ 1
⇔
⇔ 1≤ m < 3.
m < 3
Suy ra S = { 1;2} nên đáp án Bài 3 phải là phương án B.
*Lưu ý với HS:
Để hàm số đồng biến, nghịch biến trên K thì trước hết hàm số đó phải
xác định trên K, do đó cần chú ý đặt điều kiện để hàm số xác định trên K.
Bài 4. Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
y = (m 2 − 1) x 3 + (m − 1) x 2 − x + 4 nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) ?
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 3.
(Câu 41. Đề minh họa lần 3 - THPT Quốc gia năm 2017 của Bộ GD&ĐT [2]).

*Lời giải sai lầm:

nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) (vì y’ đổi dấu khi x đi qua điểm − ).
4
m
≠
±
1
- Trường hợp 3: Với
, khi đó hàm số đã cho là hàm số bậc 3 nên:
Điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) là

8


 −1 < m < 1
m 2 − 1 < 0

1
y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ 
⇔ 1
⇔ − ≤ m < 1.
2
∆ ≤ 0
− 2 ≤ m ≤ 1
Từ các trường hợp trên suy ra điều kiện cần và đủ để hàm số đã cho
 1 
nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞) là m ∈  − ;1 .
 2 
Vậy đáp án đúng của Bài 4 phải là phương án A.
*Lưu ý với HS:
Đối với hàm số đa thức f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a1x + a0 ( n ∈ N * ) (1).

Sai lầm khi cho rằng:
“y’ = 0 tại vô số điểm trên R nên hàm số không đồng biến trên R”.
Như đã nói ở sai lầm Bài 2 (Lưu ý 1, trang 5), điều kiện: “
f '( x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) và f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) ” chỉ là
điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên (a; b) . Do đó, nếu một hàm số không
thỏa mãn điều kiện “ f '( x) = 0 tại hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) ” thì hàm
9


số đó vẫn có thể đồng biến trên khoảng (a; b) . Chẳng hạn, xem lời giải đúng
dưới đây ta thấy hàm số y = mx − sinx vẫn đồng biến trên R khi m = 1.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: R.
y ' = m − cosx , ∀x ∈ R .
Điều kiện cần để hàm số đã cho đồng biến trên R là y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R .
Ta có: y ' = m − cosx ≥ 0,∀x ∈ R ⇔ cosx ≤ m,∀x ∈ R ⇔ m ≥ 1 .
- Với m > 1 thì y ' = m − cosx > 0,∀x ∈ R nên hàm số đã cho đồng biến trên R.
- Với m = 1 thì hàm số là y = x − sinx và y ' = 1 − cosx ≥ 0,∀x ∈ R .
π
Ta có: y ' = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z ) .
2
π
π

Xét hàm số trên mỗi đoạn  + m2π ; + (m + 1)2π  , ( m ∈ Z ) .
2
2

Ta thấy trên mỗi đoạn này thì y ' = 1 − cosx ≥ 0,∀x ∈ R và y’ = 0 chỉ tại hai
điểm đầu mút của mỗi đoạn nên hàm số y = x − sinx đồng biến trên mỗi đoạn

sin x − m
2 
1 ≤ m < 2
A. m > 2 .
B. m ≥ 2 .
C. 
.
D. m < 2 .
m ≤ 0
*Lời giải sai lầm:

π 
Đặt t = sin x , với x ∈  ;π ÷ thì t ∈ ( 0;1) .
2 
t−2
Ta có: y =
.
t−m
Điều kiện: t ≠ m .
2−m
y' =
.
(t − m) 2
10


Hàm số y =

sin x − 2
π 

t−2
hàm số y =
đồng biến trên khoảng (0;1) ”.
t−m
sin x − 2
Không thể đồng nhất tính biến thiên của hàm số y =
(theo
sin x − m
t−2
biến x) với hàm số y =
(theo biến t) vì đây là hai hàm số hoàn toàn khác
t−m
nhau. Điều này sẽ thể hiện rõ qua lời giải đúng sau đây.
*Lời giải đúng:
Điều kiện xác định: sin x ≠ m .
π 
Đặt t = sin x , với x ∈  ;π ÷ thì t ∈ ( 0;1) .
2 
t−2
Suy ra y = g (t) =
.
t−m
Theo công thức đạo hàm của hàm số hợp ta có:
2−m
y x' = gt' (t ).t x' =
.cosx .
(t − m) 2
π 
Điều kiện cần để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;π ÷ là
2 

