Trường THCS Nhơn Mỹ KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN H.S.G CẤP
TRƯỜNG
Tổ Toán - Lý Môn Toán lớp 9 - Năm học 2008- 2009
Thời gian làm bài: 180 phút.
……………………………………  ………………………………………
Bài 1: (4 điểm)
a) Chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp mà trong chúng không có số nào là
số nguyên tố .
b) Tìm tất cả các giá trò tự nhiên của n để tổng
2
A = n n + 6+
có giá trò là số chính
phương .
Bài 2: (5 điểm)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 a + b + c a b b c c a 3 a + b + c≤ + + + + + <
.
b)
2 2 2
a b c a + b + c
b + c c+ a a + b 2
+ + ≥
.
Bài 3: (5 điểm)

Giải các phương trình sau:
a)

a) * Đặt a = 2.3.4.5…2009.2010 (tích của 2009 số tự nhiên); khi đó dễ thấy:
a + 2 ; a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 là dãy gồm 2009 số tự nhiên liên tiếp .
* Dễ thấy: a + 2 > 2 (1)

( )
a 2
a + 2 2(theo tính chất chia hết của một tổng) (2)
2 2

⇒


M
M
M
* Từ (1) & (2) chứng tỏ a + 2 có ước thực sự là 2 nên a + 2 là hợp số (tức không là số nguyên
tố).
* Tương tự ta cũng có a + 3 ; a + 4 ; … ; a + 2010 đều là hợp số.
* Vậy tồn tại 2009 số tự nhiên liên tiếp (chẳng hạn như dãy trên) mà trong chúng không có
số nào là số nguyên tố .
b) * Giả sử A là số chính phương suy ra tồn tại m ∈
¥
sao cho:
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
n + n + 6 = m

a) * p dụng BĐT Bunhiacopsky cho bốn số với chú ý a, b, c > 0 ; ta có:
*
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2
a + b 1 1 a b (Dấu "=" a = b)
a + b 2 a b (1)
Tương tự ta cũng có:
b + c 2 b c (2)
c + a 2 c a (3)
≤ + + ⇔
⇔ ≤ +
≤ +
≤ +
* Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta được:

( )
2 2 2 2 2 2
2 a + b + c a b b c c a≤ + + + + +
* p dụng BĐT trong tam giác, ta có:
Huỳnh Thanh Tâm
2



( )
2 2 2 2 2 2
a b b c c a 3 a + b + c+ + + + + <
b) * p dụng BĐT Cau-chy cho hai số dương ta có:
( )
2 2
a b + c a b + c
+ 2 . = a Dấu "=" 2a = b + c
b + c 4 b + c 4
≥ ⇔ (9)
* Tương tự ta cũng có:
2
2
b a + c
+ b (10)
a + c 4
c a + b
+ c (11)
a + b 4
≥
≥
Cộng (9), (10) & (11) vế theo vế cùng biến đổi đơn giản ta suy ra BĐT cần chứng minh
( Dấu đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều )
Bài 3:
a) ĐKXĐ :
x 12≤
* Đặt
3
a = 24 + x va øb = 12 - x ( với b 0)ta co ùhệ sau:≥

1
= 5 và y
2
= -8 .
Lần lượt thay y vào (**) ta được x
1
= -4 và x
2
= -10 đây cũng chính là hai nghiệm của
phương trình đã cho.
Huỳnh Thanh Tâm
3
T
S
M
O
E
D
K
I
C
B
A
I
O
D
C
B
A
M

Huỳnh Thanh Tâm
4
AB.CD + AD.BC = AC.BD (4)
* Mà AB.CD = AD.BC (5) (câu a)
* Từ (4) & (5), suy ra: 2. AB . CD = AC . BD = AC . (2 . BI) => AB.CD = AC.BI
·
·
»
CD CA
= ;kết hợp ACD ABI (hai góc nội tiếp của đường tròn (O)
BI BA
cùng chắn cung AD)
⇒ =
=> △CDA ∽ △BIA (c-g-c) =>
·
·
IAB MAD=Huỳnh Thanh Tâm
5