Do đó ta có: 
2
−
m
≤
0

π 
'
- Với m > 2 thì y x > 0, ∀x ∈  ;π ÷ nên hàm số đã cho đồng biến trên khoảng
2 
π 
 ;π ÷.
2 
π 
'
- Với m = 2 thì y x = 0, ∀x ∈  ;π ÷ nên hàm số đã cho không đổi trên khoảng
2 
π 
 ;π ÷.
2 
Suy ra m cần tìm là m > 2.
Vậy đáp án của Bài 6 phải là phương án A.
*Lưu ý với HS:
Khi xét tính biến thiên của hàm số y = f ( x ) theo biến x thì phải xét đạo
hàm y ' = f '( x) theo biến x. Lưu ý này cũng tương tự như khi xét cực trị của
hàm số.
2.3.2. Mốt số bài toán về cực trị và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
Bài 7. Hàm số f ( x) = x8 − 2 x 4 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị?

2 x3 − 2 x 2 + x
 x − 2 x + x > 0
1
Ta thấy f '( x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0 = nên hàm số f ( x) đạt cực trị
3
1
tại điểm x0 = .
3
Vậy chọn phương án A (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng: “Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại điểm x0 mà
f '( x0 ) = 0 ” nên chỉ xét dấu của f '( x) khi x đi qua điểm x0 . Lưu ý là: Hàm số
vẫn có thể đạt cực trị tại điểm thuộc tập xác định mà đạo hàm tại điểm đó
không tồn tại.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: [0; +∞) .
3x 2 − 4x + 1
f '( x) =
.
2 x3 − 2 x 2 + x
Trên [0; +∞) , f '( x) không xác định tại x = 0 và x = 1.
2
1
3x − 4x + 1 = 0
f '( x) = 0 ⇔  3
⇔
x
=
.
2

*Lưu ý với HS:
Khi tìm cực trị của hàm số f(x) ta phải tìm tất cả các điểm thuộc tập
xác định của nó mà làm cho f '( x) bằng 0 hoặc không tồn tại; sau đó xét
dấu f '( x) khi x đi qua các điểm đó.
Suy ra hàm số đã cho đạt cực đại tại x =

Bài 9. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
f ( x) = mx 4 + (m − 1) x3 + (m 2 − m) x 2 + 1 đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
m ≥ 1
m ≥ 1
m > 1
A. 
.
B. 
.
C. 0 < m ≤ 1 .
D. 
.
m ≤ 0
m < 0
m < 0
*Lời giải sai lầm:
f '( x) = 4mx 3 + 3(m − 1) x 2 + 2(m 2 − m) x .
f ''( x) = 12mx 2 + 6(m − 1) x + 2( m 2 − m) .
 f '(0) = 0
m > 1
⇔ m2 − m > 0 ⇔ 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ⇔ 
.
 f ''(0) > 0


- Nếu m = 0 (thì f ''(0) = 0 nên chưa thể kết luận mà phải xét dấu f '( x) ).
Khi đó f '( x) = −3x 2 không bị đổi dấu khi x đi qua 0 nên hàm số không đạt
cực trị tại điểm x = 0.
- Nếu m = 1 (thì f ''(0) = 0 nên cũng chưa thể kết luận mà phải xét dấu f '( x) ).
Khi đó f '( x) = 4 x 3 bị đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0 nên hàm số đạt
cực tiểu tại điểm x = 0.
Từ các trường hợp trên, ta được tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho đạt
cực tiểu tại điểm x = 0 là m ∈ (−∞;0) ∪ [1; +∞) .
Vậy đáp án của Bài 9 phải là phương án B.
*Lưu ý với HS:
1) f '( x0 ) = 0 hoặc không tồn tại là điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại x0.
 f '( x0 ) = 0
2) 
chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị tại x0.
 f ''( x0 ) ≠ 0
 f '( x0 ) = 0
3) 
chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x0.
 f ''( x0 ) > 0
 f '( x0 ) = 0
4) 
chỉ là điều kiện đủ để hàm số đạt cực đại tại x0.
 f ''( x0 ) < 0
1
1

− 2  x + ÷+ 5 .
2
x

với hàm số g (t ) không tương đương vì không tìm điều kiện cho t.
*Lời giải đúng:
Tập xác định: R \ { 0} .
1
1
2
2
Đặt t = x + thì x + 2 = t − 2 nên f ( x) trở thành g (t ) = t 2 − 2t + 3 .
x
x
1
1
- Xét hàm số t = x + trên R \ { 0} , ta có t ' = 1 − 2 = 0 ⇔ x = ±1 .
x
x
Bảng biến thiên:
−∞
+∞
x
-1
0
1
15


t’

+

t

+∞
+∞
g(t)
11
g (t ) = 3 khi t = 2 nên min f ( x) = 3 khi3 x + 1 = 2 hay x = 1 .
Suy ra min
t ≥2
x∈R \{ 0}
x
f ( x) = 3 khi x = 1 .
Vậy xmin
∈R \{ 0}

Do đó đáp án Bài 10 phải là phương án C.
*Lưu ý với HS:
Khi đặt t = u(x) với x ∈ D , thì cần phải tìm điều kiện của t, tức là tìm
tập giá trị của hàm số t = u(x) trên tập xác định D.
2.3.3. Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
x2 − 5 x + 4
Bài 11. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
.
x2 − 1
A. 3.
B. 1.
C. 0.
D. 2.
(Câu 15, mã đề 102, đề thi chính thức THPT Quốc gia năm 2017 [1]).
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: R \ { −1;1} .
y sẽ là

lim + y = lim +
= lim +
= −∞ .
2
x →( −1)
x →( −1)
x →( −1) x + 1
x −1
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có đúng một đường tiệm cận đứng là x = -1.
Vậy đáp án Bài 11 phải là phương án B.
3x6 + 1 − 2
Bài 12. Đồ thị hàm số f ( x) =
có bao nhiêu đường tiệm cận?
x3 − x 2
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
*Lời giải sai lầm:
Tập xác định: R \ { 0;1} .
1) Tìm tiệm cận đứng:
3x 6 + 1 − 2
3x6 − 3
f ( x) = lim
= lim
Ta có: lim
x →1
x →1
x →1 2
x3 − x 2

1
2
3+ 6 − 3
6
3x + 1 − 2
x
x = 3.
Ta có lim f ( x) = lim
= lim
3
2
x →±∞
x →±∞
x →±∞
1
x −x
1−
x
Suy đồ thị hàm số f ( x) có một tiệm cận ngang y = 3 .
Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận, do đó chọn phương án B (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng lim f ( x) = lim
x →±∞

x →±∞

3x 6 + 1 − 2
= 3
x3 − x 2


x
x = 3
= lim
= lim
;
x →+∞
x
→+∞
1
1
3
1−
x 1 − ÷
x
 x
6

x3 3 +

1
1
2
−2
− 3+ 6 − 3
6
x
x
x =− 3.
lim f ( x) = lim
= lim

B. y = 24 x + 91 .
15
31
15
121
C. y = 24 x − 53 , y = x + .
D. y = 24 x + 91 , y = x +
.
4
4
4
4
*Lời giải sai lầm:
Ta có: f (3) = 19 nên M(3; 19); f '( x) = 3x 2 − 3 .
Vì M thuộc (C) nên M là tiếp điểm, do đó tiếp tuyến cần xác định là
y = f '(3)( x − 3) + 19 hay y = 24 x − 53 . Vậy chọn phương án A (?).
*Sai lầm ở đâu?
Sai lầm khi cho rằng vì M thuộc (C) nên tiếp tuyến đi qua M chính là
tiếp tuyến tại M (nhận M làm tiếp điểm). Dĩ nhiên tiếp tuyến tại M là một tiếp
tuyến đi qua M, nhưng vẫn có thể còn tiếp tuyến đi qua M mà không nhận M
làm tiếp điểm.
18


*Lời giải đúng:
Ta có: f (3) = 19 nên M(3; 19); f '( x) = 3x 2 − 3 .
Gọi M0 (a; a 3 − 3a + 1) là tiếp điểm của tiếp tuyến d đi qua M của (C).
Phương trình của d có dạng y = f '(a)( x − 3) + 19 hay y = (3a 2 − 3)( x − 3) + 19 .
d đi qua tiếp điểm M0 nên ta có a 3 − 3a + 1 = (3a 2 − 3)( a − 3) + 19
a = 3

4
15
31
Suy ra có hai tiếp tuyến cần tìm là: y = 24 x − 53 và y = x + .
4
4
Vậy đáp án Bài 13 phải là phương án C.
*Lưu ý với HS:
Khi giải bài toán tiếp tuyến đi qua điểm M, dù điểm M thuộc đồ thị
cũng không thể quy về bài toán tiếp tuyến tại điểm M.
Bài 14. Cho hàm số f ( x) = x 4 − 2x 2 + 3 có đồ thị (C).
Từ điểm A(0; 2) kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)?
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. 3.

*Lời giải sai lầm:
Gọi M0 (a; a 4 − 2a 2 + 3) là tiếp điểm của tiếp tuyến d đi qua A(0; 2) của (C).
Phương trình của d có dạng y = f '(a)( x − 0) + 2 hay y = (4a 3 − 4a ) x + 2 .
d đi qua tiếp điểm M0 nên ta có a 4 − 2a 2 + 3 = (4a 3 − 4a) a + 2
a 2 = 1

⇔ 3a 4 − 2a 2 − 1 = 0 ⇔  2
1 ⇔ a = ±1 .
a =−

3
Suy ra có hai tiếp điểm M0 nên qua A kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (C).

dụng. Trong tiết dạy, không khí học tập sôi nổi, học sinh hứng thú, tích cực;
học sinh đã mạnh dạn, chủ động nhận xét bài làm của bạn, tìm sai lầm và sửa
chữa để có lời giải đúng. Từ đó đã hình thành cho học sinh thói quen nghiên
cứu lời giải, kiểm tra lại kết quả để phòng tránh sai lầm, phát hiện và sửa chữa
sai lầm.
Bên cạnh đó học sinh đã sử dụng các thuật ngữ, kí hiệu toán học, quy
tắc suy luận… chính xác hơn và khả năng trình bày lời giải, diễn đạt bằng
ngôn ngữ nói, ngôn ngữ viết của học sinh cũng tiến bộ lên đáng kể.
Đặc biệt, khi giải toán trắc nghiệm, đa số học sinh đã tránh được những
sai sót để không chọn nhầm đáp án, tránh được những lỗi sai đáng tiếc, qua đó
kết quả học tập được nâng cao.
Đối với bản thân, khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi thấy tiết
dạy hiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh, giúp học sinh nắm vững, khắc
sâu nội dung kiến thức và tránh được những sai sót; đáp ứng và phù hợp với
kỳ thi THPT Quốc gia khi thi bằng hình thức đề trắc nghiệm khách quan như
hiện nay.
Đối với đồng nghiệp và nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm
trao đổi về phương pháp, giải pháp giảng dạy những nội dung kiến thức và
một số dạng toán mà học sinh thường mắc sai lầm trong Chương I – Giải Tích
12. Nội dung Sáng kiến này cũng chính là một nội dung mà tôi đã trình bày
trong sinh hoạt chuyên môn định kỳ của tổ chuyên môn Toán. Qua đó để cùng
với các đồng nghiệp đi đến thống nhất về phương pháp, giải pháp giảng dạy
nhằm nâng cao hiệu quả, chất lượng giảng dạy nội dung Chương I – Giải Tích
12 nói riêng và môn Toán nói chung.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
20


3.1. Kết luận:
Việc sử dụng các bài toán học sinh dễ mắc sai lầm vào các tiết dạy nội

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là Sáng kiến kinh
nghiệm của mình viết, không sao chép
nội dung của người khác.

Lê Khắc Luyện

21


TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2. Đề minh họa (lần 1, lần 2 và lần 3) thi THPT Quốc gia năm 2017, Bộ Giáo
dục và Đào tạo.

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ
CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Lê Khắc Luyện.
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán - Trường THPT Như Xuân.

TT

1

2

Tên đề tài SKKN
Vận dụng số phức vào giải


..................................................................

22